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云南省玉溪市玉溪一中2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

玉溪一中2017—2018学年上学期高二年级期中考试

理科数学
命题人:蔡紫燕
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 22 题,共 150 分,共 四页.

第I卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | y ? A. {?1, 0, 2}

x2 ? 2 x ? 3} ,集合 B ? {?2, ?1,0,1,2} ,则 A B ? (
C. {?2, ?1, 0,1} D. {1, 2} )



B. {?1, 0,1, 2}

2.已知数列 {an } 是等比数列( q ? 1 ) , a1a6 ? ?20, a2 ? a5 ? 1 ,则 a8 ? (

25 25 16 C. D. 4 4 5 ? 3.设函数 f ( x) ? sin(3x ? ), x ? R ,则下列结论正确的是 ( ) 2
A. ? B. ? A. f ( x) 是最小正周期为 3? 的奇函数 B. f ( x) 是最小正周期为 3? 的偶函数

16 5

2? 的奇函数 3 2? D. f ( x) 是最小正周期为 的偶函数 3 2? 4.平面向量 a 与 b 的夹角为 , a ? (2, 0) , | a ? 2b |? 2 3 ,则 a ? b ? ( 3
C. f ( x) 是最小正周期为 A. 2 3 B. ?2 3 C. ?2 D. 2



?x ? y ? 2 ? 0 ? 5.关于设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为( ? y ?1 ?
A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2



6.设 p :1 ? x ? 2 , q : log 2 x ? 2 ,则 p 是 q 成立的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件



C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 ) D.

7.若 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,则一定有( A.

a b a b a b ? ? ? B. C. c d c d d c 3 8.若 tan ? ? ,则 cos2 ? ? 2sin 2? ? ( ) 4 32 8 A. ? B. ? C. 1 25 25
9.关于 x 的不等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x | ? A.

a b ? d c

D.

16 25


? ?

5 1? ? x ? ? ,则 a ? ( 3 3?
3 5
D. ?

3 或 ?3 5

B. ?3

C.

3 5


10.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? Sm ? Sn?m ,且 a1 ? 1 ,则 a10 ? ( A. 55 B. 10 C. 9 D. 1 ) D.

2 2 2 11.在 ?ABC 中,若 a ? b ? 2c ,则角 C 的最大值为 (

2? 3 6 4 3 12.已知函数 f ( x) 的定义域为 R .当 x ? 0 时, f ( x) ? sin x ;当 ?? ? x ? ? 时,
A. B. C.

?

?

?

f (? x) ? ? f ( x) ;当 x ?
A. ?

?
2

时, f ( x ?

?

? 20 ) ? f ( x ? ) ,则 f ( ? ) ? ( 2 2 3
C.



3 2

B. 0

3 2

D. ?

1 2

第 II 卷
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 截得的弦长
2 2

为______. 14. 已知 f ( x) ? ln x , 0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f ( 则 p, q, r 的大小关系是____________. 15. 在 ?ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2 MC, BN ? NC .若 MN ? x AB ,则 ? y AC

a?b f (a ) ? f (b) ) ,r ? , 2 2

x ? y ? _______.

16. 函数 f ( x) ? ? __________.

? 10 ? x, x ? 2 则实数 a 的取值范围是 (a ? 0, a ? 1) 的值域是 (8, ??) , ? 7 ? log a x, x ? 2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知 sin( x ? (1)求 cos x 的值; (2)求 sin(2 x ?

?
4

)?

? 3? 2 5 ) , x?( , 2 4 5

?
3

) 的值.

18.(12 分)设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 | (1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)若存在 x ? R 使得 f ( x) ? m 成立,求实数 m 的最小值.

19.(12 分)在 ?ABC 中, a ? c ? b ? ? 2ac .
2 2 2

(1)求 B ; (2)求 2 sin A ? sin C 的取值范围.

20.(12 分)设函数 f ( x) ? x ? (1)证明: f ( x) ? 2 ;

1 ? x ? a (a ? 0) a

(2)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

21. ( 12

分 ) 已 知 正 项 数 列 {an } 的 前

n 项 和 Sn 满 足

2 2 Sn2 ? (n ? n? 1 Sn ? ) n ?n ( ?

(n ) ? N ?0 ),

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

3 3 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,证明:对于任意 n ? N ? 都有 Tn ? . 4 an an?1

22.(12 分)如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 , E , F 分 别为 AC , DC 的中点, ?ABC ? ?DBC ? 120 . (1)求证: EF ? BC ; (2)求点 C 到面 BEF 的距离.
?

玉溪一中2017—2018学年上学期高二年级期中考试

理科数学
命题人:蔡紫燕
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 22 题,共 150 分,共 四页.

第I卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | y ? A. ??1, 0, 2?
? 1,0,1, 2} ,则 A x2 ? 2x ? 3} ,集合 B ? {?2,

B? ( D



B. ??1,0,1,2?

C. {?2, ?1,0,1}

D. {1, 2}

2.已知数列 {an } 是等比数列( q ? 1 ) , a1a6 ? ?20, a2 ? a5 ? 1 ,则 a8 ? ( B )

25 25 16 C. D. 4 4 5 ? 3.设函数 f ( x) ? sin(3x ? ), x ? R ,则下列结论正确的是 ( D 2
A. ? B. ? A. f ( x) 是最小正周期为 3? 的奇函数 B. f ( x) 是最小正周期为 3? 的偶函数

16 5

)

2? 的奇函数 3 2? D. f ( x) 是最小正周期为 的偶函数 3 2? 4.平面向量 a 与 b 的夹角为 , a ? (2, 0) , | a ? 2b |? 2 3 ,则 a b ? ( D ) 3
C. f ( x) 是最小正周期为 A. 2 3 B. ?2 3 C. ?2 D. 2

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5.关于设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为 ( A ) ? y ?1 ?
A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 )

6.设 p :1 ? x ? 2 , q : log 2 x ? 2 ,则 p 是 q 成立的 ( A A.充分不必要条件 C.充分必要条件 7.若 a ? b ? 0 , c ? d A. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? 0 ,则一定有(

C ) D.

a b a b a b ? ? ? B. C. c d c d d c 3 2 8.若 tan ? ? ,则 cos ? ? 2sin 2? ? ( A ) 4 32 8 A. ? B. ? C. 1 25 25
9.关于 x 的不等式 ax ? 2 ? 3 的解集为 ? x | ?

a b ? d c

D.

16 25

? ?

5 1? ? x ? ? ,则 a ? ( B ) 3 3?

A.

3 或 ?3 5

B. ?3

C.

3 5

D. ?

3 5
D )

10.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足:Sn ? Sm ? Sn?m (m, n ? N ? ) , 且 a1 ? 1 . 则 a10 ? ( A. 55 B. 10 C. 9 D. 1

11.在 ?ABC 中,若 a2 ? b2 ? 2c2 ,则角 C 的最大值为 ( C )

2? 3 6 4 3 x ? 0 R 12.已知函数 f ( x) 的定义域为 .当 时, f ( x) ? sin x ;当 ?? ? x ? ? 时,
A. B. C.

?

?

?

D.

f (? x) ? ? f ( x) ;当 x ?
A. ?

?
2

时, f ( x ?

?

? 20 ) ? f ( x ? ) ,则 f ( ? ) ? ( C ) 2 2 3
D. ?

3 2

B. 0

C.

3 2

1 2

第 II 卷
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 截得的弦长
2 2

为__

2 55 ____. 5
a?b f (a ) ? f (b) ) ,r ? , 2 2

16. 已知 f ( x) ? ln x , 0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f ( 则 p, q, r 的大小关系是 ___ r ? p ? q .

17. 在 ?ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2 MC, BN ? NC .若 MN ? x AB ,则 ? y AC

1 x ? y ? ___ ____. 3
16. 函数 f ( x) ? ? ___ (1, 2) ____.

? 10 ? x, x ? 2 则实数 a 的取值范围是 (a ? 0, a ? 1) 的值域是 (8, ??) , ? 7 ? log a x, x ? 2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知 sin( x ?

?
4

)?

? 3? 2 5 ) , x?( , 2 4 5

(1)求 cos x 的值; (2)求 sin(2 x ?

?
3

) 的值.

解: (1)

? 3? ? 2 5 ? 5 ) ,? cos( x ? ) ? , x?( , sin( x ? ) ? 2 4 4 5 4 5
———————— 5 分

? ? 10 ? cos x ? cos[( x ? ) ? ] ? ? 4 4 10
(2)

cos x ? ?

? 3? 10 3 10 ) ,? sin x ? , x?( , 2 4 10 10

4 3 ? cos 2 x ? ? ,sin 2 x ? ? , 5 5

? sin(2 x ? ) ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? 3 3 3

?

?

?

4 3 ?3 10

———— 10 分

18.(12 分)设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 | (3)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (4)若存在 x ? R 使得 f ( x) ? m 成立,求实数 m 的最小值.

1 ? x?? ? ? x ? 5, 2 ? 1 ? 解: (1) f ( x ) ? ?3 x ? 3, ? ? x ? 4 , 2 ? x?4 ? x ? 5, ? ?

1 ? ? 1 ? x?4 ? x?? ?? ? x ? 4 ? f ( x) ? 2 ? ? 或 或 ? 2 ? 2 ?x ? 5 ? 2 ? ? ?? x ? 5 ? 2 ? 3x ? 3 ? 2
即 ?7 ? x ? ?

1 1 5 或 ? ? x ? 或 x ?? 2 2 3
———————— 6 分

5 ? 原不等式的解集为: {x | ?7 ? x ? } 3
(2)由(1)知,函数 f ( x) min ? f ( ? ) ? ?

1 2

9 2

存在 x ? R 使得 f ( x) ? m 成立 ? f ( x)min ? m

9 9 ? ? ? m ,? mmin ? ? 2 2

——————— 12 分

19.(12 分)在 ?ABC 中, a ? c ? b ? ? 2ac .
2 2 2

(3)求 B ; (2)求 2 sin A ? sin C 的取值范围. 解: (1)

a2 ? c2 ? b2 ? ? 2ac ,由余弦定理可得 cos B ? ?
3? 4

2 , 2

B ? (0, ? ) ? B ?

———————— 6 分

(4) 2 sin A ? sin C ?

? 3? ? 2 sin( B ? C ) ? sin C ? 2 sin ? ? C ? ? sin C ? cos C ? 4 ?
———————— 12 分

? 2 C ? (0, ) ,? cos C ? ( ,1) 4 2

20.(12 分)设函数 f ( x) ? x ?

1 ? x ? a (a ? 0) a

(1)证明: f ( x) ? 2 ; (2)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围. 解: (1)由绝对值三角不等式: f ( x) ? x ?

1 1 1 ? x ? a ? ( x ? ) ? ( x ? a) ? ? a a a a
1 a

等号成立 ? ( x ? )( x ? a ) ? 0 ? ? a ? x ? 由基本不等式,

1 a

1 a ? 0,? ? a ? 2 ,等号成立 ? a ? 1 a
———————— 6 分

? f ( x) ?

1 ?a ?2 a 1 ? 3? a ? 5 a

(2) f (3) ? 5 ? 3 ?

a ? 0,? 3 ?

1 1 1 ? 3? a ? 5 ? 3? ? 2 ? a ? a ? 2 ? 3? ? 2 ? a a a a

? 5 ? 21 1 5 ? 21 ? a ? 2 ? 3? ?a? ? ? ? ? 2 a 2 即? , a ? 0 ,解得 ? 1 ?1 ? 5 ?3 ? ? 2 ? a ? a? ? ? a ? ? 2

即:

?1 ? 5 5 ? 21 ?a? 2 2

所以 a 的取值范围是 (

?1 ? 5 5 ? 21 , ) 2 2

——————— 12 分

21 . ( 12

分 ) 已 知 正 项 数 列 {an } 的 前

n 项 和 Sn 满 足

2 2 Sn2 ? (n ? n? 1 Sn ) ? n ?( n ?

(n)? N ? 0) ,

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

3 3 ? , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,证明:对于任意 n ? N 都有 Tn ? . 4 an an?1

解: (1)解关于 Sn 的方程 Sn2 ? (n2 ? n ?1) Sn ? (n2 ? n) ? 0 可得 Sn ? n2 ? n 或 Sn ? ?1 (舍去)

n ? 1时, a1 ? 2 , n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? an ? 2n
(2) bn ?

—————— 6 分

3 3 3 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
3 1 3 (1 ? ) , n ? N ? ,? Tn ? 4 n ?1 4
————— 12 分

由裂项相消法可得 Tn ?

22. ( 12 分 ) 如 图 , ?ABC 和 ?BCD 所 在 平 面 互 相 垂 直 , 且 AB ? BC ? BD ? 2 ,

?ABC ? ?DBC ? 120? , E , F 分别为 AC , DC 的中点.
(1)求证: EF ? BC ; (2)求点 C 到面 BEF 的距离. (1)证明: 过点E作EH ? BC于点H ,连接 HF
? 易证 ?EHC ? ?FHC ,??EHC ? ?FHC ? 90

? FH ? BC, 又 EH ? BC
FH EH =H ? BC ? 平面EFH
———————— 6 分

EF ? 平面EFH ,? BC ? EF

(2)由(1) EH ? BC , EH ? 平面ABC , 平面ABC ? 平面DBC且交于BC

? EH ? 平面ABC

解 ?ABC 得 AC ? 2 3 ,? EC ? 3 ,在? Rt ?EHC 中,? EH ?

3 ? FH 2

? EF ?

6 2 15 ,解 ?BEF 可得 S?BEF ? 2 16

由等体积法: VC ?BEF ? VE ?BFC ? h ?

EH S?BFC 2 15 ? S?BEF 5

———— 12 分


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