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2015年北京市东城区高三二模数学(文)试题Word版带解析

北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学 (文科)
一、选择题(共 8 小题) (1)已知全集 U ? R ,集合 A ? ?0 ,, 1 2? , B ? ?2 ,, 3 4? ,如图阴影部分所表示的集合为( (A) ?2? (C) ?3 , 4? 【考点】集合的运算 【难度】1 【答案】B 【解析】 由题意得: A ? B ? ?2? ,由维恩图可知, 阴影部分表示的集合为: A ? ?UB 即在集合 A 中去掉 A 与 B 的公共元素, 所以答案为 ?0,1? ,选 B (2)若复数 (m2 ? m) ? mi 为纯虚数,则实数 m 的值为( (A) ?1 (C) 1 【考点】复数综合运算 【难度】1 【答案】C 【解析】 由题意得:该复数的实部为零,虚部不为零,即: (B) 0 (D) 2 ) (B) ?0 , 1? (D) ?0 ,1,2 ,3 ,4? )

?m 2 ? m ? 0 ,解得: m ? 1 ,选 C ? ?m ? 0
(3)已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 ,那么圆心坐标为( (A) (?1 , ? 3) (B) (1 , ? 3) (C) (1 , 3) ) (D) (?1 , 3)

【考点】圆的标准方程与一般方程 【难度】1 【答案】C 【解析】 把圆的一般方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 进行配方可得:

( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ,所以圆心坐标为: (1,3) ,选 C

1

(4)设点 P( x, y) ,则“ x ? 1 且 y ? ?2 ”是“点 P 在直线 l:x ? y ? 3 ? 0 上”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【考点】充分条件与必要条件 【难度】1 【答案】A 【解析】 先考察充分性: 把 x ? 1, y ? ?2 代入直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,满足直线方程,所以充分性成立; 再考察必要性: (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上有无数个点,不一定得到: x ? 1, y ? ?2 ,所以必要性不成立。 综上:“ x ? 1, y ? ?2 ”是“点 P 在直线 l : x ? y ? 3 ? 0 上”的充分而不必要条件。选 A (5)设 a ? log0.8 0.9 , b ? log1.1 0.9 , c ? 1.1 ,则 a , b , c 的大小关系是(
0.9



(A) a ? b ? c (C) b ? a ? c 【考点】对数与对数函数 【难度】2 【答案】C 【解析】

(B) a ? c ? b (D) c ? a ? b

因为 0 ? log0.8 1 ? log0.8 0.9 ? log0.8 0.8 ? 1 ,所以 0 ? a ? 1 ; 因为 log1.1 0.9 ? log1.1 1 ? 0 ,所以 b ? 0 ; 因为 1.10.9 ? 1.10 ? 1 ,所以 c ? 1 ; 综上, b ? a ? c ,选 C (6)若一个底面是正三角形的三棱柱的正(主)视图如图所示,则其侧面积等于( (A) 3 (C) 5 【考点】空间几何体的三视图与直观图 【难度】2 【答案】D 【解析】 该三棱柱的直观图如下:
1 1 正(主)视图



(B) 4 (D) 6
1

2

由题意得: AB ? BC ? CA ? 2 , 该三棱柱的侧面展开图是一个长为 6 宽为 1 的矩形, 其面积为: S ? 6 ,选 D

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? (7)若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 | x | ? y 的最大值为( ? y ? ?1, ? (A) 13 (B) 11 (C) 3 (D) 1
【考点】线性规划 【难度】2 【答案】B 【解析】 作出可行域如图:



有图可知,可行域均在 y 轴及其左侧,所以, x ? 0 所以, z ? ?2 x ? y ,转化为斜截式得: y ? 2 x ? z 由图可知,使得 z 取得最大值的最优解为: A(?2, ?1) 所以, zmax ? 3 ,选 B (8)已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 , E , F 分别是边 AA1 , CC1 的中点,点 M 是 BB1 上的动点,过 点 E ,M ,F 的平面与棱 DD1 交于点 N ,设 BM ? x ,平行四边形 EMFN 的面积为 S ,设 y ? S 2 ,则 y 关于 x 的
3

函数 y ? f ( x) 的解析式为( (A) f ( x) ? 2 x ? 2 x ?
2



3 , x ? [0 , 1] 2

1 ?3 ? x, x ? [0 , ), ? ?2 2 (B) f ( x) ? ? ? x ? 1 , x ? [ 1 , 1]. ? ? 2 2 3 1 ? ?2 x 2 ? , x ? [0 , ], ? ? 2 2 (C) f ( x) ? ? ??2( x ? 1) 2 ? 3 , x ? ( 1 , 1]. ? ? 2 2
(D) f ( x) ? ?2 x ? 2 x ?
2

3 , x ? [0 , 1] 2

【考点】立体几何综合 【难度】3 【答案】A 【解析】 易证四边形 EMFN 为菱形,过点 M 作 MH ? DD1 于 H ,所以

MN ? NH 2 ? HM 2 ? (1 ? 2 x)2 ? ( 2) 2
所以, S ?

1 1 2 EF ? MN ? ? 2 ? (1 ? 2 x)2 ? ( 2)2 ? 4 x2 ? 4 x ? 3 2 2 2
2 2

所以, y ? S ? 2 x ? 2 x ?

3 , x ? [0,1] ,选 A 2
第二部分(非选择题 共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
2 ( 9 )已知抛物线 y ? 2 x 上一点 P (m , 2) ,则 m ?

,点 P 到抛物线的焦点 F 的距离



.

【考点】抛物线 【难度】1 【答案】 2 , 【解析】 把点 x ? m, y ? 2 代入 y 2 ? 2 x 解得: m ? 2

5 2

1 , 2 5 所以点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为 2
抛物线 y 2 ? 2 x 的准线方程为: x ? ?
4

(10)在△ ABC 中,已知 a ? 2, b ? 3 , 那么 【考点】正弦定理 【难度】1 【答案】 【解析】 由正弦定理得:

sin A ? sin( A ? C)

.

2 3

a b c ? ? sin A sin B sin C

所以,

sin A sin A sin A a 2 ? ? ? ? sin( A ? C ) sin(? ? B) sin B b 3
2 ( x ? 0) 的最大值为 x
.

(11)函数 y ? 2 x ?

【考点】均值定理的应用 【难度】1 【答案】 ?4 【解析】 因为 x ? 0 ,所以, (?2 x) ? (? ) ? 2 (?2 x) ? (? ) ? 4

2 x

2 x

2 y ? ?[(?2 x) ? (? )] ? ?4 , x 2 当且仅当 ?2 x ? ? ,即 x ? ?1 时,等号成立 x
(12)若非零向量 a , b 满足 a ? b = a ? b =2 a ,则向量 b 与 a ? b 的夹角为 【考点】平面向量的几何运算 【难度】1 【答案】 【解析】 由向量加法的平行四边形法则作图如下:易求向量 b 与 a ? b 的夹角为 .

? 6 ? 6

( 13 )设函数 f ( x) ? cos x , x ? (0 , 2?) 的两个零点为 x1 , x2 ,且方程 f ( x) ? m 有两个不同的实根

x3 , x4 .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m ?
5



【考点】等差数列 【难度】2 【答案】 ? 【解析】 设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d 。 函数 f ( x) ? cos x , x ? (0 , 2?) 的两个零点为: x1 ? 所以, a1 ?

3 2

?
2

和 x2 ?

3? ? ,解得 d ? 2 2 3 5? 7? f ( x) ? cos x ? m 的两个实根 x3 ? , x4 ? 6 6

?

3? 2

, a4 ?

所以 m ? cos

5? ? ? 3 ? cos(? ? ) ? ? cos ? ? 6 6 6 2

(14)如图,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,以 A 为圆心, AC 为半径,沿逆时针方向画圆弧,交 BA 延长线 于A 记弧 CA1 的长为 l1 ; 以 B 为圆心,BA1 为半径, 沿逆时针方向画圆弧, 交 CB 延长线于 A2 , 记弧 A1 A2 1, 的长为 l2 ;以 C 为圆心, CA2 为半径,沿逆时针方向画圆弧,交 AC 延长线于 A3 ,记弧 A2 A3 的长为 l3 , 则 l1 +l2 ? l3 ? .

如此继续以 A 为圆心, AA3 为半径, 沿逆时针方向画圆弧, 交 AA1 延长线于 A4 , 记弧 A3 A4 的长为 l4 ,? , 当弧长 ln ? 8? 时, n ? 【考点】合情推理与演绎推理 【难度】2 【答案】 4? , 12 【解析】 由弧长公式得: l ? ? ? r ,所以, .

2? 2? 2? 4? 2? 2? ?1 ? ?2 ? ? 3 ? 2? , ? , ln ? ?n , l2 ? , l3 ? 3 3 3 3 3 3 2n? ? 8? ,解得 n ? 12 所以, l1 ? l2 ? l3 ? 4? ; ln ? 3 l1 ?
三、解答题共 6 小题, (15)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心 角均为 15 ,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球和 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(这些球除颜色外 完全相同),如果摸到的是 2 个红球,即为中奖. 试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.
6
?

【考点】概率综合 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 解:设顾客去甲商场,转动圆盘,指针指向阴影部分为事件 A , 试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为 ?r ( r 为圆盘的半径),
2

? 2 r 1 ? 2 ? 2 1 6 阴影区域的面积为 S ? 4 ? ? r ? r .所以, P( A) ? ? . 2 2 12 6 ?r 6 设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件 B ,
记盒子中 3 个白球为 a1 , a2 , a3 , 3 个红球为 b1 , b2 , b3 , 记 ( x , y ) 为一次摸球的结果,则一切可能的结果有:

(a1 , a2 ) , (a1 , a3 ) , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) , (a1 , b3 ) , (a2 , a3 ) , (a2 , b1 ) , (a2 , b2 ) , (a2 , b3 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (a3 , b3 ) , (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) ,共 15 种.
摸到的 2 个球都是红球有 (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) ,共 3 种.

3 1 ? . 15 5 因为 P( A) ? P( B) ,所以,顾客在乙商场中奖的可能大.
所以, P( B) ? (16) (本小题共 13 分)

π 2 ) ? cos( 2 x ? π) , g ( x) ? cos 2 x . 3 3 π π 3 3 ,求 g (? ) 的值; (Ⅰ)若 ? ? ( , ) ,且 f (? ) ? ? 4 2 5 π π (Ⅱ)若 x ? [ ? , ] ,求 f ( x) ? g ( x) 的最大值. 6 3
已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ? 【考点】三角函数综合 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? cos( 2 x ?

π 2 ) ? cos( 2 x ? π) 3 3

7

得 f ( x) ?

1 3 1 3 cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? sin 2 x 2 2 2 2

? ? 3 sin 2x .
3 3 3 3 ,即 ? 3 sin 2? ? ? 3 ,所以 sin 2? ? . 5 5 5 π π π 又因为 ? ? ( , ) ,所以 2? ? ( , π ) . 4 2 2 4 4 故 cos 2? ? ? ,即 g (? ) ? ? . 5 5 π (Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 cos( 2 x ? ) . 3 π π π 因为 x ? [ ? , ] ,所以 2 x ? ? [0, π ] . 6 3 3 π π 所以当 2 x ? ? 0 ,即 x ? ? 时, f ( x) ? g ( x) 有最大值,最大值为 2 . 3 6
因为 f (? ) ? ? (17) (本小题共 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , E 为 AD 上一点,四边形 BCDE 为矩形,

?PAD ? 60? , PB ? 2 3 , PA ? ED ? 2 AE ? 2 .
(Ⅰ)若 PF ? ? PC ? ? ? R ? ,且 PA ∥平面 BEF ,求 ? 的值; (Ⅱ)求证: CB ? 平面 PEB .
P F

??? ?

??? ?

D E A B

C

【考点】立体几何综合 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BE 于点 M ,连接 FM .

8

P F

D E A

C
B

M

因为 PA ? 平面 BEF ,平面 PAC ? 平面 BEF ? FM , 所以 FM ? AP .

AM AE 1 ? ? . MC ED 2 PF AM 1 ? ? . 因为 FM ? AP ,所以 FC MC 2 1 所以 ? ? . 3
因为 EM ? CD ,所以 (Ⅱ)因为 AP ? 2, AE ? 1, ?PAD ? 60? , 所以 PE ? 3 . 所以 PE ? AD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

PE ? 平面 ABCD ,所以 PE ? CB .
又 BE ? CB ,且 PE ? BE ? E , 所以 CB ? 平面 PEB . (18) (本小题共 13 分) 已知等比数列 ?an ? 的前 4 项和 S4 ? 5 ,且 4a1 , (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 ?bn ? 是首项为 2 ,公差为 ? a1 的等差数列,其前 n 项和为 Tn ,求满足 Tn?1 ? 0 的最大正整数 n . 【考点】数列综合应用 【难度】3 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q , 因为 4a1 ,
9

3 a2 , a2 成等差数列. 2

3 a2 , a2 成等差数列, 2

所以 4a1 ? a2 ? 3a2 . 整理得 2a1 ? a2 ,即 2a1 ? a1q ,解得 q ? 2 . 又 S4 ?

1 a1 (1 ? 24 ) ? 5 ,解得 a1 ? . 3 1? 2
1 n ?1 ?2 . 3

所以 an ?

1 , 3 1 7?n 所以 bn ? 2+(n ? 1)(- ) ? . 3 3 7?n 2+ 3 ? n ? (13 ? n)n . Tn = 2 6 [13 ? (n ? 1)](n ? 1) ?0, 所以由 Tn?1 ? 0 ,得 6
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ? a1 = ? 整理得 (n ? 1)(n ? 14) ? 0 , 解得 1 ? n ? 14 . 故满足 Tn?1 ? 0 的最大正整数为 13 . (19) (本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的左、右顶点分别为 A , B , F1 为左焦点,且 AF1 ? 2 ,又椭圆 C a 2 b2

过点 (0, 2 3) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x2 +y 2 ? 16 上(点 A, B 除外) ,设直线 PB , QB 的斜率分别为 k1 , k2 , 若 k1 ?

3 k 2 ,证明: A , P , Q 三点共线. 4

【考点】圆锥曲线综合 【难度】4 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)由已知可得 a ? c ? 2 , b ? 2 3 ,
2 2 2 又 b ? a ? c ? 12 ,解得 a ? 4 .

故所求椭圆 C 的方程为
10

x2 y2 ? ?1 16 12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(?4 , 0) , B(4 , 0) .设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,

y1 y1 y12 所以 kPA ? k1 ? . ? ? x1 ? 4 x1 ? 4 x12 ? 16
因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆 C 上,

所以

3 x12 y12 ? ? 1 ,即 y12 ? 12 ? x12 . 4 16 12

3 2 x1 3 4 ?? . 所以 k PA ? k1 ? 2 x1 ? 16 4 12 ?
3 k2 , 4 所以 kPA ? k2 ? ?1 .
又因为 k1 ?

(1)
2 2

由已知点 Q( x2 , y2 ) 在圆 x ? y ? 16 上, AB 为圆的直径, 所以 QA ? QB . 所以 kQA ? k2 ? ?1 . (2)

由(1)(2)可得 kPA ? kQA . 因为直线 PA , QA 有共同点 A , 所以 A , P , Q 三点共线

(20) (本小题共 14 分)
3 已知函数 f ( x) ? x ?

5 2 7 x ? ax ? b , g ( x) ? x3 ? x 2 ? ln x ? b , ( a , b 为常数) . 2 2

(Ⅰ)若 g ( x) 在 x ? 1 处的切线过点 (0 , ? 5) ,求 b 的值; (Ⅱ) 设函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) , 若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? xf ?( x) 有唯一解, 求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)令 F (x) ? f (x) ?g (x) ,若函数 F ( x) 存在极值,且所有极值之和大于 5 ? ln 2 ,求实数 a 的取值范 围. 【考点】导数的综合运用 【难度】4 【答案】见解析 【解析】 解: (Ⅰ)设 g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? kx ? 5 ,

11

因为 g ?( x) ? 3 x ? 7 x ?
2

1 , g ?(1) ? 11 , x

所以 k ? 11 ,故切线方程为 y ? 11x ? 5 .
3 当 x ? 1 时, y ? 6 ,将 (1, 6) 代入 g ( x) ? x ?

7 2 x ? ln x ? b , 2

得b ?

3 2

(Ⅱ) f ' ? x ? ? 3x2 ? 5x ? a , 由题意得方程 x ?
3

5 2 x ? ax ? b ? 3x3 ? 5 x 2 ? ax ? x 有唯一解, 2

5 2 x ? x ? b 有唯一解. 2 5 2 3 令 h( x) ? 2 x ? x ? x ,则 h '( x) ? 6x2 ? 5x ? 1 ? (2 x ? 1)(3x ? 1) , 2 1 1 所以 h( x) 在区间 ( ??, ? ), ( ? , ?? ) 上是增函数, 2 3 1 1 1 1 1 7 在区间 (? , ? ) 上是减函数.又 h( ? ) ? ? , h( ? ) ? ? , 2 3 2 8 3 54 7 1 故实数 b 的取值范围是 (??, ? ) U (? , ??) . 54 8
即方程 2 x ?
3

(Ⅲ) F ( x) ? ax ? x ? ln x, 所以 F '( x) ? ?
2

2 x 2 ? ax ? 1 . x

因为 F ( x) 存在极值,所以 F '( x) ? ? 即方程 2x
2

2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根, x

? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根,则有 ? =a 2 ? 8 ? 0 .

显然当 ? =0 时, F ( x) 无极值,不合题意; 所以方程必有两个不等正根.

1 ? x1 x2 ? ? 0, ? ? 2 2 记方程 2x ? ax ? 1 ? 0 的两根为 x 1 , x 2 ,则 ? ?x ? x ? a , 1 2 ? ? 2

F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? ( x12 ? x22 ) ? (ln x1 ? ln x2 )
? a2 a2 1 1 ? ? 1 ? ln ? 5 ? ln , 2 2 4 2
a ? 0, 2

2 解得 a ? 16 ,满足 ? ? 0 .又 x1 ? x2 ?

即 a ? 0 ,故所求 a 的取值范围是 (4,??) .
12


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