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【考前30天绝密资料】2012年高考考前30天三轮专题提分必练绝密之 六解三角形(课标理科专用)


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专题限时集训(六) [第 6 讲 解三角形] (时间:10 分钟+35 分钟)

2012 二轮精品提分必练 → → → → 1.在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,|AC|=2|AB|=2|AD|=4,则|BD|=( ) A. 3 B.2 C. 6 D.3 2.在△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a=3,c=8,B=60°, 则 sinA 的值是( ) 3 3 B. A. 14 16 3 3 3 3 C. D. 16 14 3.若满足条件 C=60°,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( ) A.(1, 2) B.( 2, 3) C.( 3,2) D.(1,2) 4.在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A、 C 两点之间的距离为________千米. 2012 二轮精品提分必练 1.△ABC 的外接圆半径 R 和△ABC 的面积都等于 1,则 sinAsinBsinC=( ) 1 3 3 1 A. B. C. D. 4 2 2 4 2.在△ABC 中,角 A、B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且 C=60°,则 ab 的值为( ) 4 A. B.4 3-3 3 2 C.1 D. 3 4.如图 6-1,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD, 则 sinC 的值为( ) 2012 二轮精品提分必练 图 6-1 3 3 A. B. 3 6 6 6 C. D. 3 6 5.2011 年 11 号台风“南玛都”于 8 月 31 日凌晨减弱为热带低压后登陆晋江,如图 6 -2,位于港口 O 正东方向 20 海里 B 处的渔船回港避风时出现故障,位于港口南偏西 30°, 距港口 10 海里 C 处的油轮接到海事部门营救信息后以 30 海里/小时的速度沿直线 CB 去营 救渔船,则油轮到达 B 处需要________小时. 2012 二轮精品提分必练 图 6-2 6.在△ABC 中,B=60°,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________.
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7.如图 6-3, 港口 A 北偏东 30°方向的 C 处有一检查站, 港口正东方向的 B 处有一轮船, 距离检查站 31 海里,该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处观测站,已知观测 站与检查站距离 21 海里,问此时轮船离港口 A 还有多远? 2012 二轮精品提分必练 图 6-3

8. 如图 6-4, 在△ABC 中, sin 4 3 BD= . 3 (1)求 BC 的长; (2)求△DBC 的面积.

∠ABC 3 = , AB=2, D 在线段 AC 上, AD=2DC, 点 且 3 2

2012 二轮精品提分必练 图 6-4

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专题限时集训(六) 【基础演练】 1.C 【解析】 如图,设 BD=x,然后在△ABD,△ACD 中分别使用余弦定理,利用 cos∠ADB+cos∠ADC=0 建立关于 x 的方程. 2012 二轮精品提分必练 设 BD=DC=x,根据余弦定理,得 4=4+x2-4xcos∠ADB,16=4+x2-4xcos∠ADC, 两个方程相加得 20=8+2x2,解得 x= 6. 3 2. 【解析】 根据余弦定理得 b= 32+82-2×3×8cos60°=7, D 根据正弦定理 = sinA 7 3 3 ,解得 sinA= . sin60° 14 3.C 【解析】 由三角形有两解的充要条件得 asin60°< 3<a,解得 3<a<2.故选 C. 4. 6 【解析】 由三角形内角和定理得∠ACB=45°,在△ABC 中,由正弦定理得 AC 2 AC AB = ,代入数据得 = ,解得 AC= 6. sin45° sin60° sin∠ACB sin∠ABC 【提升训练】 1 1 1.D 【解析】 根据三角形面积公式和正弦定理 S= absinC= 2RsinA·2RsinB·sinC= 2 2 1 2R2sinAsinBsinC,代入数据得 sinAsinBsinC= . 2 π π 2.C 【解析】 由于 A 为锐角,故 -A 也为锐角,而 cosA>sinB 即 sin?2-A?>sinB, ? ? 2 π π π 由正弦函数的单调性得 -A>B,即 A+B< ,从而 C> ,故△ABC 为钝角三角形. 2 2 2 3.A 【解析】 由(a+b)2-c2=4,得 a2+b2-c2+2ab=4.① 由余弦定理得 a2+b2-c2=2abcosC=ab,② 4 将②代入①得 ab+2ab=4,即 ab= .故选 A. 3 4.D 【解析】 设 BD=2,则 AB=AD= 3,BC=4,由余弦定理得 AD2+BD2-AB2 3+4-3 3 cos∠ADB= = = , 3 2×AD×BD 2× 3×2 ∴sin∠BDC= 1-cos2∠BDC= 4 2 由正弦定理得 = , sin∠BDC sinC 1 1 6 6 即 sinC= sin∠BDC= × = . 2 2 3 6 5. 7 【解析】 在△OBC 中,OC=10,OB=20,∠BOC=120°,根据余弦定理得 BC 3 1 6 1- = . 3 3

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1 10 7 7 102+202-2×10×20×?-2?=10 7,故需要的时间是 = (小时). ? ? 30 3 6.2 7 【解析】 因为 B=60°,A+B+C=180°, 所以 A+C=120°, 由正弦定理,有 AB BC AC 3 = = = =2, sinC sinA sinB sin60° 所以 AB=2sinC,BC=2sinA. 所以 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin(1200-A)+4sinA. =2(sin120°cosA-cos120°sinA)+4sinA = 3cosA+5sinA 5 ? 3 ? ,cosφ= =2 7sin(A+φ),?其中sinφ= ? 2 7 2 7? ? 所以 AB+2BC 的最大值为 2 7. 7. 【解答】 在△BDC 中,由余弦定理知 cos∠CDB= 4 3 sin∠CDB= . 7 π π π 5 3 ∴sin∠ACD=sin?∠CDB-3?=sin∠CDBcos -cos∠CDBsin = , ? ? 3 3 14 在△ACD 中,由正弦定理知 AD CD = ?AD=15, sin∠ACD sinA ∴轮船距港口 A 还有 15 海里. ∠ABC 3 8. 【解答】 (1)因为 sin = , 2 3 1 1 所以 cos∠ABC=1-2× = . 3 3 在△ABC 中,设 BC=a,AC=3b, 4 则由余弦定理可得 9b2=a2+4- a, ① 3 在△ABC 和△DBC 中,由余弦定理可得 16 4b2+ -4 3 cos∠ ADB= , 16 3 b 3 16 b2+ -a2 3 cos∠BDC= . 8 3 b 3 因为 cos∠ADB=-cos∠BDC, 16 16 b2+ -a2 4b2+ -4 3 3 =- ,所以 3b2-a2=-6. 所以有 8 3 16 3 b b 3 3
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BD2+CD2-BC2 1 =- , 7 2BD·CD

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由①②可得 a=3,b=1,即 BC=3. 2 2 1 =2 2, (2)由(1)得△ABC 的面积为 ×2×3× 2 3 2 2 所以△DBC 的面积为 . 3

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