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高考数学重点难点复习(16):三角函数式的化简与求值


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难点 16 三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的 解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍. ● 难点磁场 (★★★★★)已知 ● 案例探究

? 3? 12 3 <β <α < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin2α 的值_________. 4 5 2 13

2 2 [例 1]不查表求 sin 20°+cos 80°+ 3 cos20°cos80°的值.

命题意图:本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较高. 属于★★★★级题目. 知识依托:熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析:公式不熟,计算易出错. 技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形; 解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会. 解法一:sin2 20°+cos2 80°+ 3 sin2 20°cos80°

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1- cos 40°+ (cos 120°cos40°-sin120°sin40°)+ 3 sin20°(cos 60°cos20°-sin60°sin20°) 2 2 3 3 1 1 3 2 =1- cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin 20° 4 4 2 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4
= 解法二:设 x=sin2 20°+cos 2 80°+ 3 sin20°cos80° y=cos2 20°+sin2 80°- 3 cos20°sin80°,则 x+y=1+1- 3 sin60°=

1 , 2

x-y =-cos40°+cos160°+ 3 sin100° =-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0 ∴x=y=

1 , 4

即 x=sin2 20°+cos 2 80°+ 3 sin20°cos80°=

1 . 4

1

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[例 2]设关于 x 的函数 y=2cos 2 x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a),试确定满足 f(a)= 的 a 值求 y 的最大值.

1 的 a 值,并对此时 2

命题意图:本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力. 属★★★★★级题目 知识依托:二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析:考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错. 技巧与方法:利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.
2 2 解:由 y=2(cosx- a ) - a ? 4a ? 2 及 cosx∈[-1,1]得:

2

2

( a ? ?2) ?1 ? 2 f(a) ?? a ? 2a ? 1 ( ?2 ? a ? 2) ? ? 2 ( a ? 2) ?1 ? 4a ?

∵ f(a)=

1 , 2
2

∴ 1-4a=

1 1 ? a= ?[2,+∞ ) 2 8

故- a -2a-1= 1 ,解得:a=-1,此时,
2
2

2

y=2(cosx+ 1 ) + 1 ,当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,y max=5.
2

2

[例 3]已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ ? )- 3 sin2 x+sinxcosx
3

(1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; (3) 若当 x∈[ ? , 7? ]时,f(x)的反函数为 f -1 (x),求 f --1 (1)的值.
12 12

命题意图:本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的 能力,属★★★★★级题目. 知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析:在求 f --1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法:等价转化,逆向思维. 解:(1) f(x)=2cosxsin(x+ ? )- 3 sin2 x+sinxcosx
3

=2cosx(sinxcos ? +cosxsin ? )- 3 sin2 x+sinxcosx
3

3

=2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+ ∴ f(x)的最小正周期 T=π

? ) 3
(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2. ∴ 2x+ ? ∈[ ? , 3? ],
3 3

(2) 当 2x+ ? =2kπ - ? ,即 x=kπ - 5?
3
2
,

12
7? 2

(3) 令 2sin(2x+ ? )=1,又 x∈[ ?
3
2

],

2

∴ 2x+ ? = 5? ,
3
6

则 x=

? ? ,故 f --1 (1)= . 4 4
2

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● 锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有: 1. 求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最值或值域, 5°化简求值. 2. 技巧与方法: 1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用. 3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可 利用分析法. 4°求最值问题,常用配方法、换元法来解决. ● 歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★★)已知方程 x2 +4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα 、tanβ ,且α ,β ∈(- 则 tan A.

? ?

, ), 2 2

???
2

的值是(

) C.

1 2

B.-2

4 3

D.

1 或-2 2

二、填空题

3 ? 1 ,α ∈( ,π ),tan(π -β )= ,则 tan(α -2β )=_________. 5 2 2 ? 3? ? ? 3 3? 5 3.(★★★★★)设α ∈( , ),β ∈(0, ),cos(α - )= ,sin( +β )= , 4 13 4 4 4 4 5
2.(★★★★)已知 sinα = 则 sin(α +β )=_________. 三、解答题 4. 不查表求值:

2 sin130? ? sin100?(1 ? 3 tan 370?) 1 ? cos10?

.

sin 2 x ? 2 sin2 x ? 3 17? 7? +x)= ,( <x< ),求 的值. 1 ? tan x 5 4 4 12 8 6. (★★★★★)已知α -β = π ,且α ≠kπ (k∈Z). 3 1 ? cos(? ? ? ) ? ? ? 4 sin2 ( ? ) 的最大值及最大值时的条件. 求 ? ? 4 4
5. 已知 cos(

csc

2

? sin

2

7.(★★★★★)如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其 面积最大时,求点 P 的位置,并求此最大面积.

8.(★★★★★)已知 cosα +sinβ = 3 ,sinα +cosβ 的取值范围是 D,x∈D, 求函数 y= log 1
2

2x ? 3 的最小值,并求取得最小值时 x 的值. 4 x ? 10
3

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难点 16
难点磁场 解法一:∵

三角函数式的化简与求值

参考答案

? 3? <β <α < , 2 4

∴0<α -β <

? . 4

π <α +β <

3? , 4

∴ sin(α -β )= 1 ? cos 2 (? ? ? ) ?

5 4 , cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin2 (? ? ? ) ? ? . 13 5

∴ sin2α =sin[(α -β )+(α +β )] =sin(α -β )cos(α +β )+cos(α -β )sin(α +β )
? 5 4 12 3 56 ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65

解法二:∵sin(α -β )=

5 , 13

cos(α +β )=-

4 , 5

∴sin2α +sin2β =2sin(α +β )cos(α -β )=-

72 65 40 sin2α -sin2β =2cos(α +β )sin(α -β )=- 65
2 65 65 65

∴sin2α = 1 (? 72 ? 40 ) ? ? 56 歼灭难点训练

一、1. 解析:∵ a>1,tanα +tanβ =-4a<0. tanα +tanβ =3a+1>0, 则 ? ? ? ∈(-
2

又α 、β ∈(-

? ? , ) 2 2

∴α 、β ∈(-

? ,θ ), 2

? ,0), 2
??? 2 tan ? 4a 4 4 2 ? , 又 tan(? ? ?) ? ? , ??? 3 1 ? (3a ? 1) 3 1 ? tan 2 2

又 tan(α +β )= tan ? ? tan ? ?
1 ? tan ? tan ?

整理得 2tan

2

??? ??? ? 3 tan ? 2 =0. 2 2

解得 tan ? ? ? =-2.
2

答案:B 2. 解析:∵ sinα =

3 4 ? ,α ∈( ,π ), ∴ cosα =- 5 5 2 3 则 tanα =- , 4 1 1 又 tan(π -β )= 可得 tanβ =- , 2 2

1 2 ? (? ) 2 tan ? 2 ? ? 4. tan 2? ? ? 2 3 1 ? tan ? 1 ? ( ? 1 ) 2 2 3 4 ? ? (? ) tan ? ? tan 2 ? 7 4 3 tan(? ? 2?) ? ? ? 1 ? tan ? ? tan 2? 1 ? ( ? 3 ) ? (? 4 ) 24 4 3
4

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7 24 ? 3? ? ? ? 3 3. 解析:α ∈( , ),α - ∈(0, ),又 cos(α - )= . 4 4 4 2 4 5
答案:

? 4 ? 3? 3? 3? 5 3? 12 ? sin(? ? ) ? , ? ? (0, ).? ? ? ? ( , ?). sin( ? ?) ? ,? cos( ? ?) ? ? . 4 5 4 4 4 4 13 4 13 ? 3? ? ? sin(? ? ?) ? sin[(? ? ) ? ( ? ?) ? ] 4 4 2 ? 3? ? ? cos[(? ? ) ? ( ? ?)] 4 4 ? 3? ? 3? 3 12 4 5 56 ? ? cos(? ? ) ? cos( ? ?) ? sin(? ? ) ? sin( ? ?) ? ? ? (? ) ? ? ? . 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即sin(? ? ?) ? 65
答案: 三、4. 答案:2

56 65

3 ? 7 ? x ) ? ,? sin 2 x ? ? cos 2( ? x ) ? . 4 5 4 25 17? 7 5? ? ? 4 又 ? x ? ? ,? ? x ? ? 2? ,? sin(x ? ) ? ? 12 4 3 4 4 5 2 2 sin 2 x ? 2 sin x 2 sin x cos x ? 2 sin x 2 sin x (sin x ? cos x ) cos x ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 7 4 ? ? (? ) sin 2 x sin( ? x ) 5 ? 28 4 ? ? 25 ? 3 75 cos( ? x ) 4 5 5.解 :? cos(
1 ? cos(? ? ?) ? ? ? 4 sin 2 ( ? ) ? ? 4 4 csc ? sin 2 2 ? ? ? ? ? sin (1 ? cos ?) 1 ? cos( ? ) sin ? 2 cos 2 2 2 2 ? 2 2 ? 4( 1 ? 1 sin ? ) ? ?4 ? ? 2 2 2 2 1 ? sin 2 cos 2 2 2 ? ? ??? ? ?? ? 2(sin ? sin ) ? 2 ? 4 sin cos ?2 2 2 2 2 8 2? ? ? 8 ? ?? 3 ? ? ? 2? . ? ? ? ? ? ?,? ? 3 4 4 2 3 ? 2 1 ? 2? ? t ? 4 sin( ? ?) ? (? ) ? 2 ? ?2 sin( ? ) ? 2 2 3 2 2 3 ? ? ? k? (k∈Z), ? 2 k? 2? (k∈Z) ? ? ?? ? 2 3 2 3 ? 2? ? ∴当 ? ? 2k? ? , 2 3 2 ? 2 ? 即 ? ? 4k? ? (k∈Z)时, sin( ? ?) 的最小值为-1. 2 3 3 6.解 : 令t ?
5

?

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7.解:以 OA 为 x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设 P 的坐标为(cosθ ,sinθ ), 则|PS|=sinθ .直线 OB 的方程为 y= 3 x,直线 PQ 的方程为 y=sinθ . 联立解之得 Q(

3 sinθ ;sinθ ), 3

3 sinθ . 3 3 3 于是 SPQRS =sinθ (cosθ - sinθ )= ( 3 sinθ cosθ -sin2 θ ) 3 3
所以|PQ|=cosθ - = =

3 3 1 ? cos 2? ( sin2θ - ) 3 2 2

3 3 1 1 ( sin2θ + cos2θ - ) 3 2 2 2 3 3 ? = sin(2θ + )- . 3 6 6 ? ? ? 5 ∵0<θ < , ∴ <2θ + < π . 6 3 6 6 1 ? ∴ <sin(2θ + )≤1. 2 6
∴ sin(2θ +

3 ? )=1 时,PQRS 面积最大,且最大面积是 , 6 6 3 1 ? 此时,θ = ,点 P 为 的中点,P( , ). 2 2 6

8.解:设 u=sinα +cosβ .
2 2 2 2 则 u +( 3 ) =(sinα +cosβ ) +(cosα +sinβ ) =2+2sin(α +β )≤4. 2

∴ u ≤1,-1≤u≤1. 即 D=[-1,1], 设 t= 2 x ? 3 , ∵-1≤x≤1, ∴ 1≤t≤ 5 .

t2 ? 3 . 2 2x ? 3 t 1 1 2 ?M ? ? 2 ? ? ? . 4 4 2 4 x ? 10 2t ? 4 2t ? 8 t
x=

4 2 当且仅当2t ? ,即t ? 2时, M max ? .? y ? log0.5 M在M ? 0时是减函数, t 8 ? y min ? log0.5 2 5 1 ? log0.5 2 ? log0.5 8 ? 时, 此时t ? 2 , 2 x ? 3 ? 2 , x ? ? . 8 2 2

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