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单位圆在解题中的应用


单位圆在解题中的应用
在三角函数教学中教材引进了单位圆, 这样任意角的三角函数值都可以用单位圆上点的 坐标或者单位圆中的三角函数线来表示, 为研究三角函数的有关性质及推导三角函数公式提 供了极大的便利;如果在解题的过程中,能利用好单位圆的自身性质,借助图形,可以使问 题思路清晰,方法简便易懂.本文结合实例谈谈单位圆在以下几个方面的应用. 一 求值 例 1 已知关于 ? 的方程 3 cos? ? sin? ? a ? 0在区间 (0, 2? ) 上有两个不相等的实数解

? , ? ,求 cos(? ? ? ) 的值
(cos? ,sin ? ), B(cos ? ,sin ? ) 解:设点 A (cos? ,sin ? ), B(cos ? ,sin ? ) 在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 上, 易知:点 A
又因为 ? , ? 是方程 3 cos? ? sin ? ? a ? 0 的两根,

(cos? ,sin ? ), B(cos ? ,sin ? ) 也在直线 l : 3x ? y ? a ? 0 上, 可得:点 A
根据以上条件可作出图 1:

图1 易得直线 l 的倾斜角为

2? ? ,弦 AB 的中垂线 OC 的倾斜角为 , 3 6 7? ( 2? ,可得: ? = 设角 ? 表示以 OC 为终边的角,其中 ? ? 0, ) 6 7? 由图 1 可得: ? ? ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? 2? ? 3 7? 1 ? . 所以 cos(? ? ? ) ? cos 3 2

二 证明等式 例 2 已知 cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0,sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0, 其中 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,求 证: ? ? ? ? 2?

(cos? ,sin ? ), B(cos ? ,sin ? ), C(cos ? ,sin ?) 证明:设点 A ,易知 A, B, C 三点都在单位圆
1

x2 ? y 2 ? 1 上,如图 2 所示;

图2 则 | OA |?| OB |?| OC |? 1 即 O 为三角形 ABC 的外心,

cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0, ?0 3 3 所以 O 为三角形 ABC 的重心, 即重心和外心重合 所以 ?ABC 为圆的内接正三角形,
又因为 又因为 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 由图 2 可知: ? ? ? ?

2? 2?   ? ? ? ? 3 3

即 ? ? ? ? 2? .

三 比较大小或证明不等式 例 3 已知 x ? (0,

?
2

) ,试比较 cos x,sin(cos x)与cos(sin x) 的大小

解:由题意可作出图 3:

图3 (1)比较 cos x, cos(sin x) 的大小 当 x ? (0,

?
2

) 时,由图 3 可得:扇形 OPB 的面积大于三角形 OPB 的面积,即

1 1 x ? MP   又因为 MP  x 的正弦线, 为角 2 2
所以 0 ? sin x ? x ?

?

2



2

又因为 y ? cos x 在 x ? (0, 所以 cos x ? cos(sin x) ;

?
2

) 是单调减少的,

(2)比较 sin(cos x),cos x 的大小 由图 3 可得: ?AOP ?

?
2

? x, NP ? OM ? cos x

扇形 OPA 的面积大于三角形 OPA 的面积,即

1 ? 1 ? ? ( ? x) ? NP   化简可得: 0 ? x ? ? cos x ? 2 2 2 2 2
又因为 y ? cos x 在 x ? (0, 所以 cos(

?

?
2

2

) 是单调减少的,

? cos x) ? cos x ,即 sin(cos x) ? cos x

( 例4 已知 ? ? 0, ) ,求证 1+ cot ? ? cot 2
证明:由题意可作出图 4:

?

?
2

图4 在单位圆中, BE 为圆的切线,设 ?AOC ? ? OE 为 ?AOC 的角平分线 由图 4 可知: ?BOC ?

?
2

??

?BOE ?

?
2

?

?
2
即 cot ? ?| BC | 即 cot

在直角三角形 BOC 中,可得: tan( 在直角三角形 BOE 中,可得: tan( 则 1+cot ? =1+|BC |?| OB | ? | BC |

?
2

? ? ) ?| BC| ?

?

?
2

2

) ?| BE|

?
2

?| BE |

在直角三角形 BOC 中,易得: |OB |?| OC | 所以 1+ cot ? ?| OC | ? | BC | (1)

由 BE 平行 OA 可得: ?AOE ? ?OEC ?

?
2

又因为 ?EOC ?

?
2

所以 ?OCE 为等腰三角形,可得: |OC |?| CE | (1)式可转化为: 1+ cot ? ?| CE | ? | BC | =|BE|=cot

?
2

3

即 1+ cot ? ? cot 四 解不等式

?
2

1? t 2 例 5 解不等式 ? ?0 2 1? t 2 1? t t
解:设 x ? cos ? ?

1 1? t 2

 y ? sin ? ?

t 1? t 2
(1)

其中? ? (-

? ?

, ) 2 2

则原不等式可转化为: y ? 1 ? 2 x 2 ? 0

根据约束条件: x ? 0, x2 ? y 2 ? 1 ,可作出图 5: y

B 0,1) (

O

x

A (

3 1 ,- ) 2 2
图5

抛物线与单位圆交与 A(

3 1 , ? ), B(0,1) 2 2
1 ? y ?1 2

故满足(1)式的解集即点集弧 ? (图 5 中的阴影部分,不包括 A,B) ,所以 ? AB 即?

1 ? ? ? ? ? sin ? ? 1 ,又因为 ? ? (- , ) ,所以 ? ? ? ? 2 2 2 6 2

从而 t ?

sin ? 3 . ? tan ? ? ? cos ? 3
sin x 的值域 cos x ? 2

五 求函数值域 例6 求y? 解: y ?

sin x sin x ? 0 变形可得: y ? cos x ? 2 cos x ? (?2)

其几何意义是:以原点为圆心单位圆上的点 (cos x,sin x) 与点 P(?2, 0) 连线的斜率 k , 所以函数的值域实际上就是斜率 k 的取值范围; 由题意可作出图 6:

4

图6 显然当直线 y ? k ( x ? 2) 与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切上,斜率 k 取最大值和最小值, 由图 6 易得: ? 六 解决复数问题 例 7 已知复数 z1 ? cos ? ? i sin ? , z2 ? cos ? ? i sin ? , 且z1 ? z2 ? (1) 求 tan(? ? ? ) 的值,
2 2 (2) 求证: z1 ? z2 ? z1z2 ? 0 .

3 3 ?k? 3 3

即函数 y ?

sin x 3 3 的值域为 [? , ]. cos x ? 2 3 3

4 3 ? i 5 5

解: (1)因为 |z1| ? |z2| ? |z1 ? z2| ? 1 , 所以 z1 , z2 , z1 ? z2 对应的点都在单位圆上,如图 7 所示:

图7 设 z1 ? z2 ? cos ? ? i sin ? , 其中? ? (0, 2? ) ,则 tan ? ? 由图 7 可知: ? =? +

?
3

,? =? ?

?
3 24 7
2

3 4

所以 ? +? =2? ,即 tan(? ? ? ) ? tan 2? ?
2 2 2

(2) z1 ? z2 ? z1z2 ? ( z1 ? z2 ) ? z1 z2 ? (cos ? ? i sin ? ) ? [cos(? ? ? ) ? i sin(? ? ? )]

? ( c o s?2? i

s i?n ? ) 2

( c? i s 2 ? ? i . 2 ) ? o s n

0

5

综上所述,在解决以上问题时,如果直接处理往往难以下手,这时,如果能够利用单位 圆中的三角函数线、面积等条件合理进行转化,然后借助图形,可以化抽象为直观、化虚为 实,达到事半功倍的效果.

6


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