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广东省广州市高考数学一模试卷文(含解析)

广东省广州市 2015 届高考数学一模试卷(文科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2} 可以表示为() A. M∩N B. (?UM)∩N C. M∩(?UN) D. (?UM)∩(?UN) 2. (5 分)已知向量 =(3,4) ,若|λ A. B. 1 |=5,则实数 λ 的值为() C. D. ±1 3. (5 分)若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图) ,其中茎为十位 数, 叶为个位数,则这组数据的中位数是() A. 91 B. 91.5 C. 92 D. 92.5 4. (5 分)已知 i 为虚数单位,复数 z=a+bi(a,b∈R)的虚部 b 记作 Im(z) ,则 Im( =() A. ﹣ B. ﹣1 C. D. 1 ) 5. (5 分)设抛物线 C:y =4x 上一点 P 到 y 轴的距离为 4,则点 P 到抛物线 C 的焦点的距离是 () A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2 6. (5 分)已知△ABC 的三边 a,b,c 所对角分别为 A,B,C,且 为() A. B. C. ﹣ D. ﹣ ,则 cosB 的值 7. (5 分)已知数列{an}为等比数列,若 a4+a6=10,则 a7(a1+2a3)+a3a9 的值为() A. 10 B. 20 C. 100 D. 200 -1- 8. (5 分)若直线 y=3x 上存在点(x,y)满足约束条件 ,则实数 m 的取值范 围是() A. [﹣1,+∞) B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1] D. (﹣∞,﹣1) 9. (5 分)已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为 ,则该椎体的俯视图可以是() A. B. C. D. 10. (5 分)已知圆 O 的圆心为坐标原点,半径为 1,直线 l:y=kx+t(k 为常数,t≠0)与圆 O 相交于 M,N 两点,记△MON 的面积为 S,则函数 S=f(t)的奇偶性() A. 偶函数 B. 奇函数 C. 既不是偶函数,也不是奇函数 D. 奇偶性与 k 的取值有关 二、 填空题: 本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (11~ 13 题) 11. (5 分)函数 f(x)=ln(x﹣2)的定义域为. 12. (5 分)已知 e 为自然对数的底数,则曲线 y=2e 在点(1,2e)处的切线斜率为. * x 13. (5 分)已知函数 f(x)= ,点 O 为坐标原点,点 An(n,f(n) ) (n∈N ) ,向量 =(0, 1) ,θ n 是向量 与 的夹角,则 + +…+ 的值为. 三、选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (一、坐标系与参数方程选做题) -2- 14. (5 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 (θ 为 参数)和 (t 为参数) .以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲 线 C1 与 C2 的交点的极坐标为. (二)几何证明选讲选做题 15.如图,BC 是圆 O 的一条弦,延长 BC 至点 E,使得 BC=2CE=2,过 E 作圆 O 的切线,A 为切 点,∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D,则 DE 的长为. 四、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=sin(x﹣ (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 α 是第一象限角,且 f(α + )= ,求 tan(α ﹣ )的值. )+cosx. 17. (12 分)从广州某高校男生中随机抽取 100 名学生,测得他们的身高(单位:cm)情况如 表: (1)求 a,b,c 的值; (2)按表 1 的身高组别进行分层抽样,从这 100 名学生中抽取 20 名担任广州国际马拉松志 愿者,再从身高不低于 175cm 的志愿者中随机选出 2 名担任迎宾工作,求这 2 名担任迎宾工 作的志愿者中至少有 1 名的身高不低于 180cm 的概率. 分组 频数 频率 [160,165) 5 0.05 [165,170) a c [170,175) 35 0.35 [175,180) b 0.20 [180,185] 10 0.10 合计 100 1.00 18. (14 分)如图 1,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,点 E,F 分别是边 CD,CB 的 中点, AC∩EF=O. 沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF, 连接 PA, PB, PD, 得到如图 2 的五棱锥 P﹣ABFED, 且 PB= . -3- (1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求四棱锥 P﹣BFED 的体积. 19. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1,nSn+1﹣(n+1)Sn= ,n∈N . * (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)是否存在正整数 k,使得 ak、S2k、a4k 成等比数列?若存在,求 k 的值;若不存在,请说 明理由. 20. (14 分)已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线 C2: 线 x+ y=0 与椭圆 C1 交于 A、B 两点,且点 A 的坐标为(﹣ =0, ﹣y =1 的顶点,直 2 ,1) ,点 P 是椭圆 C1 上异于点 A,B 的任意一点,点 Q 满足 =0,且 A,B,Q 三点不共线. (1)求椭圆 C1 的方程 (2)求点 Q 的轨迹方程 (3)求△A

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