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北京市西城区2013-2014学年高二上学期期末考试数学试题


北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷

高二数学
(理科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

2014.1

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合要求的. 1.圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1的半径为( A. 1 2.双曲线 x ?
2

) C. 2 D. 4

B.

2
)

y2 ? 1 的实轴长为( 9
B. 3

A. 4

C. 2 )

D. 1

3.若 a ? ( x, ?1,3) , b ? (2, y,6) ,且 a //b ,则( A. x ? 1, y ? ?2 C. x ?

B. x ? 1, y ? 2 D. x ? ?1, y ? ?2 ) B. ?x ? R , x 2 ? 0 D. ? x ? R , x 2 ? 0
2 2

1 , y ? ?2 2

2 4.命题“ ?x ? R , x ? 0 ”的否定为(

A. ?x ? R , x 2 ? 0 C. ? x ? R , x 2 ? 0

5. “ m ? n ”是“方程 mx ? ny ? 1表示圆”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

)

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

6.关于直线 a , b 以及平面 M , N ,下列命题中正确的是( A. 若 a // M , b // M ,则 a // b C. 若 b ? M ,且 a ? b ,则 a ? M

B. 若 a // M , b ? a ,则 b ? M D. 若 a ? M , a // N ,则 M ? N

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点, 7.已知 F1 , F2 为椭圆 25 9
1

AB ? 8 ,则 AF2 ? BF2 ? (
A. 2 B. 10

) C. 12 )
2

D. 14

8.某几何体的三视图如图所示,则它的体积等于( A. 8

正视图

侧视图

B. 6 C. 4 D.
2 2 俯视图

9.已知平面内两个定点 A(?1,0), B(1,0) ,过动点 M 作直线 AB 的垂线,垂足为 N .若

8 3

MN ? AN ? BN ,则动点 M 的轨迹是(
A. 圆 B. 抛物线

2

) D. 双曲线

C. 椭圆

10. 已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,点 E , F , G 分别 是线段 B1B , AB 和 AC 1 上的动点,观察直线 CE 与 D1 A1 E G D F D. 4 个 B C B1 C1

D1F , CE 与 D1G .给出下列结论:

①对于任意给定的点 E ,存在点 F ,使得 D1F ? CE ; ②对于任意给定的点 F ,存在点 E ,使得 CE ? D1F ; ③对于任意给定的点 E ,存在点 G ,使得 D1G ? CE ; A ④对于任意给定的点 G ,存在点 E ,使得 CE ? D1G . 其中正确结论的个数是( A. 1 个 B. 2 个 ) C. 3 个

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上. 11. 已知抛物线的准线为 x ? ?1 ,则其标准方程为_______. 12. 命题“若 x ? y ,则 x ? y ”的否命题是:__________________.

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为_______;渐近线方程为_______. 13. 双曲线 4 12
14. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,则球的表面积与这个正方体的表面积 之比为_______. 15. 如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, ABCD 是边长 为 1 的正方形, D1B 与平面 ABCD 所成的角为 45 , D
2

D1 A1 B1

C1

C B

A

则棱 AA1 的长为_______;二面角 B ? DD1 ? C 的 大小为_______. 16. 已知 M 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点, N 为椭圆长轴上一点, O 为坐标原点. 4 3

给出下列结论: ① 存在点 M , N ,使得 ?OMN 为等边三角形; ② ②不存在点 M , N ,使得 ?OMN 为等边三角形; ③存在点 M , N ,使得 ?OMN ? 90 ;④不存在点 M , N ,使得 ?OMN ? 90 . 其中,所有正确结论的序号是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 底面 ABCD ,

M 、 N 分别是 AB 、 PC 中点.
(Ⅰ)求证: MN // 平面 PAD ; (Ⅱ)求证: AB ? MN . 18.(本小题满分 13 分)已知圆 C 经过坐标原点 O 和点 (2, 2) ,且圆心在

x 轴上.
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 经过点 (1, 2) ,且 l 与圆 C 相交所得弦长为 2 3 ,求 直线 l 的方程. 19. (本小题满分 13 分) 如图, 在直三棱柱 C1 B1

ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90? , A1

AC ? CB ? CC1 ? 2 , E 是 AB 中点.
(Ⅰ)求证: AB1 ? 平面 A1CE ; (Ⅱ)求直线 A1C1 与平面 A1CE 所成角的正弦值. 20. (本小题满分 14 分) 如图所示, 四边形 ABCD 为直角梯形,AB // CD , A C B E ,

AB ? BC

?ABE 为 等 边 三 角 形 , 且 平 面 ABCD ? 平 面 ABE ,

AB ? 2CD ? 2 BC ? 2 , P 为 CE 中点.
(Ⅰ )求证: AB ? DE ; (Ⅱ )求平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角的余弦 值; (Ⅲ) 在 ?ABE 内是否存在一点 Q , 使 PQ ? 平面 CDE ,
3

C D
·

P

B E A

如果存在,求 PQ 的长;如果不存在,说明理由.

,0) ,过 M 的直线 l 交抛物线 C 于 A, B 21.(本小题满分 13 分)已知抛物线 C : y ? 12 x ,点 M (?1
2

两点. (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标等于 2 ,求直线 l 的斜率; (Ⅱ)设点 A 关于 x 轴的对称点为 A? ,求证:直线 A?B 过定点. 22.(本小题满分 14 分)已知 A, B, C 为椭圆 W : x2 ? 2 y 2 ? 2 上的三个点, O 为坐标原点. (Ⅰ)若 A, C 所在的直线方程为 y ? x ? 1 ,求 AC 的长; (Ⅱ)设 P 为线段 OB 上一点,且 OB ? 3 OP ,当 AC 中点恰为点 P 时,判断 ?OAC 的面积 是否为常数,并说明理由.

北京市西城区 2013 — 2014 学年度第一学期期末试卷

高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.B 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.C 8.C 9.D 10. B

2014.1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11. y 2 ? 4 x 14. ? ? ? 12. 若 x ? y ,则 x ? y . 15. 13. 2 , y ? ? 3x 16. ①④

2 , 45

注:一题两空的试题,第一空 3 分,第二空 2 分; 16 题,仅选出①或④得 3 分;错选得 0 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 17. 证明:(Ⅰ)取 PD 中点 Q ,连结 AQ, NQ . 因为 N 是 PC 中点, 所以 NQ // P ??????2 分 Q N

1 DC . 2

1 又 M 是 AB 中点, AM // DC , 2
所以 AM // NQ , 四边形 AQNM 是平行四边形. ???4 分 所以 MN //AQ . ??????5 分 B M A

D C

因为 MN ? 平面 PAD , AQ ? 平面 PAD ,

4

所以 MN // 平面 PAD . ??????7 分 (Ⅱ)因为 PA ^ 平面 ABCD ,所以 PA ^ AB . 又 ABCD 是矩形, 所以 AB ^ AD . 所以 AB ^ 平面 PAD , 所以 AB ^ AQ . 又 ??????9 分 ??????10 分 ??????11 分 ??????8 分

AQ //MN ,
??????13 分

所以 AB ^ MN .

18. 解:(Ⅰ)设圆 C 的圆心坐标为 ( a, 0) , 依题意,有 a ? (a ? 2) ? 2 ,
2 2

??????2 分 ??????4 分 ??????6 分 ??????8 分 ??????9 分

2 2 即 a ? a ? 4a ? 8 ,解得 a ? 2 ,

所以圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 . (Ⅱ)依题意,圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 1 , 所以直线 x ? 1 符合题意. 另,设直线 l 方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 , 则

k ?2 k 2 ?1

? 1,
3 , 4 3 ( x ? 1) ,即 3x ? 4 y ? 11 ? 0 . 4

??????11 分

解得 k ? ?

??????12 分 ??????13 分

所以直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

综上,直线 l 的方程为 x ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 11 ? 0 . 19.(Ⅰ)证明:因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1 ^ AC ,CC1 ^ BC , 又 ? ACB z C1 A1 ??????2 分 B1

90 ,

o

即 AC ^ BC .

如图所示,建立空间直角坐标系 C - xyz .

A(2,0,0) , B1 (0, 2, 2) , E (1,1,0) , A1 (2,0, 2) , uuu r uur 所以 AB1 =(- 2, 2, 2) , CE=(11 , ,0) , uuu r ??????4 分 CA1 = (2,0,2) . uuu r uur uuu r uuu r 又因为 AB1 ? CE 0 , AB1 ? CA1 0 ,

C A x E

B

y

??????6 分

5

uuu r (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, AB1 =( - 2, 2, 2) 是平面 ACE 的法向量, 1 uuu r uur C1 A1 =CA = (2,0 ,0) , uuuu r uuu r uuuu r uuu r 3 C1 A1 ×AB1 则 cos狁 . C1 A1 , AB1 = uuuu r uuu r = 3 C1 A1 AB1
uuuu r uuu r

所以 AB1 ^ CE , AB1 ^ CA1 , AB1 ^ 平面 ACE . 1

??????7 分 ??????9 分 ??????10 分 ??????12 分

设直线 AC 所成的角为 q , 则 sin q = cos狁 C1 A1 , AB1 = 1 1 与平面 ACE 1 所以直线 A1C1 与平面 ACE 所成角的正弦值为 1 20. (Ⅰ)证明:取 AB 中点 O ,连结 OD, OE , 因为△ ABE 是正三角形,所以 AB ^ OE . 因为 四边形 ABCD 是直角梯形, DC =

3 . 3

3 . 3

??????13 分 ??????1 分

1 AB , AB // CD , 2

所以 四边形 OBCD 是平行四边形, OD // BC , 又

AB ^ BC ,所以 AB ^ OD .

z D

C

所以 AB ^ 平面 ODE ,??????3 分 所以 AB ^ DE . ??????4 分

·

P

(Ⅱ )解:因为平面 ABCD ? 平面 ABE ,

B O A x E y

AB ^ OE ,所以 OE ^ 平面 ABCD ,
所以 OE ? OD . ??????5 分

如图所示,以 O 为原点建立空间直角坐标系.

则 A(1, 0 , 0) , B(- 1,0 ,0) , D(0 , 0 ,1) , C (- 1,0 ,1) , E(0, 3 ,0) . 所以 AD=(- 1,0,1) , DE =(0, 3 ,- 1) , 设平面 ADE 的法向量为 n1 =(x1 , y1 ,z1 ) ,则

uuu r

uuu r

??????6 分

uuu r ì ? ? n1 ?DE í uuu r ? n ? AD ? ? ? 1

0

ì ? 3 y1 - z1 = 0 ? ? , í 0 ? ? ? - x1 + z1 = 0

??????7 分

令 z1 = 1 ,则 x1 = 1 , y1 =

3 3 .所以 n1 = (1, ,1) . 3 3

??????8 分 ??????9 分

同理求得平面 BCE 的法向量为 n2 =( -

3 ,1,0) ,

设平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角为 ? ,则

6

cos ? =

n1 ×n2 7 . = n1 n2 7

所以平面 ADE 与平面 BCE 所成的锐二面角的余弦值为

7 . 7

??????10 分

(Ⅲ)解:设 Q( x2 , y2 ,0) ,因为 P(所以 PQ = ( x2 +

1 3 1 , , ), 2 2 2

uuu r

uuu r uuu r 1 3 1 , y2 ,- ) , CD =(1,0,0) , DE =(0, 3 , - 1) . 2 2 2
0, 0,
ì 1 ? ? x2 + = 0 , ? ? 2 即? í ? 3 1 ? 3( y2 ) + = 0, ? ? 2 2 ? ?

uuu r uuu r ì ? PQ ? CD ? 依题意 í uuu r uuu r ? PQ ? DE ? ? ?

??????11 分

解得 x2 = -

1 3 , y2 = . 2 3

??????12 分 ??????13 分

符合点 Q 在三角形 ABE 内的条件. 所以,存在点 Q(-

1 3 3 .????14 分 , , 0) ,使 PQ ^ 平面 CDE ,此时 PQ = 2 3 3

21.解:(Ⅰ)设过点 M (?1, 0) 的直线方程为 y ? k ( x ? 1) , 由 ?

? y ? k ( x ? 1),
2 ? y ? 12 x,

得 k 2 x2 ? (2k 2 ?12) x ? k 2 ? 0 .

??????2 分

因为 k 2 ? 0 ,且 ? ? (2k 2 ?12)2 ? 4k 4 ? 144 ? 48k 2 ? 0 , 所以, k ? (? 3,0)

(0, 3) .
12 ? 2k 2 , x1 x2 ? 1 . k2 x1 ? x2 6 ? k 2 ? ? 2, 2 k2

??????3 分 ??????5 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

因为线段 AB 中点的横坐标等于 2 ,所以 解得 k ? ? 2 ,符合题意. (Ⅱ)依题意 A?( x1 , ? y1 ) ,直线 A?B : y ? y2 ?
2 又 y1 ? 12x1 , y2 ? 12x2 , 2

??????6 分

??????7 分

y2 ? y1 ( x ? x2 ) , x2 ? x1

??????8 分

7

所以 y ?

12 ( x ? x2 ) ? y2 , y2 ? y1 yy 12 x? 1 2 y2 ? y1 y2 ? y1

??????9 分

?

??????10 分

2 2 因为 y1 y2 ? 144x1x2 ? 144 , 且 y1 , y2 同号,所以 y1 y2 ? 12 ,

??????11 分

所以 y ?

12 ( x ? 1) , y2 ? y1

??????12 分

所以,直线 A?B 恒过定点 (1, 0) .

??????13 分

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 22. 解:(Ⅰ)由 ? ? y ? x ?1
解得 x ? 0 或 x ? ?

得 3x ? 4 x ? 0 ,
2

4 , 3 4 1 ,? ) , 3 3

??????2 分 ??????4 分 ??????5 分

所以 A, C 两点的坐标为 (0,1) 和 (? 所以 AC ?

4 2. 3

(Ⅱ)①若 B 是椭圆的右顶点(左顶点一样),则 B( 2,0) , 因为 OB ? 3 OP , P 在线段 OB 上,所以 P(

4 2 2 ,??6 分 , 0) ,求得 AC ? 3 3
??????7 分

所以 ?OAC 的面积等于

? 4 2 2 4 ? ? = . 2 3 3 9

②若 B 不是椭圆的左、右顶点,设 AC : y ? kx ? m(m ? 0) , A( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) , 由?

? y ? kx ? m, ?x ? 2 y ? 2
2 2

得 (2k ? 1) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,
2 2 2

??????8 分

4km 2m 2 ? 2 x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? , 2k ? 1 2k 2 ? 1
所以, AC 的中点 P 的坐标为 (?

2km m , 2 ), 2 2k ? 1 2k ? 1

??????9 分

8

所以 B ( ?

6km 3m , 2 ) ,代入椭圆方程,化简得 2k 2 ? 1 ? 9m2 . ?????10 分 2 2k ? 1 2k ? 1

2 2 计算 AC ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?

2 2 1 ? k 2 2k 2 ? 1 ? m 2 ????11 分 2k 2 ? 1
??????12 分

8 1? k 2 = . 9m
因为点 O 到 AC 的距离 dO? AC ?

m 1? k 2

.

??????13 分

所以, ?OAC 的面积 S ?OAC ? 综上, ?OAC 面积为常数

m ? 8 1? k 2 4 ? ? ? . AC ? dO ? AC ? ? 2 9m 2 1? k 2 9
??????14 分

4 . 9

9


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