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高考理科数学一轮复习作业;直线、平面平行的判定与性质


第 39 讲

直线、平面平行的判定与性质

1.直线 a∥平面 α,则 a 平行于平面 α 内的( ) A.一条确定的直线 B.任意一条直线 C.所有的直线 D.无穷多条平行直线 2.若直线 a∥直线 b,且 a∥平面 α,则 b 与 α 的位置关系是( ) A.一定平行 B.不平行 C.平行或相交 D.平行或在平面内 3.下列说法正确的是( ) A.若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α B.若直线 l 在平面 α 外,则 l∥α C.若直线 a∥b,b?平面 α,则 a∥α D.若直线 a∥b,b?平面 α,那么 a 平行于平面 α 内的无数条直线 4.b 是平面 α 外的一条直线,可以推出 b∥α 的条件是( ) A.b 与 α 内的一条直线不相交 B.b 与 α 内的两条直线不相交 C.b 与 α 内的无数条直线不相交 D.b 与 α 内的任何一条直线都不相交 5.如果三个平面将空间分成 6 个互不重叠的部分,则这三个平面的位置关系是( ) A.两两相交于三条交线 B.两个平面互相平行,另一平面与它们相交 C.两两相交于同一条直线 D.B 中情况或 C 中情况都可能发生 6.[2011· 威海质检] 已知直线 l、m,平面 α,且 m?α,则“l∥m”是“l∥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.[2011· 泰安模拟] 设 m,n 表示不同直线,α,β 表示不同平面,则下列结论中正确 的是( ) A.若 m∥α,m∥n,则 n∥α B.若 m?α,n?β,m∥β,n∥α,则 α∥β C.若 α∥β,m∥α,m∥n,则 n∥β D.若 α∥β,m∥α,n∥m,n?β,则 n∥β 8.已知平面 α∥平面 β,P 是 α、β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α、β 分别交于点 A、C, 过点 P 的直线 n 与 α、β 分别交于点 B、D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为( ) 24 A.16 B.24 或 C.14 D.20 5

图 K39-1
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9.[2010· 福建卷] 如图 K39-1,若 Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去 几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异 于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是( ) A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.Ω 是棱台 10.如图 K39-2,已知三个平面 α,β,γ 互相平行,a,b 是异面直线,a 与 α,β,γ 分别交于 A,B,C 三点,b 与 α,β,γ 分别交于 D,E,F 三点,连接 AF 交平面 β 于 G, 连接 CD 交平面 β 于 H,则四边形 BGEH 必为________.

图 K39-2 11.给出下列命题: ①一条直线平行于一个平面,这条直线就与这个平面内的任何直线不相交; ②过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行; ③过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行; ④平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ⑤a 和 b 是异面直线,则经过 b 存在唯一的平面与 a 平行. 则其中正确命题的序号为________. 12.[2011· 济宁一模] 过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平 面 ABB1A1 平行的直线共有________条. 13.[2011· 汕头质检] 若 m,n 为两条不重合的直线,α,β 为两个不重合的平面,则下 列命题中真命题的序号是________. ①若 m、n 都平行于平面 α,则 m、n 一定不是相交直线; ②若 m、n 都垂直于平面 α,则 m,n 一定是平行直线; ③已知 α,β 互相平行,m、n 互相平行,若 m∥α,则 n∥β; ④若 m、n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m、n 互相平行. 14.(10 分)如图 K39-3,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)若 MN=BC=4,PA=4 3,求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小.

图 K39-3

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15.(13 分)[2011· 九江七校联考] 如图 K39-4 所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AB=2,E,F,G 分别为 PC、PD、BC 的中点. (1)求证:PA∥平面 EFG; (2)求三棱锥 P-EFG 的体积.

图 K39-4

难点突破 16.(12 分)[2011· 福建四地六校联考] 一个多面体的直观图和三视图如图 K39-5(其中 M,N 分别是 AF,BC 中点). (1)求证:MN∥平面 CDEF; (2)求多面体 A-CDEF 的体积.

图 K39-5

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课时作业(三十九) 1.D [解析] 过 a 作平面 β 与 α 相交,则 a 与交线平行,这样的 β 可以作无数个,则 交线就有无数条,且所有的交线与 a 平行,所以正确选项为 D. 2.D [解析] 直线在平面内的情况不能遗漏,所以正确选项为 D. 3.D [解析] A 中 l 可以在平面 α 内,B 中 l 可以与 α 相交,C 中 a 可以在平面 α 内, 正确选项为 D. 4.D [解析] 任意性使得 b 与 α 无公共点,由定义得正确选项为 D. 5.D [解析] 在 B、C 两种情况下作图计数,知正确选项为 D. 6.D [解析] 由 l∥m 可知,l∥α 或 l?α;l∥α 且 m?α,则 l∥m 或 l 与 m 异面,故选 D. 7.D [解析] A 选项不正确,n 还有可能在平面 α 内,B 选项不正确,平面 α 还有可能 与平面 β 相交,C 选项不正确,n 也有可能在平面 β 内,选项 D 正确. 8. B [解析] 根据题意可出现以下如图两种情况, 由面面平行的性质定理, 得 AB∥CD, 则 PA PB 24 = ,可求出 BD 的长分别为 或 24. AC BD 5

9.D [解析] 因为 EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,所以 EH∥B1C1.又 EH?平面 BCC1B1,所 以 EH∥平面 BCC1B1, 又 EH?平面 EFGH, 平面 EFGH∩平面 BCC1B1=FG, 所以 EH∥FG, 故 EH∥FG∥B1C1,所以选项 A、C 正确;因为 A1D1⊥平面 ABB1A1,EH∥A1D1,所以 EH ⊥平面 ABB1A1,又 EF?平面 ABB1A1,故 EH⊥EF,所以选项 B 也正确,故选 D. 10.平行四边形 [解析] 由 α∥β∥γ,平面 ACF∩β=BG,平面 ACF∩γ=CF,可得 BG ∥CF,同理有 HE∥CF,所以 BG∥HE.同理 BH∥GE,所以四边形 BGEH 为平行四边形. 11.①⑤ [解析] ①显然正确,如果直线与平面内的一条直线相交,则直线与平面相 交,与直线与平面平行矛盾;②不正确,过平面外一点有一个平面与平面平行,而在这个平 面内有无数条直线与平面平行;③不正确,过直线外一点有一条直线与已知直线平行,而过 直线外一点与直线平行的平面却有无数个;④不正确,这条直线可能在该平面内;⑤正确, 过 b 上一点作一直线与 a 平行,此时该直线与 b 相交可确定一平面,且与 a 平行,且唯一. 12.6 [解析] 过三棱柱 ABC-A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,记 AC,BC,A1C1, B1C1 的中点分别为 E,F,E1,F1,则直线 EF,EF1,EE1,FF1,E1F,E1F1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条. 13.② [解析] ①为假命题,②为真命题,在③中,n 可以平行于 β,也可以在 β 内, 故是假命题,在④中,m、n 也可以异面,故为假命题. 14.[解答] (1)证明:取 PD 的中点 H,连接 AH,NH. 1 ∴NH∥DC,NH= DC,又∵M 为 AB 中点, 2 1 ∴AM∥CD,AM= CD, 2 ∴NH∥AM,NH=AM,∴四边形 AMNH 为平行四边形. ∴MN∥AH,又∵MN?平面 PAD,AH?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD.

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1 1 (2)连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM,ON,则 OM 綊 BC,ON 綊 PA,所以∠ONM 2 2 就是异面直线 PA 与 MN 所成的角.由 MN=BC=4,PA=4 3得,OM=2,ON=2 3,所 以∠ONM=30° ,即异面直线 PA 与 MN 成 30° 的角. 15.[解答] (1)证明:如图,取 AD 的中点 H,连接 GH,FH, ∵E,F 分别为 PC,PD 的中点,∴EF∥CD, ∵G,H 分别是 BC,AD 的中点,∴GH∥CD, ∴EF∥GH,∴E,F,H,G 四点共面, ∵F,H 分别为 DP,DA 的中点,∴PA∥FH, ∵PA?平面 EFG,FH?平面 EFG,∴PA∥平面 EFG. (2)∵PD⊥平面 ABCD,CG?平面 ABCD, ∴PD⊥CG.又∵CG⊥CD,CD∩PD=D, ∴GC⊥平面 PCD,

1 1 ∵PF= PD=1,EF= CD=1, 2 2 1 1 ∴S△PEF= EF· PF= . 2 2 1 又 GC= BC=1, 2 1 1 1 ∴VP-EFG=VG-PEF= × ×1= . 3 2 6 【难点突破】 16.[解答] (1)证明:由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且 AB= BC=BF=2, DE=CF=2 2,∴∠CBF=90° . 取 BF 中点 G,连接 MG,NG,由 M,N 分别是 AF,BC 中点,可知:NG∥CF,MG ∥EF,又 MG∩NG=G,CF∩EF=F, ∴平面 MNG∥平面 CDEF,∴MN∥平面 CDEF. (2)作 AH⊥DE 于 H,由于三棱柱 ADE-BCF 为直三棱柱, ∴AH⊥平面 CDEF,且 AH= 2, 1 1 8 ∴VA-CDEF= S 四边形 CDEF· AH= ×2×2 2× 2= . 3 3 3

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