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2018届高考数学黄金考点精析精训考点05函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)理!


考点 5

函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)
【考点剖析】

一.最新考试说明: 1.理解函数的单调性,会讨论和证明函数的单调性. 2.理解函数的奇偶性,会判断函数的奇偶性. 3.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 二.命题方向预测: 1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的 热点. 2.函数的奇偶性是高考考查的热点. 3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求 函数值及求参数值等问题是重点,也是难点. 4.题型以选择题和填空题为主,函数性质与其它知识点交汇命题. 三.课本结论总结: 1.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点 对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. 注意:确定函数的奇偶性,务必先判定 函数定义域是否关于原点对称. 确定函数奇偶性的常用方法有: 定义法、 图像法、 性质法等.

) 的定义域时, f (0) ? 0 是 f ( x) 为 2.若奇函数定义域中有 0,则必有 f (0) ? 0 .即 0 ? f ( x
奇函数的必要非充分条件. 对于偶函数而言有: f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . 3.确定函数的单调性或单调区间,在解答题中常用:定义法(取值、作差、鉴定) 、导数法; 在选择、填空题中还有:数形结合法(图像法)、特殊值法等等. 4.若函数 f ? x ? 的定义域关于原点对称,则 f ? x ? 可以表示为

f ? x? ?

1 1 f ? x ? ? f ? ? x ?? ? ? f ? x ? ? f ? ? x ?? ? ? ? ? ,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶 2 2?

函数的和. 5.既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集) . 6.复合函数的单调性特点是: “同增异减” ;复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同 外” .复合函数要考虑定义域的变化(即复合有意义) .

1

7.函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? f ?? x ?的图像关于直线 x ? 0 ( y 轴)对称. 8.函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ?x ? 的图像关于直线 y ? 0 ( x 轴)对称. 9.函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ? ? x ? 的图像关于坐标原点中心对称. 10.函数 y ? a x 与函数 y ? loga x ? a ? 0, a ? 1? 的图像关于直线 y ? x 对称. 四、名师二级结论: 一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y=

1 分别在(-∞, x

0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单 调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 一条规律 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 注意:分段函数判断奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的关系,只有当对称的两段上都 满足相同的关系时,才能判断其奇偶性. 两个应用 1.已知函数的奇偶性求函数的解析式. 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于 f(x)的方程, 从而可得 f(x)的解析式. 2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数. 常常采用待定系数法: 利用 f(x)±f(-x)=0 产生关于字母的恒等式, 由系数的对等性可得 知字母的值. 三种方法 判断函数单调性的三种方法方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)导数法. 判断函数的奇偶性的三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 在判断函数是否具有奇偶性时,为了便于判断,有时需要将函数进行化简,或应用定义的变 通形式:

f(-x)=±f(x) ? f(-x)±f(x)=0 ?
五、课本经典习题:

f (? x) =±1,f(x)≠0. f ( x)

(1)新课标人教 A 版必修一第 36 页练习第 1(3)题
2

判断下列函数的奇偶性: f ( x) =

x2 + 1 . x

【经典理由】典型的巩固定义题,可以进行多角度变式. (2)新课标人教 A 版必修一第 44 页复习参考题 A 组第八题 设 f ( x) ?

1 1 ? x2 ,求证: (1) f (? x) ? f ( x) ; (2) f ( ) ? ? f ( x ) . 2 1? x x

【经典理由】典型的巩固定义题,可以进行改编、变式或拓展. (3)新课标人教 A 版必修一第 83 页复习参考题 B 组第 3 题 对于函数 f ? x ? ? a ? 为奇函数? 【经典理由】典型的函数性质应用题,可以进行改编、变式或拓展. (4)新课标人教 A 版必修一第 83 页复习参考题 B 组第 4 题 设 f ( x) ?
2 (1)探索函数 f ( x) 的单调性; (2)是否存在实数 a 使 f ( x) ?a ? R? . 2x ? 1

e x ? e? x e x ? e? x , g ( x) ? ,求证: 2 2
2 2 2 2

(1) (2) f (2 x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ; (3)g (2 x ) ? ? g ( x ) ? ? ? f ( x) ? . ? g ( x) ? ? ? f ( x) ? ? 1 ; 【经典理由】典型的证明函数性质题,可以进行改编、变式或拓展. 六.考点交汇展示: (1)函数的奇偶性与函数的零点交汇 例 1. 【2018 届湖北省荆州中学高三上学期第二次】已知函数 f ? x ? 是定义在

2 ? 1, 0 ? x ? 2 ,则函数 ? ??,0? ? ?0, ??? 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? { 1 f ? x ? 2? , x ? 2 2

x ?1

g ? x ? ? 4 f ? x ? ?1 的零点个数为(
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10



【答案】D 【解析】求函数 g ? x ? ? 4 f ? x ? ?1 的零点个数只需考查方程 f ? x ? ?

1 的实根个数, 4

当 0 ? x ? 2 时, f ? x ? ? 2

x ?1

? 1 ? { ? 1 ? x ?1 , f ? x ? 在 ? 0,1? 上递减,在 ? 1, 0 ? x ? 1 ? ? ?2?

2 x ?1 ? 1,1 ? x ? 2

?1, 2? 上递增,

f ? 2? ? 1 ,值域为 ?0,1? .
3

当 x ? 2 时, f ? x ? ?

1 f ? x ? 2? 2

当 2 ? x ? 4 时,函数 f ? x ? 的值域为 ?0, ? , 2 当 4 ? x ? 6 时,函数 f ? x ? 的值域为 ?0, ? , 4 当 6 ? x ? 8 时,函数 f ? x ? 的值域为 ? 0,

? 1? ? ?

? 1? ? ?

? 1? ?, ? 16 ?

f ? x? ?

1 1 在 x ? 0 上有 5 个实根,又函数为偶函数, f ? x ? ? 在 ? ??,0? ? ? 0, ??? 上 4 4

有 10 个实根,函数 g ? x ? ? 4 f ? x ? ?1 的零点个数为 10 个,选 D. (2) 函数的周期性与函数的零点交汇 例 2. 【2017 江苏,14】设 f ( x) 是定义在 R 且周期为 1 的函数,在区间 [0,1)
2 ? n ?1 ? x , x ? D, ? ? , n ? N*? , 上, f ( x) ? ? 其中集合 D ? ? x x ? 则方程 f ( x) ? lg x ? 0 的解的个数 n ? ? x , x ? D , ? ?

是 【答案】8

.

【解析】由于 f ( x) ? [0,1) ,则需考虑 1 ? x ? 10 的情况 在此范围内, x ? Q 且 x ? Z 时,设 x ?

q , p, q ? N* , p ? 2 ,且 p, q 互质 p
n , m, n ? N* , m ? 2 ,且 m, n 互质 m

若 lg x ? Q ,则由 lg x ? (0,1) ,可设 lg x ? 因此 10 m ?
n

q q m n ,则 10 ? ( ) ,此时左边为整数,右边非整数,矛盾,因此 lg x ? Q p p

因此 lg x 不可能与每个周期内 x ? D 对应的部分相等, 只需考虑 lg x 与每个周期 x ? D 的部分的交点,

4

(3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题 例 3. 【2017 河北定州中学】函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,

?2 x ,0 ? x ? 1 1 ? ,则方程 f ? x ? ? 在 ? ?3,5? 上的所有实根之和为( f ? x? ? ?1 x ? f ? x ? 1? , x ? 1 ?2
A.0 D.6 【答案】C B.2 C.4



【考点分类】 热点一 函数的单调性 1. 【2016 高考北京文数】下列函数中,在区间 ( ?1,1) 上为减函数的是( ) A. y ?
1 1? x

B. y ? cos x

C. y ? ln( x ? 1)

D. y ? 2? x

【答案】D

1 ? ( ) x 在 R 上单调递减可知 D 符合题意,故选 D. 2 1 x x 2.【2017 北京,理 5】已知函数 f ( x ) ? 3 ? ( ) ,则 f ( x ) 3
【解析】由 y ? 2
?x

(A)是奇函数,且在 R 上是增函数 (C)是奇函数,且在 R 上是减函数

(B)是偶函数,且在 R 上是增函数 (D)是偶函数,且在 R 上是减函数
5

【答案】A

3.下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是( (A) f ? x ? ? x 2 【答案】 D
1



(B) f ? x ? ? x3

(C) f ? x ? ? ? ?

?1? ?2?

x

(D) f ? x ? ? 3x

【解析】 A 选项:由 f ? x ? y ? ? ? x ? y ? 2 , f ? x ? f ? y ? ? x 2 ? y 2 ? ( xy) 2 ,得

1

1

1

1

f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ,所以 A 错误; B 选项:由 f ? x ? y ? ? ? x ? y ? ,
3

f ? x ? f ? y ? ? x3 ? y3 ? ( xy)3 ,得 f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ,所以 B 错误; C 选项:函数
?1? f ? x ? ? ? ? 是定义在 R 上减函数,所以 C 错误; D 选项:由 f ? x ? y ? ? 3x? y , ?2?
x

f ? x ? f ? y ? ? 3x ? 3y ? 3x? y ,得 f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ;又函数 f ? x ? ? 3x 是定义在 R 上
增函数,所以 D 正确.故选 D 【方法规律】 1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解. (2)可导函数则可以利用导数解之.但是,对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进 行. 2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义确定单调区间. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写 出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 3. 函数单调性的应用: f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性, 则 f(x1)<f(x2) ?

6

f(x1)-f(x2)<0,若函数是增函数,则 f(x1)< f(x2) ? x1<x2,函数不等式(或方程)的求解,
总是想方设法去掉抽象函数的符号, 化为一般不等式(或方程)求解, 但无论如何都必须在定 义域内或给定的范围内进行. 【易错点睛】 误区 1.求复合函数的单调区间时,忽视函数的定义域而致错 【例 1】求 y= x2 ? 4x ?12 的单调区间. 【错解】令 t=x -4x-12,则 t=x -4x-12 在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 又 y= t 是增函数,所以 y= x2 ? 4x ?12 的单调区间是(-∞,2]与[2,+∞),其中在 (-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增. 【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域{x|x≤-2 或 x≥6}. 【正解】 由 x -4x-12≥0, 得 x≤-2 或 x≥6, 令 t=x -4x-12, 则 t=(x-2) -16 在(- ∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数.又 y= t 是增函数,所以 y= x2 ? 4x ?12 的单调区间是(-∞,-2]与[6,+∞),其中在(-∞,-2]上递减,在[6,+∞)上递增. 【点拨】求解复合函数单调性问题,必须考虑函数的定义域,建立“定义域优先”意识. 误区 2. 忽视隐含条件致误 【例 2】已知 f(x)= ? 围是( )
2 2 2 2 2

?(3a ? 1)( x ? 4a), x ? 1 是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范 log x , x ? 1 ? a
1 1 C. [ ,) 7 3 1 D. [ , 1) 7

A. 1? ? ? 0,

1 B., (0 )? 3

【错解】 误选 B 项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件, 要知 道函数在 R 上为减函数,还需使得 f(x)=(3a-1)x+4a 在 x<1 上的最小值不小于 f(x)= logax 在 x≥1 上的最大值,多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误. 【正解】据题意使原函数在定义域 R 上为减函数,只需满足:

?3a ? 1 ? 0 1 1 ? ? ? a< .故选 C. ?0 ? a ? 1 7 3 ?(3a ? 1)(1 ? 4a) ? log 1 a ?
【点评】一般地,若函数 f(x)在区间[a,b)上为增函数,在区间[b,c]上为增函数,则不 一定说明函数 f(x)在[a,c]为增函数,如图(1) ,由图像可知函数 f(x)在[a,c]上整体不 呈上升趋势,故此时不能说 f(x)在[a,c]上为增函数,若图象满足如图(2) ,即可说明函 数在[a,c]上为增函数,即只需 f(x)在[a,b)上的最大值不大于 f(x)在[b,c]上的最小值 即可,同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论.

7

图(1) 需注意以下两点:

图(2)

(1)函数的单调区间是其定义域的子集,如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数 (或减函数),不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数),例如函数 f(x)= (-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说 f(x)=

1 在 x

1 在(-∞,0)∪(0, x

+∞)上是减函数,因为当 x1=-1,x2=1 时,有 f(x1)=-1<f(x2)=1 不满足减函数的定 义. (2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,一般不能直接用“∪”将它们连接起来,例 如:函数 y=x -3x 的单调增区间有两个: (-∞, -1)和(1, +∞)不能写成(-∞, -1)∪(1, +∞). 热点二 函数的奇偶性 1. 【2017 课标 1,理 5】函数 f ( x) 在 (??, ??) 单调递减,且为奇函数.若 f (1) ? ?1 ,则 满足 ?1 ? f ( x ? 2) ? 1 的 x 的取值范围是 A. [?2, 2] 【答案】D 【解析】 B. [?1,1] C. [0, 4] D. [1,3]
3

【考点】函数的奇偶性、单调性 2. 【 2017 课标 II ,文 14 】已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? (??, 0) 时,

f ( x) ? 2 x3 ? x2 ,
则 f (2) ? ________. 【答案】12

8

3. 【2016 年高考四川理数】已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时, f ( x) ? 4x ,则 f ( ? ) ? f (1) = 【答案】-2 【解析】因为函数 f ( x ) 是定义在 R 上周期为 2 的奇函数,所以

5 2

.

f (?1) ? ? f (1), f (?1) ? f (?1 ? 2) ? f (1) ,所以 ? f (1) ? f (1) ,即 f (1) ? 0 ,
1 5 5 1 1 1 f (? ) ? f (? ? 2) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?4 2 ? ?2 ,所以 f (? ) ? f (1) ? ?2 . 2 2 2 2 2

【方法规律】 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 一般地,对于较简单的函数解析式,可通过定义直接作出判断;对于较复杂的解析式,可先 对其进行化简,再利用定义进行判断.利用定义判断函数奇偶性的步骤:

(2)图象法 奇函数的图象关于原点成中心对称, 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称. 因此要证函数的图象 关于原点对称,只需证明此函数是奇函数即可;要证函数的图象关于 y 轴对称,只需证明此 函数是偶函数即可.反之,也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性. 2.已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数 常常采用待定系数法, 利用 f(x)±f(-x)=0 得到关于 x 的恒等式, 由对应项系数相等可得 字母的值.
9

【易错点睛】 函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质,其定义中要求 f(x)和 f(-x)必须同时存在, 所以函数定义域必须关于原点对称, 这是函数具有奇偶性的前提. 如果某一个函数的定义域 不关于原点对称,它一定是非奇非偶函数. 误区.不明分段函数奇偶性概念致错

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ? 【例 1】判断 f(x)= ?3, x ? 0 的奇偶性. ?? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ?
【错解】当 x>0 时,-x<0,f(-x)=(-x) +2(-x)+3=-(-x +2x-3)=-f(x). 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-(-x) +2(-x)-3=-(x +2x+3)=-f(x).所以 f(x) 是奇函数. 【剖析】漏 x=0 情况. 【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的 x,都有 f(-x)=-f(x)成立,但当 x=0 时, f(0)=3≠-f(0),所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 热点三 函数的周期性 1. 【2016 高考山东理数】 已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f ( x) ? x ?1 ; 当 ?1 ? x ? 1
3
2 2 2 2

时, f (? x) ? ? f ( x) ;当 x ? (A)? 2 【答案】D 【解析】当 x ? (B)? 1

1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) .则 f(6)= ( 2 2 2
(C)0 (D)2



1 1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) ,所以当 x ? 时,函数 f ( x ) 是周期为 1 的周 2 2 2 2
3

期函数, 所以 f (6) ? f (1) , 又函数 f ( x ) 是奇函数, 所以 f (1) ? ? f (?1) ? ? ?? ?1? ? 1? ? 2 ,

?

?

故选 D. 2.设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ?[?1,1) 时,

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, 3 ,则 f ( ) ? f ( x) ? ? 2 0 ? x ? 1, ? x,
【答案】1 【解析】 f ( ) ? f ( ? ) ? ?4 ? 【方法规律】



3 2

1 2

1 ? 2 ? 1. 4

10

函数周期性的相关结论: 设 a 是非零常数, 若对 f(x)定义域内的任意 x, 恒有下列条件之一成立: ①f(x+a)=-f(x); ② f(x+a)=

1 1 ;③ f(x+a)=;④f(x+a)=f(x-a),则 f(x)是周期函数,2|a|是 f ( x) f ( x)

它的一个周期.(以上各式中分母均不为零). 热点四 函数性质的综合应用 1. 【2016 年高考北京理数】已知 x , y ? R ,且 x ? y ? 0 ,则( )

A.

1 1 ? ?0 x y

B. sin x ? sin y ? 0

C. ( ) ? ( ) ? 0 D. ln x ? ln y ? 0
x y

1 2

1 2

【答案】C

2.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2

x ?m

? 1 ( m 为实数)为偶函数,记
)

a ? f (log0.5 3), b ? f ?log2 5? , c ? f ? 2m? ,则 a, b, c 的大小关系为(
(A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a 【答案】C 【解析】因为函数 f ? x ? ? 2
x ?m

? 1为偶函数,所以 m ? 0 ,即 f ? x ? ? 2 ? 1 ,所以
x
1

log2 1? ? a ? f (log0.5 3) ? f ? log2 ? ? 2 3 ? 1 ? 2log2 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2, 3? ?

b ? f ?log2 5? ? 2log2 5 ? 1 ? 4, c ? f ? 2m? ? f (0) ? 20 ? 1 ? 0
所以 c ? a ? b ,故选 C. 3.【2016 高考江苏卷】设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1,1) 上,

11

? x ? a, ?1 ? x ? 0, 5 9 ? 其中 a ? R. 若 f (? ) ? f ( ) ,则 f (5a) 的值是 f ( x) ? ? 2 2 2 ? 5 ? x ,0 ? x ? 1, ?
【答案】 ?

.

2 5

5 1 9 1 1 1 2 3 【解析】 f (? ) ? f (? ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? a ? ? ? a ? , 2 2 2 2 2 2 5 5 3 2 因此 f (5a) ? f (3) ? f (1) ? f (?1) ? ?1 ? ? ? . 5 5
【方法规律】 1.解这类综合题的一般方法 在解决函数性质有关的问题中, 如果结合函数的性质画出函数的简图, 根据简图进一步研究 函数的性质,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很 大的帮助. (1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性 调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的 图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象. 2. 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系 若函数有两条对称轴(或两个对称中心, 或一对称轴一对称中心), 则该函数必是周期函数. 特 别地,有以下结论(其中 a≠0): 若 f(x)有对称轴 x=a,且是偶函数,则 f(x)的周期为 2a; 若 f(x)有对称轴 x=a,且是奇函数,则 f(x)的周期为 4a; 若 f(x)有对称中心(a,0),且是偶函数,则 f(x)的周期为 4a; 若 f(x)有对称中心(a,0),且是奇函数,则 f(x)的周期为 2a. 【易错点睛】 误区 1.函数的性质挖掘不全致误 【例 1】奇函数 f(x)定义在 R 上,且对常数 T>0,恒有 f(x+T)=f(x),则在区间[0,2T] 上,方程 f(x)=0 根的个数至少有 ( ) B.4 个 C.5 个 D.6 个

A.3 个

【错解】 由 f(x)是 R 上的奇函数, 得 f(0)=0 ? x1=0. 再由 f(x+T)=f(x)得 f(2T)=f(T) =f(0)=0 ? x2=T,x3=2T.即在区间[0,2T]上,方程 f(x)=0 根的个数最小值为 3 个. 【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇.即 f (? x) ? ? f ( x) ……①
12

f ( x) ? f ( x ? T ) ……②解时要把抽象性质用足,不仅要充分利用各个函数方程,还要注意
方程①和②互动.

误区 2.忽视隐含条件的挖掘致误 【例 2】设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,

?ax ? 1, ?1 ? x ? 0 1 3 ? 其中 a,b∈R.若 f( )=f( ) ,则 a+3b 的值为________. f ( x)= ? bx ? 2 2 2 ,0 ? x ?1 ? ? x ?1
【错解】因为 f(x)的周期为 2,所以 f(

3 3 1 1 1 )=f( -2)=f(- ) ,即 f( )=f(- ) .又因为 2 2 2 2 2

b ?2 1 b?4 1 1 1 2 b?4 , ? 3a+2b=-2 . ,所以 ? a+1= f(- )=- a+1,f( )= ? 2 3 2 2 2 1 ?1 3 2
【剖析】 (1)转化能力差,不能把所给区间和周期联系起来;(2)挖掘不出 f(-1)=f(1),从而无法 求出 a、b 的值. 【正解】因为 f(x)的周期为 2,所以 f(

3 3 1 1 1 )=f( -2)=f(- ) ,即 f( )=f(- ) .又因为 2 2 2 2 2

b ?2 1 b?4 2 1 1 1 2 b?4 , .整理,得 a=- (b+1) .① ,所以 ? a+1= f(- )=- a+1,f( )= ? 1 2 3 3 2 2 2 3 ?1 2
又因为 f(-1)=f(1),所以 -a+1=

b?2 ,即 b=-2a. 2



将②代入①,得 a=2,b=-4.所以 a+3b=2+3×(-4)=-10. 【热点预测】 1. 【2018 届安徽省滁州市高三 9 月联考】 若函数 f ? x ? ? 2x ? ? x ? a ? x ? a |在区间 ?3,0
2

?

?

上不是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A.



? ?3,0? ? ?0,9?

B.

? ?9,0? ? ?0,3?

13

C.

? ?9,3?

D.

? ?3,9?
3x 2 ? 2ax ? a 2 , x ? a x 2 ? 2ax ? a 2 , x ? a

【答案】B 【解析】 f ? x ? ? { ,分 a ? 0, a ? 0, a ? 0 三种情况讨论.

当 a ? 0 时, ?a ? ?3 ,所以 0 ? a ? 3 ; 当 a ? 0 时, f ? x ? ? { 当 a ? 0 时,

3x 2 , x ? 0 x2 , x ? 0

,显然单调;

a ? ?3 ,所以 ?9 ? a ? 0 . 3

综上: ?9 ? a ? 0 或 0 ? a ? 3 . 故选 B. 2. 【2018 届河北省鸡泽县第一中学高三上第一次月考】若对任意的 x∈R,y= 意义,则函数 y=loga 的大致图象是( ) 均有

A.

B.

C. 【答案】B

D.

【解析】由对数函数的定义知 a>0 且 a ? 1 ,函数 y ? log a

1 的定义域为 x

(? ?, 0)( ? 0, ? ?) 由题对任意 x ? R,y ? 1 ? a x 均有意义,则 1-a|x|≥0,恒成立, 1 .又 x>0 时, y ? log a 可得 0<a<
∴由复合函数的单调性知 y ? log a

1 , x

u?

1 单调递减, y ? logau 单调递减, x

1 单调递增, x

y ? log a

1 1 为偶函数,其图象应关于 y 轴对称, ? x<0 时, y ? log a 单调递减, x x
14

故选:B. 3. 【2016 高考新课标 2 理数】已知函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? 2 ? f ( x) ,若函数

y?

m x ?1 与 y ? f ( x) 图像的交点为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), ???,( xm , ym ), 则 ? ( xi ? yi ) ? ( x i ?1



(A)0 【答案】C

(B) m

(C) 2 m

(D) 4 m

【解析】由于 f ? ?x ? ? f ? x ? ? 2 ,不妨设 f ? x ? ? x ? 1 ,与函数 y ?

x ?1 1 ? 1 ? 的交点为 x x

?1,2? , ? ?1,0? ,故 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 2 ,故选 C.
4.已知 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), f ( x) ? f (? x ? 2) ,方程 f ( x) ? 0 在[0,1]内有且只有一个 根x?

1 ,则 f ( x) ? 0 在区间 ?0,2013 ? 内根的个数为( 2
B.1006 C.2013

) D.1007

A.2011 【答案】C

5.若 f ? x ? ? ? x ? a ? x ? a ? x ? 4 的图像是中心对称图形,则 a ? ( A.4 【答案】B 【解析】 f ( x ?
g( x ) ? x ? a?4 3a ? 4 4?a a?4 ) ? (x ? )( x ? ? x? ) ,因为 2 2 2 2

?

?

)

B. ?

4 3

C.2

D. ?

2 3

4?a a?4 3a ? 4 4 ? x? 为偶函数,所以当且仅当 ? 0 ,即 a ? ? 时, 2 2 2 3

f (x ?

a?4 ) 为奇函数,图像关于原点对称.故选 B. 2
)

6.若函数 f ? x ?? x ? R ? 是奇函数,函数 g ? x ?? x ? R? 是偶函数,则一定成立的是( A.函数 f ? ? g ? x ?? ? 是奇函数 C.函数 f ? ? f ? x ?? ? 是奇函数 B.函数 g ? ? f ? x ?? ? 是奇函数 D.函数 g ? ? g ? x ?? ? 是奇函数

15

【答案】C 【解析】由题得,函数 f ? x ? , g ? x ? 满足 f ? ?x ? ? ? f ? x ? , g ? ?x ? ? g ? x ? ,则有

f? ? g ? ? x ?? ?? f ? ? g ? x ?? ?,g? ? f ? ? x ?? ??g? ?? f ? x ?? ??g? ? f ? x ?? ?, f? ? f ? ? x ?? ?? f ? ?? f ? x ?? ???f ? ? f ? x ?? ?,g? ? g ? ? x ?? ??g? ? g ? x ?? ? ,所以根据奇偶函数的
判断可得只有选项 C 是正确的,故选 C 7.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? ?

?(a ? 1) x ? 3a ? 4, ( x ? 0)
x ?a , ( x ? 0)

满足对任意实数 x1 ? x2 ,都



f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 成立,则 a 的取值范围是 ( x2 ? x1
(B) ?1, ?? ? ( C) ?1, ? 3



(A) ? 0,1? 【答案】C

? 5? ? ?

( D) ? , 2 ?

?5 ?3

? ?

?a ? 1 ? 0 ? 【解析】由已知,得函数 y ? f ( x) 在 R 上单调递增,故满足 ? a ? 1 ,解得 a 的取值范 ? 3a ? 4 ? 1 ?
围是 ?1, ? . 3 8.已知 f ( x) 是定义域为实数集 R 的偶函数, ? x1 ? 0 , ? x2 ? 0 ,若 x1 ? x2 ,则

? 5? ? ?

1 3 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .如果 f ( ) ? , 4 f ( log1 x ) ? 3,那么 x 的取值范围为 3 4 x2 ? x1 8
( ) (B) (

(A) ( 0 ,

1 ) 2 1 1 ( 0, ) ? ( , 2 ) 8 2

1 , 2) 2

( C) (

1 , 1 ] ?( 2 , ? ?) 2

(D)

【答案】B 【解析】∵ ? x1 ? 0 ,? x2 ? 0 , x1 ? x2 ,则

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴定义在实数集 R 上 x2 ? x1

的偶函数 f ( x) 在 [ 0 , ? ? ) 上是减函数.∵ 4 f ( log1 x ) ? 3, ∴ f ( log1 x ) ?
8
8

3 , 即 4

16

1 f ( log1 x ) ? f ( ) . 3 8
?log1 x ? 0, ? log1 x ? 0, ? 8 ? 8 1 1 ∴ ? 1, 或 ? 1 , 解得 2 ? x ? 1 或 1 ? x ? 2 .∴ 2 ? x ? 2 .故选 B. ? log1 x ? ?log1 x ? ? 3 3 ? 8 ? 8
9.已知实数 a ? 0, b ? 0 ,对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,有下述命题: ①“ f ( x) 是奇函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a) 的图像关于点 A( a, 0) 对称” ; ②“ f ( x) 是偶函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a) 的图像关于直线 x ? a 对称” ; ③“ 2 a 是 f ( x ) 的一个周期”的充要条件是“对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? a) ? ? f ( x) ” ; ④ “函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图像关于 y 轴对称”的充要条件是“ a ? b ” 其中正确命题的序号是 A.①② 【答案】A 【解析】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性,函数 f ( x ) 是奇函数的充要 条件是函数 f ( x ) 的图象关于原点对称,而 f ( x ) 的图象关于原点对称与函数 f ( x ? a) 的图 象关于点 A( a, 0) 对称是等价的,故①正确,同理②也是正确的,那么本题只能选 A 了,对 于③,我们知道函数 f ( x ) 满足“对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? a) ? ? f ( x) ”时, f ( x ) 是 周期为 2 a 的周期函数,但反过来一一定成立,如 f ( x ) 满足“对任意的 x ? R ,都有 B.②③ C.①④ D.③④

f ( x) ?

1 ”时, f ( x ) 也是周期为 2 a 的周期函数,③错误,而函数 y ? f ( x ? a) 与 f ( x ? a)

函数 y ? f (a ? x) 的图象是关于直线 x ? a 对称,而还是 y 轴,故④错误. 10. 【2018 届宁夏育才中学高三上学期第一次月考】 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, 当 x∈[-1,1)时,f(x)= { 【答案】1 【解析】 f ?

?4 x2 ? 2, ?1 ? x ? 0 x,0 ? x ? 1

则f?

?3? ? =________. ?2?

?3? ? 1? ? 1? ? = f ? ? ? ? ?4 ? ? ? ? 2 ? 1 ?2? ? 2? ? 2?
是奇函数,则
17

2

11.【2018 届四川省南充市高三零诊】若函数

__________. 【答案】 【解析】当 ∴ 即 ∴当 时, . 时, ,又 , . , ,

故答案为:

12.【2018 届江苏省常州市横林高级中学月考】定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:

f ? x ? 2? ? f ? x ? ? 1,当 x ???2,0? 时, f ? x ? ? log2 ? ?x ? 3? ,则 f ? 2017? =________.
【答案】

1 2

1 13.已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 单调递减, f ?2? ? 0 ,若 f ?x? ??0,则 x 的取值集合
是__________. 【答案】(- 1 , 3 ).

1 【解析】因为偶函数 f ? x ? 满足 f ?2? ? 0 ,若 f ?x? ??0,则有

f ( x ?1) ? f (2) ? f | ( x ?| 1) ? f (2) ,又函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 单调递减,所以有
| x ? 1|? 2 ? ?2 ? x ? 1 ? 2 ? ?1 ? x ? 3 .
14.【2018 届河南省南阳市第一中学高三上学期第二次】已知 x ? 0 时,函数 f ? x ? ? 0 , 对任意实数 x, y 都有 f ? xy ? ? f ? x ? f ? y ? ,且 f ? ?1? ? 1, f ? 27 ? ? 9 ,当 0 ? x ? 1 时,

f ? x ? ??0,1?

18

(1)判断 f ? x ? 的奇偶性; (2)判断 f ? x ? 在 0, ??? 上的单调性,并给出证明; (3)若 a ? 0 且 f ? a ? 1? ? 3 9 ,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) f ? x ? 为偶函数; (2)证明见解析; (3) 0 ? a ? 2 . 【解析】试题分析: (1)利用赋值法,先求出 f ? ?1? ? 1 ,令 y ? ?1 ,代入抽象函数表达式 即可证明函数的奇偶性; (2)设 0 ? x1 ? x2 , ? 0 ?

?

x1 ? 1, x2

?x ? f ? x1 ? ? f ? 1 ? x2 ? ? ? x2 ?

?x ? f ? 1 ? ? f ? x2 ? ? x2 ?

∵ 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 0,1? ,∴ f ?

?

? x1 ? ? ? 1 ,∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,故 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上 ? x2 ?

是增函数.; (3)先利用赋值法求得 f ? 3? ? 3 9 再利用函数的单调性解不等式即可. 试题解析: (1)令 y ? ?1 ,则 f ? ?x ? ? f ? x ? f ? ?1? , f ? ?1? ? 1 ,

f ? ?x ? ? f ? x ? , f ? x ? 为偶函数.
(2)设 0 ? x1 ? x2 , ? 0 ?

?x ? ?x ? x1 ? 1 , f ? x1 ? ? f ? 1 ? x2 ? ? f ? 1 ? ? f ? x2 ? x2 ? x2 ? ? x2 ? ? x1 ? ? ? 1 ,∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,故 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上 x ? 2?

∵ 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 0,1? ,∴ f ? 是增函数.

?

(3)∵ f ? 27 ? ? 9 ,又 f ? 3 ? 9 ? ? f ? 3? f ? 9 ? ? f ? 3? f ? 3? f ? 3? ? ? ? f ? 3? ? ?
3 ∴9 ? ? ? f ? 3? ? ? , f ? 3? ? 9, 3

3

f ? a ? 1? ? 3 9,? f ? a ? 1? ? f ? 3?

∵ a ? 0, a ?1,3 ? 0, ??? ,∴ a ? 1 ? 3 ,即 a ? 2 ,又 a ? 0, 故 0 ? a ? 2 .

?

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