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2014年石家庄质检一文科数学试题及答案


2014 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一) 高三数学(文科答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1-5 DBDCB 6-10 BDBAA 11-12 BB

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 . 200 __ 14.

2? 3
2

15.

13 12

16. n ? 2n ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17 .解: (Ⅰ)

f ( x) ? sin(4 x ? ) ? cos( ? 4 x) 4 4 ? sin(4 x ? ) ? sin( ? 4 x) 4 4

?

?

?

?

? 2sin(4 x ? ) ,………………………3 分 4
所以

?

f ( x) 的最大值是 2.………………………5 分

(Ⅰ)令 4 x ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z) ,…………………7 分

则x?

k? ? ? (k ? z) ,………………9 分 4 16
y ? f ( x) 的对称轴,所以 m ?

而直线 x ? m 是函 18.

k? ? ? (k ? Z) ………10 分 4 16

解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ? 0 . 因为 S3 = a4 + 6 ,所以 3a1 ?

3 ? 2d ? a1 ? 3d ? 6 . 2

① ② ??2 分

2 因为 a1 , a4 , a13 成等比数列,所以 a1 (a1 + 12d ) = (a1 + 3d ) .

由①,②可得: a1 = 3, d = 2 .

??????????????4 分

所以 an = 2n + 1 . (Ⅱ)由题意 bn ? 2
2 n ?1

??????????????6 分

? 1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , cn ? 2 2 n ?1 ,

c n ?1 2 2( n ?1) ?1 ? 2 n ?1 ? 4 (n ? N * ) ,所以数列 {c n } 为以 8 为首项,以 4 为公比的等比数列?? cn 2
9分

8(1 ? 4n ) 4n ?1 ? 8 所以 Tn ? ?n? ? n. ??????????????12 分 1? 4 3
19. 答案: (1)各组的频率分别是 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 所以图中各组的纵坐标分别是 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01

频率 组距

0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 年龄

????????5 分 (2)设 A 表示事件:年龄在 ? 55, 65 ? ? 65, 75 ? 的被调查者中各随机选取 1 人进行追踪调查, 两人中至少有一人赞成“车辆限行”. 则 A 表示事件:年龄在 ? 55, 65 ? ? 65, 75 ? 的被调查者中各随机选取 1 人进行追踪调查,两人 都不赞成“车辆限行” 。 从年龄 在 ? 55, 65 ? ? 65, 75 ? 的被调查者中各随机选取 1 人,所有可能的结果数为 25 ???????7 分 记年龄在 ? 55, 65 ? 内的不赞成的人为 a,b,年龄在 ? 65, 75 ? 内的不赞成的人为 c. 两人都不赞成“车辆限行”的所有可能结果为:ac,bc. ??????10 分

\ P( A) = 1 - P( A) = 1 20.

2 23 = ?????12 分 25 25

P

F E

解: (Ⅰ)连接 EO , E 为 PC 的中点, EO / / AP , 因为 CD ? 平面 PAD , CD ? 平面 ABCD , 所以平面 ABCD ? 平面 PAD , 且平面 ABCD ? 平面 PAD ? AD , PA ? AD , PA ? 平面 ABCD 所以 EO ? 平面 ABCD ,??????4 分 EO ? AC ,又 AC ? BD , AC ? 平面 BED , ED ? 平面 BED , 所以 AC ? DE .???????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EO / / AP , EO ? 平面 BED ,所以 AP / / 平面 BED , 又 AC ? 平 面 BED , 所 以 AO 即 为 点 F 与 平 面 BED 的 距 离 , AO ?

2 ,而 2

S?BDE ?

1 2 BD ? EO ? ,??????10 分 2 2

1 2 2 1 VE ? BDF ? VF ? EDB ? ? ? ? ??????12 分 3 2 2 6
解法二 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EO / / AP , EO ? 平面 BED ,所以 AP / / 平面 BED , 所以 AO 即为点 F 与平面 BED 的距离

1 1 1 VE ? BDF ? VF ? EDB ? VA? EDB ? VE ? ADB ? ? ? 1 ? . 3 2 6
21. 解:f/(x)=6x2-6(a+1)x+6a =6(x-1)(x-a)?????2 分 (1)当 a=2 时,f/(x)=6(x-1)(x-a)= 6(x-1)(x-2) 当 x<1 或 x>2 时,f/(x)>0, 当 1<x<2,f/(x)<0, 所以 f(x)的单调增区间分别为(-∞,1), (2,+∞),??????5 分 f(x)的单调减区间为(1,2) (2) (Ⅰ)当 a=1 时,f/(x)=6(x-1)2≥0,f(x)在 [0,a+1]上单调递增,最大值为 f(a+1) (Ⅱ)当 0<a<1 时,列表如下: x f (x) f(x)
/

0

(0,a) + 增

a 0 极大值 f(a)

(a,1) 减

1 0

(1,1+a) + 增

a+1

由表知 f(x)在[0,a+1]上的最大值,只有可能是 f(a)或 f(a+1) 所以只需 f(a+1) -f(a)=(-a3+3a2+3a-1)-(-a3+3a2)=3a-1≥0 解得 a≥

1 1 ,此时 ≤a<1 3 3
x f (x) f(x)
/

(Ⅲ)当 a>1 时,列表如下: 0 (0,1) + 增 1 0 极大值 f(1) (1 ,a) 减 a 0 (a,1+a) + 增 a+1

由表知 f(x)在[0,a+1]上的最大值,只有可能是 f(1)或 f(a+1) 所以只需 f(a+1) -f(1)=(-a3+3a2+3a-1)-(3a-1)=- a 3+3a2=-a2(a-3)≥0 解得 a≤3,此时 1<a≤3.??????11 分 由(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)得

1 ≤a≤3 3 1 ,3]. ??????12 分 3
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

所以满足条件的 a 的取值范围是[

22.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆 C 的方程为

因为 | PF1 | ? | PF2 |?

(1 ? 1) 2 ? (

2 3 2 2 3 2 ) ? (1 ? 1) 2 ? ( ) ? 2 3 ? 2a ,所以 3 3

a 2 ? 3 , b2 ? 2 ,
x 2 y2 ? ?1 所以,椭圆 C 的方程为 3 2
(也可用待定系数法 ??????4 分

b2 a2 ?1 2 3 1 12 ? ? ? ? 1 ,或用 ) a a 3 a 2 9(a 2 ? 1)

? x2 y 2 ?1 ? ? ( 2 ) 当 直 线 l 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 l : y ? k ( x ? 1) , 由 ? 3 得 2 ? y ? k ( x ? 1) ?
(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , x1 x2 ?

3k 2 ? 6 ?6k 2 x ? x ? , ?????6 分 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
4 3( k 2 ? 1) , 2 ? 3k 2

所以 | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

设内切圆半径为 r ,因为 ?ABF2 的周长为 4a ? 4 3 (定值) , S? ABF2 ?

1 ? 4a ? r ? 2 3r , 2

所以当 ?ABF2 的面积最大时,内切圆面积最大,又

S# ABF2

4 3k 2 (k 2 ? 1) 1 ,????8 分 ? | F1 F2 || y1 ? y2 |?| y1 ? y2 | ?| k || x1 ? x2 | ? 2 ? 3k 2 2
2

令 t ? 2 ? 3k ? 2 ,则 k 2 ?

t ?2 ,所以 3

S? ABF2 ?

4 3k 2 (k 2 ? 1) (t ? 2)(t ? 1) 4 2 1 4 ?4 ? ? 2 ? ?1 ? ????10 分 2 2 2 ? 3k 3t t t 3 3

又当 k 不存在时, | y1 ? y2 | ?

4 S 2 4 ,此时 r ? ? , S圆 = ? 9 3 2 3 3

故当 k 不存在时圆面积最大, S圆 = ? ,此时直线方程为 x ? ?1 . ………………12 分

4 9


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