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【金版学案】2015-2016学年高中物理第6章第五节宇宙航行学案新人教版必修2


第六章 第五节

万有引力与航天 宇 宙 航 行

“嫦娥三号”卫星是嫦娥绕月探月工程计划中嫦娥系列的第三颗人造绕月探月卫 星.“嫦娥三号”要携带探测器在月球着陆,实现月面巡视、月夜生存等重大突破,开展月 表地形地貌与地质构造、矿物组成和化学成分等探测活动.根据中国探月工程三步走的规划, 中国将在 2013 年前后进行首次月球软着陆探测和自动巡视勘察.

1.了解人造地球卫星的最初构想. 2.知道三个宇宙速度的含义,会推导第一宇宙速度的表达式. 3.掌握人造地球卫星的线速度、角速度、周期和半径的关系. 4.能运用万有引力定律及匀速圆周运动的规律解决卫星运动的有关问题.

一、人造卫星 1.牛顿对人造卫星原理的描绘. 设想在高山上有一门大炮,水平发射炮弹,初速度越大,水平射程就越大.可以想象, 当初速度足够大时,这颗炮弹将不会落到地面,将和月球一样成为地球的一颗人造地球卫星. 2.人造卫星绕地球运行的动力学原因. 人造卫星在绕地球运行时,只受到地球对它的万有引力作用,人造卫星做圆周运动的向 心力由万有引力提供. 3.人造卫星的运动可近似地看做匀速圆周运动,其向心力就是地球对它的吸引力. G Mm mv 4π 2 =mω r=m 2 r. 2= r r T
2 2

由此得出卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径 r 的关系: v= GM ω= r GM 3 T= r 4π r GM
2 3

由此可见,卫星的轨道半径确定后,其线速度、角速度和周期也唯一确定,与卫星的质 量无关,即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度及角速度,而且对于不同轨道, 轨道半径越小,卫星线速度和角速度越大,周期越小. 二、宇宙速度 1.物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度,叫做第一宇宙速度,也叫地面附近 的环绕速度. GMm v 2.近地卫星的轨道半径为:r=R,万有引力提供向心力,则有 2 =m .从而第一宇宙 R R 速度为:v= GM =7.9km/s. R
2

3 .第二宇宙速度的大小为 11.2_km/s .如果在地面附近发射飞行器,发射速度 7.9 km/s<v<11.2 km/s;则它绕地面运行的轨迹是椭圆. 4.第三宇宙速度的大小为 16.7_km/s,即若在地面附近发射一个物体,使物体能够挣脱 太阳引力的束缚,飞到太阳系外,则必须使它的速度等于或大于第三宇宙速度.

卫星的变轨 一、如何变轨 人造地球卫星在发射的过程中,需要把开始的椭圆轨道调整为圆轨道,在卫星的回收过 程中,需要把圆轨道调整为椭圆轨道.如何才能实现圆与椭圆的互相转变? 人造地球卫星运行轨道的改变是通过它自带的推进器来实现的.如图所示为一人造地球 卫星从椭圆轨道的远地点进入圆形轨道的示意图.椭圆是人造地球卫星正在运行的轨道,大 圆是以地心为圆心,以远地点 A 到地心距离 r2 为半径的圆.当卫星在椭圆上运动到 A 点和在 GMm 大圆上运动到 A 点时,离地心的距离相同,万有引力 F= 2 大小相同,由 F=ma 知,加速度 r2 的大小相同.

v1 若人造地球卫星沿椭圆轨道运行,在 A 点时对应曲率半径为 r1,则向心加速度 a1= ; r1 v2 v1 v2 若沿大圆轨道运行时, 在 A 点的向心加速度 a2= , 因为 a1=a2, 即 = , 又 r1<r2, 所以 v1<v2. r2 r1 r2 由于这个原因,人造地球卫星要从椭圆轨道进入大圆轨道,只要在到达远地点 A 时,用 推进器向后喷气使其加速,当速度达到沿大圆运动时的速度 v2 时,它就不再沿椭圆运行而沿 大圆做圆周运动了.地球同步卫星就是利用这种原理进入同步轨道并保持在这条轨道上运行 的.若人造卫星原来在大圆上运行,则当它经过远地点 A 时,利用推进器向前喷气使自己的 速度减小到沿椭圆运行的速度 v1 时,它就从大圆轨道上到了椭圆轨道上. 二、变轨问题的两点技巧 Mm v 1.当卫星绕天体做匀速圆周运动时,万有引力提供向心力,由 G 2 =m ,得 v= r r
2 2 2 2

2

GM , r

由此可见轨道半径 r 越大,线速度 v 越小.当由于某原因速度 v 突然改变时,若速度 v 突然

v v 减小,则 F>m ,卫星将做近心运动,轨迹为椭圆;若速度 v 突然增大,则 F<m ,卫星将做 r r 离心运动,轨道变为椭圆,此时可用开普勒第三定律分析其运动. 2.卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时,卫星受到的万有引力相同,所以加速度相同. 三、典例剖析 (多选)发射地球同步卫星,先将卫星发射至近地圆轨道 1,然后点火,使其沿椭圆轨 道 2 运行,最后再次点火,将卫星送入同步圆轨道 3.轨道 1、2 相切于 Q 点,轨道 2、3 相切 于 P 点,如图所示,则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时,以下说法正确的是( )

2

2

A.卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率 B.卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度 C.卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度 D.卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度 M 点拨:卫星的加速度 a=G 2,只与卫星到地心的距离 r 有关,与卫星的轨道无关.卫星 r 在不同轨道上的角速度 ω 、线速度 v 的大小关系可根据 F 万=F 向得出. 解析:本题主要考查人造地球卫星的运动,尤其是考查了同步卫星的发射过程,对考生 理解物理模型有很高的要求. Mm v 由 G 2 =m 得, v= r r
2

GM Mm 2 .因为 r3>r1, 所以 v3<v1.由 G 2 =mω r 得, ω= r r

GM 3 .因为 r3>r1, r

所以 ω 3<ω 1.卫星在轨道 1 上经 Q 点时的加速度为地球引力产生的加速度, 而在轨道 2 上经过 Q 点时,也只有地球引力产生加速度,故应相等.同理,卫星在轨道 2 上经 P 点时的加速度等 于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度. 答案:BD

1.(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是(CD) A.第一宇宙速度 v1=7.9 km/s,第二宇宙速度 v2=11.2 km/s,则人造卫星绕地球在圆 轨道上运行时的速度大于等于 v1,小于 v2. B.美国发射的“凤凰号”火星探测卫星,其发射速度大于第三宇宙速度 C.第二宇宙速度是地面附近使物体可以挣脱地球引力的束缚,成为绕太阳运行的人造 行星的最小发射速度 D.第一宇宙速度 7.9 km/s 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 2.我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前, “天宫一号”的运行轨道高度为 350 km, “神舟八号”的运行轨道高度为 343 km.它们的运行轨道均视为圆周,则(B) A. “天宫一号”比“神舟八号”速度大 B. “天宫一号”比“神舟八号”周期长 C. “天宫一号”比“神舟八号”角速度大 D. “天宫一号”比“神舟八号”加速度大 3.(多选)下列关于地球同步卫星的说法正确的是(BD) A.它的周期与地球自转同步,但高度和速度可以选择,高度增大,速度减小 B.它的周期、高度、速度都是一定的 C.我们国家发射的同步通讯卫星定点在北京上空 D.我国发射的同步通讯卫星也定点在赤道上空

一、选择题 1.宇宙飞船在半径为 r1 的轨道上运行,变轨后的半径为 r2,r1>r2,宇宙飞船绕地球做 匀速圆周运动,则变轨后宇宙飞船的(D) A.线速度变小 B.角速度变小

C.周期变大 D.向心加速度变大 2.两颗人造卫星 A、B 绕地球做圆周运动的周期之比 TA∶TB=1∶8,则轨道半径之比和 运动速率之比分别为(C) A.rA∶rB=4∶1 vA∶vB=1∶2 B.rA∶rB=4∶1 vA∶vB=2∶1 C.rA∶rB=1∶4 vA∶vB=2∶1 D.rA∶rB=1∶4 vA∶vB=1∶2

3.人造卫星以地心为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是(BD) A.半径越大,速度越小,周期越小 B.半径越大,速度越小,周期越大 C.所有卫星的速度均是相同的,与半径无关 D.所有卫星的角速度可能相同,与半径有关 4.在地球(看做质量均匀分布的球体)上空有许多同步卫星,下面说法中正确的是(A) A.它们的质量可能不同 B.它们的速度可能不同 C.它们的向心加速度可能不同 D.它们离地心的距离可能不同 5.如图所示,在同一轨道平面上,绕地球做圆周运动的卫星 A、B 和 C,某时刻恰好在 同一直线上,当卫星 B 运转一周时,下列说法正确的有(B)

A.因为各卫星的角速度 ω A=ω B=ω C,所以各卫星仍在原位置上 B.因为各卫星运转周期 TA<TB<TC,所以卫星 A 超前于卫星 B,卫星 C 滞后于卫星 B C.因为各卫星运转频率 fA>fB>fC,所以卫星 A 滞后于卫星 B,卫星 C 超前于卫星 B D.因为各卫星的线速度 vA<vB<vC,所以卫星 A 超前于卫星 B,卫星 C 滞后于卫星 B 6.人造卫星在太空绕地球运行的过程中,若天线偶然折断,天线将(A) A.继续和卫星一起沿轨道运动

B.做平抛运动,落向地球 C.由于惯性,沿轨道切线方向做匀速直线运动,远离地球 D.做自由落体运动,落向地球 7.人造地球卫星由于受到大气的阻力,其轨道半径逐渐减小,其相应的线速度和周期 的变化情况是(D) A.线速度减小,周期增大 B.线速度减小,周期减小 C.线速度增大,周期增大 D.线速度增大,周期减小 8. “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中,设探测器运行的轨道半径为 r,运 行速率为 v,当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空(C) A.r、v 都将略为减小 B.r、v 都将保持不变 C.r 将略为减小,v 将略为增大 D.r 将略为增大,v 将略为减小 9.已知地球质量为 M,半径为 R,自转周期为 T,地球同步卫星质量为 m,引力常量为 G, 有关同步卫星,下列表述正确的是(BD) 3 GMT2 2 4π

A.卫星距地面的高度为

B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度 Mm C.卫星运行时受到的向心力大小为 G 2 R D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 3 GMT Mm 4π 解析: 对同步卫星由万有引力提供向心力得 G 所以 h= 2=m(R+h) 2 , 2 (R+h) T 4π
2 2

-R,故 A 错误;第一宇宙速度是最大的环绕速度,B 正确;同步卫星运动的向心力由万有引 GMm GM 力提供,应为 F= 2,C 错误;同步卫星的向心加速度为 a 同= 2,地球表面的 (R+h) (R+h) GM 重力加速度 a 表= 2 ,知 a 表>a 同,D 正确. R 二、非选择题 10.月球的质量约为地球质量的 1/81,半径约为地球半径的 1/4,地球上第一宇宙速度

约为 7.9 km/s,则月球上第一宇宙速度约为多少? GM地m mv 解析:对绕地球表面做匀速圆周运动的卫星有 2 = R地 R地 得 v= GM地 . R地
2

对绕月球表面做匀速圆周运动的卫星有 GM月m mv′ 得 v′= 2 = R月 R月
2

GM月 . R月

由以上两式代入数据解得 v′=1.76 km/s. 答案:1.76 km/s 11.如图所示,A 是地球的同步卫星,另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内,离地面 高度为 h.已知地球半径为 R,地球自转角速度为 ω 0,地球表面的重力加速度为 g,O 为地球 中心.

(1)求卫星 B 的运行周期; (2)如卫星 B 的绕行方向与地球自转方向相同,某时刻 A、B 两卫星相距最近(O、B、A 在同一直线上),则至少经过多长时间,它们再一次相距最近? 解析:由题目情景知,rA>rB,所以 ω A<ω B. (1)地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,故对卫星 B 有 Mm 4π G 2= 2 (R+h), (R+h) TB G Mm 2 =mg, R
2

联立以上两式得 TB=2π (R+h) . 2 gR
3

(2)由题意得(ω B-ω 0)t=2π , 2π 又因为 ω B= = TB gR 3, (R+h)
2

所以解得 t=

2π . 2 gR 3-ω 0 (R+h) (R+h) 2 gR
3

答案:(1)2π (2)

2π 2 gR 3-ω 0 (R+h)

12 .人们认为某些白矮星 ( 密度较大的行星 ) 每秒大约自转一周 ( 万有引力常量 G = 6.67×10
-11

N·m /kg ,地球半径 R 约为 6.4×10 km).

2

2

3

(1)为使其表面上的物体能够被吸引住而不致由于快速转动被“甩”掉,它的密度至少 为多少? (2)假设某白矮星密度约为此值,且其半径等于地球半径,则它的第一宇宙速度约为多 少? 解析:(1)由于白矮星表面的物体随着它自转做圆周运动的角速度相同,而赤道上的物 体圆周运动的半径最大,所需的向心力最大,最容易被甩掉,只要保证赤道上的物体不被甩 掉,其他物体就不会被甩掉.假设赤道上的物体刚好不被甩掉,则白矮星对物体的万有引力 恰好提供物体随白矮星转动的向心力.设白矮星质量为 M,半径为 r,赤道上物体的质量为 m, Mm 4π 则有 G 2 =m 2 r. r T 4π r 白矮星的质量为 M= 2 , GT M GT 3π 白矮星的密度为 ρ = = = 2= V 4 GT 3 πr 3 3×3.14 3 11 3 kg/m ≈1.41×10 kg/m . -11 6.67×10 ×1 即要使物体不被甩掉,白矮星的密度至少为 1.41×10
11 2 3 3 2

kg/m .

3

(2)白矮星的第一宇宙速度,就是物体在万有引力作用下沿白矮星表面绕它做匀速圆周 Mm v 运动的速度,则 G 2 =m ,白矮星的第一宇宙速度为 r r GM = r 4 3 Gρ · π r 3 = r 4 2 π Gρ r = 3
2

v=

4 -11 11 2 12 ×3.14×6.67×10 ×1.41×10 ×6.4 ×10 ≈ 3 4.02×10 (m/s). 答案:(1)1.41×10
11 7

kg/m

3

(2)4.02×10 m/s

7


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