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内蒙古包头市2012届高三第三次模拟考试数学(文)试题

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内蒙古包头市 2012 届高三第三次模拟考试 文 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为 选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
2 1. 若集合 A ? { x | x ? 2 x ? 0 }, B ? { x | x ? 1} ,则 A ? B 为

A. { x | 1 ? x ? 2}

B. { x | 0 ? x ? 2 }

C. { x | x ? 2 }

D. { x | x ? 1}

2.已知 m , n 为直线, ? , ? 为平面,给出下列命题:
?m ? ? ? n / /? ①? ?m ? n ?m ? ? ?m ? ?
?m ? ? ? ②?n ? ? ? m / /n ?? / / ? ?

③?

? ? / /?

④?

?m ? ? ?n ? ?

? m / /n

其中的正确命题序号是 A.②③ B.③④ C.①④ D.①②③④

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1 2 a 3 , 2 a 2 成等差数列,则
a 9 ? a1 0 a7 ? a8 ?

3. 已知等比数列 { a n } 中,各项都是正数,且 a 1 , A. 1 ?
2

B. 1 ?

2

C. 3 ? 2 2
?
2 ) 在区间 [

D. 3 ? 2 2
, 2? 3 ] 上单调递减, 且函数值从 1 减小

4. 函数 y ? sin ( ? x ? ? ) ( ? ? 0 且 ? ?

?
6

到 ? 1 ,那么此函数图像与 y 轴交点的纵坐标为 A.
1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

6 ? 4

2

5. 右面的程序框图输出的结果为 A.62 B. 126 C. 254
1 x

D. 510
? 2,

6. 已知命题 p : ? x ? R , 使 得 x +
2

命 题 q : ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ,下列结论正确的是

A.命题“ p ? q ”是真命题 C. 命题“ p ? ( ? q ) ”是真命题 7.已知双曲线
x a
2 2

B. 命题“ ? P ) ? q ”是真命题 ( D. 命题“ ( ? p ) ? ( ? q ) ”是真命题

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左右焦点是 F1,F2,设 P 是双曲线右支上一点,

????? ???? ???? ? F1 F 2 在 F1 P 上的投影的大小恰好为 | F1 P | 且它们的夹角为 ,则双曲线的离心率 e 为 6

A.

2 ?1 2

B.
1? x
2

3 ?1 2

C. 3 ? 1

D. 2 ? 1

8.函数 f ( x ) ? e

的部分图象大致是

9. △ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 sinA=
3 2
2 2

1 3

,b= 3 sinB,则 a 等于
3 3

A. 3 3

B. 3

C.

D.

10.以坐标轴为对称轴,原点为顶点,且过圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 9 ? 0 圆心的抛物线方程是 A. y ? 3 x 或 y ? ? 3 x
2 2

B. y ? 3 x

2

C. y

2

? ?9 x 或 y ? 3x

2

D. y ? ? 3 x 或 y
2

2

? 9x

11. 已知 x 、 y 取值如下表:
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x
y

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1 1.8 4 5.6 5 6.1 6 7.4 8 9.3

0 1.3

? 从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y ? 0 .9 5 x ? a ,则 a ?

A. 1 .3 0

B. 1 .4 5

C. 1 .6 5

D. 1 .8 0

12. 已知有穷数列 A: a 1 , a 2 ,? ? ?, a n ( n ? 2 , n ? N ).定义如下操作过程 T:从 A 中任取两 项 a i , a j ,将
ai ? a 1 ? aia
j j

的值添在 A 的最后,然后删除 a i , a j ,这样得到一系列 n ? 1 项的

新数列 A1 (约定:一个数也视作数列);对 A1 的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一 系 列 n ? 2 项 的新 数列 A2 ,如此 经过 k 次 操 作后 得到 的新 数列 记作 Ak . 设 A :
? 5 3 1 1 , , , ,则 A3 的可能结果是???? 7 4 2 3

A. 0

B.

3 4

C.

1 3

D.

1 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 若 z 1 ? a ? 3 i , z 2 ? 3 ? 4 i ,且 则实数 a ? . 2
z1 z2

为纯虚数,

2 2

14. 一个空间几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 则该几何体的体积为
2 2

cm

3



15. 若曲线 y ? x 在点 ( a , a )( a ? 0 ) 处的切线与两个 坐标轴围成的三角形的面积为 2,则 a 等于_________.
16. 设 x、y
?x ? 2y ? 3 ? 0 ? 满足约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 ?y ? 0 ?

,若目标函数 z

? ax ? by

(其中 a ? 0, b ? 0 ) 的最大

值为 3,则

1 a

?

2 b

的最小值为___________.

三、解答题:解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 在 ? A B C 中,记 ? B A C ? x (角的单位是弧度制), ? A B C 的面积为 S,且
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??? ???? ? A B ? A C ? 8, 4 ? S ? 4 3 .

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(1)求 x 的取值范围; (2)就(1)中 x 的取值范围,求函数 f ( x ) ?
3 sin 2 x ? co s 2 x 的最大值、最小值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在矩形 A B C D 中, A B ? 4 , A D ? 2 , E 为 A B 的中点,现将△ A D E 沿直线 D E 翻折成△ A ? D E ,使平面 A ? D E ⊥平面 B C D E , F 为线段 A ? D 的中点. (1)求证: E F ∥平面 A ? B C ; (2)求三棱锥 A ' ? BCE 的体积.
F A'

D

C
D C

A

E

B
E B

19. (本小题满分 12 分)

某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为 1, 2 , … , 8 ,其中 ξ ? 5 为标准
A , ξ ? 3 为标准 B ,产品的等级系数越大表明产品的质量越好. 已知某厂执行标准 B 生

产该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准.从该厂生产的产品中随机抽取 3 0 件,相 应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数 5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系数
3 ? ξ ? 5 的为三等品.

(1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)从样本的一等品中随机抽取 2 件,求所抽得 2 件产品等级系数都是 8 的概率.
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20.(本小题共 12 分) 已知椭圆
x a
2 2

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?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的右焦点为 F (1, 0 ) , M 为椭圆的上顶点, O 为坐

标原点,且△ OMF 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 M 分别作直线 MA , MB 交椭圆于 A , B 两点,设两直线的斜率分别为 k 1 ,
k 2 ,且 k 1 ? k 2 ? 8 ,证明:直线 A B 过定点( ?
1 2

. ,? 2 )

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? xe , g ( x ) ? ax
x
2

? x.

(I)若 f ( x ) 与 g ( x ) 具有完全相同的单调区间,求 a 的值; (Ⅱ)若当 x ? 0 时恒有 f ( x ) ? g ( x ), 求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上一点 C,且 OA=OB,CA=CB, ⊙O 交直线 OB 于 E、D。 (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 ta n ? C E D ?
1 2

E O D

A , ⊙O 的半径为 3,求 OA 的长。

C

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.
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直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的方程
? 3 t ? x ? ?2 ? ? 2 (t 为参数) 为 ? ? 4 co s ? ,直线 l 的方程为 ? ,直线 l 与曲线 C 的公共点为 T。 ?y ? 1 t ? ? 2

(1)求点 T 的极坐标; (2)过点 T 作直线 l ', l ' 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ' 的极 坐标方程。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x ) =|x|+2|x-a|(a>0) . (I)当 a=l 时,解不等式 f ( x ) ≤4; (II)若 f ( x ) ≥4 恒成立,求实数 a 的取值范围

内蒙古包头市 2012 届高三第三次模拟考试
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数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 A 5 D 6 A 7 C 8 C 9 D 1 0 D 1 B 1 2 B 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. -4 14.
8 3

15. 2

16. 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分 17.解
A (1)∵ ? B A C ? x, C ? A B ? 8 , 4 ? S ? 4 3 ,
1 2 b c sin x ,
1 ? tan x ? 3 .

???? ??? ?

又S ?

∴ b c co s x ? 8, S ? 4 tan x ,即 ∴所求的 x 的取值范围是 (2)∵
?
4
f (x) ?

???????4 分 ???7 分

?
4

? x?

?
3

.

? x?

?
3



3 sin 2 x ? co s 2 x

? 2 sin ( 2 x ?

?
6

),
1 2 ? s in ( 2 x ?

9分
?
6 )? 3 2



2? 3

? 2x ?

?
6

?

5? 6



.

???10 分 ???12 分
A' M C

∴ f ( x ) m in ? f (

?
3

) ? 1, f ( x ) m a x ? f (

?
4

)?

3 .

18. (I)证明:取 A ? C 的中点 M ,连接 M F , M B , 则 F M ∥ D C , 且 FM =
1 2 D C ,又 E B ∥ D C ,且 E B = 1 2
A'

D C ,从而有

F D

F M // EB,所以四边形 E B M F 为平行四边形,

故有 E F // M B , 所以 E F ∥平面 A ? B C .

?????4 分 ??????6 分

又 E F ? 平面 A ? B C , M B ? 平面 A ? B C ,
F

E

B

(II)过 A ? 作 A ? S ? D E , S 为垂足, 因为平面 A ? D E ⊥平面 B C D E ,且面 A ? D E ? 平面
B C D E = D E ,所以 A ? S ⊥平面 B C D E ,??????8 分
A ?S ? 2 ,又
D C

, ??????12 分
E B

所以

19.【解析】 (1)由样本数据知,30 件产品中,一等品有 6 件,二等品有 9 件,三等品有 15 件. ????3 分

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∴样本中一等品的频率为
6 30

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? 0 .2 ,

故估计该厂生产的产品的一等品率为 0 .2 , 二等品的频率为 三等品的频率为
9 30 15 30

???4 分 ?5 分

? 0 .3 ,故估计该厂产品的二等品率为 0 .3 ,

? 0 .5 ,故估计该厂产品的三等品率为 0 .5 .?6 分

(2)样本中一等品有 6 件,其中等级系数为 7 的有 3 件,等级系数为 8 的也有 3 件, ????????7 分 记等级系数为 7 的 3 件产品分别为 C 1 、C 2 、C 3 ,等级系数为 8 的 3 件产品分别为 P1 、
P2 、 P3 ,则从样本的一等品中随机抽取 2 件的所有可能为:

( C 1 , C 2), C 1 , C 3 , C 1 , P1 , C 1 , P2), C 1 , P3 , C 2 , C 3 , C 2 , P1 , ) ( ) ( ) ( )( ( )( ( C 2 , P2), C 2 , P3 , C 3 , P1 , C 3 , P2), C 3 , P3 , ( P1 , P2 ),( P1 , P3 ( P2 , P3 , 共 15 ) ( ( )( ( ) ) )

种,

????10 分

20.解: (Ⅰ)由△ OMF 是等腰直角三角形,得 b ? 1 , a ? 故椭圆方程为
x
2

2b ?

2 ,

? y

2

? 1.

????5 分

2

(Ⅱ)若直线 A B 的斜率存在,设 A B 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ? 2 . 设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,
2 ?x2 y ? ? ? 1, 由 ? 8 得 4 ? y ? kx ? m , ?

?1 ? 2 k ? x
2

2

? 4 km x ? 2 m ? 8 ? 0 .
2

???7 分

则 x1 ? x 2 ? ?

4 km 1 ? 2k
2

, x1 x 2 ?
?

2m ? 8
2

1 ? 2k

2



由已知 所以

y1 ? 2 x1

y2 ? 2 x2
?

?8,

k x1 ? m ? 2 x1

kx2 ? m ? 2 x2

?8,

即 2k ? ? m ? 2 ? 所以 k ?
mk m ?2

x1 ? x 2 x1 x 2

?8.
1 2 k ?2.

???10 分

? 4 ,整理得 m ?

故直线 A B 的方程为 y ? k x ?

1 2

k ? 2 ,即 y ? k ( x ?

1 2

)? 2 .

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所以直线 A B 过定点( ?
1 2

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,? 2 ) .

???11 分

若直线 A B 的斜率不存在,设 A B 方程为 x ? x 0 , 设 A ( x0 , y0 ) , B ( x0 , ? y0 ) , 由已知
y0 ? 2 x0
1 2
1 2

?

? y0 ? 2 x0

?8,
1 2

得 x0 ? ?

.此时 A B 方程为 x ? ?

,显然过点( ?

1 2

. ,? 2 ) ???12 分

综上,直线 A B 过定点( ? 21.解: (I) f ( x ) ? e ? xe
x ‘ x

. ,? 2 )
x

? (1 ? x ) e ,???2 分

当 x ? ? 1 时, f ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( ?? , ? 1) 内单调递减;
/ 当 x ? ? 1 时, f ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( ? 1, ?? ) 内单调递增. ???4 分

又 g ( x ) ? 2 ax ? 1, 由 g ( ? 1) ? ? 2 a ? 1 ? 0 得 a ?
/
/

1 2

.

此时 g ( x ) ?

1 2

x

2

? x ?

1 2

( x ? 1) ?
2

1 2


1 2

显然 g ( x ) 在 ( ?? , ? 1) 内单调递减,在 ( ? 1, ?? ) 内单调递增,故 a ?
x

.???6 分

(II)由 f ( x ) ? g ( x ) ,得 f ( x ) ? g ( x ) ? x ( e ? ax ? 1) ? 0 .???7 分 令 F ( x ) ? e ? ax ? 1 ,则 F ( x ) ? e ? a .???8 分
x / x

? x ? 0 ,? F ( x ) ? e ? a ? 1 ? a .
x

若 a ? 1 ,则当 x ? ( 0 ? ? ) 时, F ( x ) ? 0 , F ( x ) 为增函数,而 F ( 0 ) ? 0 ,
/

从而当 x ? 0 , F ( x ) ? 0 ,即 f ( x ) ? g ( x ) ;???10 分 若 a ? 1 ,则当 x ? ( 0 , ln a ) 时, F ( x ) ? 0 , F ( x ) 为减函数,而 F ( 0 ) ? 0 ,
/

从而当 x ? ( 0 , ln a ) 时 F ( x ) ? 0 ,即 f ( x ) ? g ( x ) ,则 f ( x ) ? g ( x ) 不成立. 综上, a 的取值范围为 ( ?? ,1] .???12 分 22.(Ⅰ)如图,连接 OC,∵ OA=OB,CA=CB,∴ OC⊥AB,∴ AB 是⊙O 的切线 (Ⅱ)∵ ED 是直径, ∴ ∠ECD=90°,Rt△BCD 中, ∵ tan∠CED=
1 2 CD EC 1 2

, ∴

=



∵ AB 是⊙O 的切线,

∴ ∠BCD=∠E,又 ∵ ∠CBD=∠EBC,∴ △BCD∽△BEC, ∴
BD BC
2

=

CD EC

=

1 2

, 设 BD=x,则 BC=2x,
2

又 BC =BD·BE, ∴ ( 2 x ) =x· x+6) ( , 解得:x1=0,x2=2, 23. ∵ BD=x>0, ∴ BD=2, ∴ OA=OB=BD+OD=3+2=5 ?

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? ?2-3x,x<0, 24.(Ⅰ) f ( x ) =|x|+2|x-1|=?2-x, 0≤x≤1, ?3x-2,x>1. ?
当 x<0 时,由 2-3x≤4,得- 2 ≤x<0;当 0≤x≤1 时,1≤2-x≤2; 3 2 ,2]. 3

当 x>1 时,由 3x-2≤4,得 1<x≤2.综上,不等式 f ( x ) ≤4 的解集为[-

?2a-3x,x<0, ? (Ⅱ) f ( x ) =|x|+2|x-a|=?2a-x,0≤x≤a,可见, f ( x ) 在(-∞,a]单调递减,在 ? ?3x-2a,x>a.
(a,+∞)单调递增.当 x=a 时, f ( x ) 取最小值 a.所以,a 取值范围为[4,+∞).

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