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2018版高中数学人教版a版必修一学案:第三单元 3.2.1 几类不同增长的函数模型 含答案

§ 3.2 3.2.1 函数模型及其应用 几类不同增长的函数模型 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质、并体会增长快慢;理解 学习目标 直线上升,对数增长,指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题,并进行数 学建模解决实际问题(重点). 预习教材 P95-P101,完成下面问题: 知识点 三种函数模型的性质 y=logax y=ax(a>1) (a>1) 在(0,+∞)上 增函数 的增减性 图象的变化 趋势 随 x 增大逐渐近似与 随 x 增大逐渐近似与 随 n 值而不同 y 轴平行 x 轴平行 增函数 增函数 y=xn(n>0) ①y=ax(a>1):随着 x 的增大,y 增长速度越来越快,会远 远大于 y=xn(n>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度 增长速度 越来越慢 ②存在一个 x0,当 x>x0 时,有 ax>xn>logax 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)当 x 每增加一个单位时,y 增加或减少的量为定值,则 y 是 x 的一次函 数.( ) (2)函数 y=log1 x 衰减的速度越来越慢.( 2 ) (3)不存在一个实数 m,使得当 x>m 时,1.1x>x100.( 提示 (1)√ ) 因为一次函数的图象是直线,所以当 x 增加一个单位时,y 增加 或减少的量为定值. (2)√ 由函数 y=log1 x 的图象可知其衰减的速度越来越慢. 2 (3)× 根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数 m,使得当 x>m 时,1.1x>x100. 题型一 【例 1】 几类函数模型的增长差异 (1)下列函数中,增长速度最快的是( B.y=x2 017 D.y=2 017x ) A.y=2 017x C.y=log2 017x (2)四个自变量 y1,y2,y3,y4 随变量 x 变化的数据如下表: x y1 1 2 5 26 10 101 15 226 20 401 1.05×1 y2 2 32 1 024 32 768 06 y3 y4 2 2 10 4.322 20 5.322 30 5.907 40 6.322 07 50 6.644 09 60 6.907 25 626 3.36×1 30 901 1.07×1 则关于 x 呈指数型函数变化的变量是________. 解析 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快, 故选 A. (2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量 y1, y2,y3,y4 均是从 2 开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量 y2 的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变 化. 答案 (1)A (2)y2 常见的函数模型及增长特点 规律方法 (1)线性函数模型:线性函数模型 y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增 长速度不变. (2)指数函数模型:能用指数型函数 f(x)=abx+c(a,b,c 为常数,a>0,b>1) 表达的函数模型,其增长特点是随着自变量 x 的增大,函数值增长的速度越来越 快,常称之为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:能用对数型函数 f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m>0, x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着 x 的逐 渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”. (4)幂函数模型:能用幂型函数 f(x)=axα+b(a,b,α 为常数,a≠0,α≠1)表 达的函数模型,其增长情况由 a 和 α 的取值确定. 【训练 1】 A.y= 解析 ex 100 1 下列函数中随 x 的增大而增长速度最快的是( B.y=100 ln x C.y=x100 ) D.y=100· 2x 指数函数 y=ax,在 a>1 时呈爆炸式增长,并且 a 值越大,增长速度越 快,应选 A. 答案 A 题型二 指数函数、 对数函数与幂函数模型的比 典例迁移 较 【例 2】 函数 f(x)=2x 和 g(x)=x3 的图象如图所示.设两函数的图象交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1<x2. (1)请指出图中曲线 C1,C2 分别对应的函数. (2)结合函数图象,判断 f(6),g(6),f(2 011),g(2 011)的大小. 解 (1)C1 对应的函数为 g(x)=x3,C2 对应的函数为 f(x)=2x. (2)因为 f(1)>g(1),f(2)<g(2), f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以 1<x1<2,9<x2<10,所以 x1<6<x2,2 011>x2,从图 象上可以看出,当 x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以 f(6)<g(6).当 x>x2 时,f(x)>g(x), 所以 f(2 011)>g(2 011). 又因为 g(2 011)>g(6), 所以 f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6). 【迁移 1】 (变换条件)在例 2 中,若将“函数 f(x)=2x”改为“f(x)=3x”, 又如何求解第(1)题呢? 解 由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1 对应的函 数为 g(x)=x3,C2 对应的函数为 f(x)=3x. 【迁移 2】 (变换所求)本例条件不变,例 2(2)题中结论改为:试结合图象, 判断 f(8),g(8),f(2 015),g(2 015)的大小. 解 因为 f(1)>g(1), f(2)<g(2), f(9)<g(9), f(10)>g(10), 所以 1<x1<2,9<x2<10, 所以 x1<8<x2,2 015>x2,从图象上可以看出,当 x1<x<x2 时,f(x)<g(x),所以 f(8)<g(8),当 x>x2 时,f(x)>g(x),所以

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