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高中数学(人教版A版必修一)配套课件:第1章 集合与函数的概念-1.3.2 第2课时


§1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性 第2课时 奇偶性的应用 内容 索引 01 明目标 知重点 填要点 记疑点 02 03 探要点 究所然 当堂测 查疑缺 04 明目标、知重点 1.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解. 2.会推断奇偶函数的性质. 3.培养利用数学概念进行判断、推理的能力及加强化归 与转化能力的训练. 填要点·记疑点 奇偶性的应用中常用到的结论 (1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则必有f(0)= 0 . (2)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x) 在[-b,-a]上是 增 函数,且有最小值 -M . (3)若偶函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞) 上是 增函数 . 探要点·究所然 探究点一 利用奇偶性求函数解析式 例1 函数f(x) 是定义域为 R的奇函数,当x>0 时, f(x) =- x + 1 , 求当x<0时,f(x)的解析式. 解 设x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=x+1, ∴当x<0时,f(x)=-x-1. 反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间 上的变量为 x ,然后把 x 转化为- x ,此时- x 成为了已 知区间上的解析式中的变量,通过应用奇函数或偶函 数的定义,适当推导,即可得所求区间上的解析式. 跟踪训练1 设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x) 1 = ,求函数f(x),g(x)的解析式. x-1 解 ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 由 f(x)+g(x)= . x-1 1 ① 1 用-x 代换 x 得 f(-x)+g(-x)= , -x-1 ∴f(x)-g(x)= , -x-1 (①+②)÷ 2,得 f(x)= 2 ; x -1 (①-②)÷ 2,得 g(x)= 2 . x -1 x 1 ② 1 探究点二 奇、偶函数的单调性 思考1 观看下列两个偶函数的图象在y轴两侧的图象有何 不同?可得出什么结论? 答 偶函数在 y 轴两侧的图象的升降方向是相反的; 即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 思考2 观看下列两个奇函数的图象在y轴两侧的图象有何 不同?可得出什么结论? 答 奇函数在y轴两侧的图象的升降方向是相同的;即奇函 数在关于原点对称的区间上的单调性相同. 例2 已知函数f(x)是奇函数,其定义域为(-1,1),且在[0,1) 上为增函数.若f(a-2)+f(3-2a)<0,试求a的取值范围. 解 ∵f(a-2)+f(3-2a)<0, ∴f(a-2)<-f(3-2a). 又f(x)为奇函数,∴f(a-2)<f(2a-3). 又f(x)在[0,1)上为增函数, ∴f(x)在(-1,1)上为增函数, ?a-2<2a-3, ? ? ∴?-1<a-2<1, ? ? ? -1<2a-3<1, ?a>1, ? ? ∴?1<a<3, ? ? ?1<a<2, ∴1<a<2. ∴a的取值范围为(1,2). 反思与感悟 在奇、偶函数定义中,交换条件和结论仍 成立.即若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x).若f(x)为偶函数, 则f(-x)=f(x). 跟踪训练 2 已知 f(x)是定义在 (- 1,1)上的奇函数,且 f(x)

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