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2018届高三数学一轮复习: 第1章 第1节 集合


第一章
[深研高考· 备考导航] 为教 [五年考情] 考点 2016 年 全国卷Ⅰ· T1 集合的概念及 全国卷 其运算 Ⅱ· T2

集合与常用逻辑用语
师授课、学生学习提供丰富备考资源

2015 年

2014 年 全国卷Ⅰ· T1

2013 年 全国卷

2012 年

全国卷 全国卷 Ⅱ· T1 Ⅱ· T1

Ⅰ· T1 全国卷 Ⅱ· T1

全国 卷· T1

四种命题及其 关系,充分条件 与必要条件 含逻辑联结词 的命题的真假 判断,全称命 题、特称命题的 否定 全国卷Ⅰ· T3 全国卷Ⅰ· T9

[重点关注] 综合近 5 年全国卷高考试题,我们发现高考命题在本章呈现以下规律: 1.从考查题型看:一般是一个选择题,个别年份是两个选择题,从考查分 值看,在 5 分左右,题目注重基础,属容易题. 2.从考查知识点看:主要考查集合的关系及其运算,有时综合考查一元二 次不等式的解法,突出对数形结合思想的考查,对常用逻辑用语考查较少,有时 会命制一道小题.
1

3.从命题思路看: (1)集合的运算与一元二次不等式的解法相结合考查. (2)充分条件、必要条件与其他数学知识(导数、平面向量、三角函数、集合 运算等)相结合考查. (3)全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题与其他数学知识相结合考查. (4)通过对近 5 年全国卷高考试题分析,可以预测,在 2018 年,本章内容考 查的重点是:①集合的关系及其基本运算;②全称命题、特称命题、含逻辑联结 词命题真假的判断;③充分条件,必要条件的判断. [导学心语] 根据近 5 年的全国卷高考命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方 面: 1.全面系统复习,深刻理解知识本质 (1)重视对集合相关概念的理解,深刻理解集合、空集、五个特殊集合的表 示及子集、交集、并集、补集等概念,弄清集合元素的特征及其表示方法. (2)重视充分条件、必要条件的判断,弄清四种命题的关系. (3)重视含逻辑联结词命题真假的判断,掌握特称命题、全称命题否定的含 义. 2.熟练掌握解决以下问题的方法和规律 (1)子集的个数及判定问题. (2)集合的运算问题. (3)充分条件、必要条件的判断问题. (4)含逻辑联结词命题的真假判断问题. (5)特称命题、全称命题的否定问题. 3.重视数学思想方法的应用 (1)数形结合思想:解决有关集合的运算问题时,可利用 Venn 图或数轴更直 观地求解. (2)转化与化归思想:通过运用原命题和其逆否命题的等价性,进行恰当转 化,巧妙判断命题的真假.

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第一节
[考纲传真]





1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语

言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间 包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中,了解全集与空集的 含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交 集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能 使用 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn 图法. 2.集合间的基本关系 (1)子集:若对?x∈A,都有 x∈B,则 A?B 或 B?A. (2)真子集:若 A?B,但?x∈B,且 x?A,则 A B 或 B A. (3)相等:若 A?B,且 B?A,则 A=B. (4)空集的性质:?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 并集 图形表示 符号表示 意义 A∪B {x|x∈A 或 x∈B} A∩B {x|x∈A 且 x∈B} ?UA {x|x∈U 且 x?A} 交集 补集

4.集合关系与运算的常用结论
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(1)若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个. (2)子集的传递性:A?B,B?C?A?C. (3)A?B?A∩B=A?A∪B=B. (4)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何集合都有两个子集.( )

(2)已知集合 A ={x|y= x2} , B= {y|y= x2} ,C={(x, y)|y=x2} ,则 A= B= C.( ) (3)若{x2,1}={0,1},则 x=0,1.( (4)若 A∩B=A∩C,则 B=C.( [解析] ) )

(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.

(2)错误.集合 A 是函数 y=x2 的定义域,即 A=(-∞,+∞);集合 B 是函 数 y=x2 的值域,即 B=[0,+∞);集合 C 是抛物线 y=x2 上的点集.因此 A,B, C 不相等. (3)错误.当 x=1 时,不满足互异性. (4)错误.当 A=?时,B,C 可为任意集合. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(教材改编)若集合 A={x∈N|x≤ 10},a=2 2,则下列结论正确的是 ( ) A.{a}?A C.{a}∈A B.a?A D.a?A

D [由题意知 A={0,1,2,3},由 a=2 2,知 a?A.] 3.(2016· 全国卷Ⅰ)设集合 A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则 A∩B =( ) 3? ? A.?-3,-2? ? ? 3? ? B.?-3,2? ? ?

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3? ? C.?1,2? ? ?

?3 ? D.?2,3? ? ?

D [∵x2-4x+3<0,∴1<x<3,∴A={x|1<x<3}.
? ? ? ? 3 ? 3 ∵2x-3>0,∴x>2,∴B=?x?x>2 ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 ? 3 ? ∴A∩B={x|1<x<3}∩?x?x>2 ?=?x?2<x<3 ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

故选 D.] 4.(2016· 全国卷Ⅲ)设集合 A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则?AB=( A.{4,8} C.{0,2,6,10} B.{0,2,6} D.{0,2,4,6,8,10} )

C [∵集合 A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}, ∴?AB={0,2,6,10}.] 5.设全集为 R,集合 A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则 A∩(?RB)= ________. 【导学号:01772000】 {x|-3<x≤-1} [由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3}.

∵B={x|-1<x≤5},∴?RB={x|x≤-1 或 x>5}, ∴A∩(?RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1 或 x>5}={x|-3<x≤-1}.]

集合的基本概念 (1)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元 素的个数是( A.1 C.5 ) B.3 D.9 )

(2)若集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则 a=(
5

9 A.2 C.0

9 B.8 9 D.0 或8

(1)C (2)D [(1)当 x=0,y=0,1,2 时,x-y=0,-1,-2; 当 x=1,y=0,1,2 时,x-y=1,0,-1; 当 x=2,y=0,1,2 时,x-y=2,1,0. 根据集合中元素的互异性可知,B 的元素为-2,-1,0,1,2,共 5 个. (2)若集合 A 中只有一个元素, 则方程 ax2-3x+2=0 只有一个实根或有两个 相等实根. 2 当 a=0 时,x=3,符合题意; 9 当 a≠0 时,由 Δ=(-3)2-8a=0 得 a=8, 9 所以 a 的取值为 0 或8.] [规律方法] 1.研究集合问题,首先要抓住元素,其次看元素应满足的属性;

特别地,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否 满足互异性,如题(1). 2.由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想,如题(2). [变式训练 1] 已知集合 A={x∈R|ax2+3x-2=0},若 A=?,则实数 a 的

取值范围为________. 9? ? ?-∞,-8? ? ? [∵A=?,∴方程 ax2+3x-2=0 无实根,

2 当 a=0 时,x=3不合题意; 9 当 a≠0 时,Δ=9+8a<0,∴a<-8.] 集合间的基本关

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(1)已知集合 A={x|y= 1-x2, x∈R}, B={x|x=m2, m∈A}, 则( ) A.A B C.A?B B.B A D.B=A

(2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,则实 数 m 的取值范围是________. (1)B (2)(-∞,4] [(1)易知 A={x|-1≤x≤1},

所以 B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1}, 因此 B A. (2)当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠?时,若 B?A,如图.

m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1, 解得 2<m≤4. 综上,m 的取值范围为 m≤4.] [规律方法] 1.B?A,应分 B=?和 B≠?两种情况讨论.

2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或 区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用 数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解.
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[变式训练 2] 则集合 B 可能是( A.{1,2} C.{-1,0,1}

(1)(2017· 长沙雅礼中学质检)若集合 A={x|x>0},且 B?A, ) B.{x|x≤1} D.R

(2)(2017· 石家庄质检)已知集合 A={x|x2-2 016x-2 017≤0},B={x|x<m+ 1},若 A?B,则实数 m 的取值范围是________. 【导学号:01772001】 (1)A (2)(2 016, +∞) [(1)因为 A={x|x>0}, 且 B?A, 再根据选项 A, B, C,D 可知选项 A 正确. (2)由 x2-2 016x-2 017≤0,得 A=[-1,2 017], 又 B={x|x<m+1},且 A?B, 所以 m+1>2 017,则 m>2 016.]

集合的基本运算 ?角度 1 求集合的交集或并集 (1)(2015· 全 国 卷 Ⅰ ) 已 知 集 合 A = {x|x = 3n + 2 , n ∈ N} , B = {6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的个数为( A.5 C.3 B.4 D.2 )

(2)(2017· 郑州调研)设集合 M={x|x2=x}, N={x|lg x≤0},则 M∪N=( A.[0,1] C.[0,1) ) B.(0,1] D.(-∞,1]

(1)D (2)A [(1)集合 A 中元素满足 x=3n+2,n∈N,即被 3 除余 2,而集合 B 中满足这一要求的元素只有 8 和 14.共 2 个元素. (2)M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0<x≤1},M∪N=[0,1].]

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?角度 2

集合的交、并、补的混合运算 (1)(2016· 浙 江 高 考 ) 已 知 集 合 P = {x ∈ R|1≤x≤3) , Q = {x ∈

R|x2≥4},则 P∪(?RQ)=( A.[2,3] C.[1,2)

) B.(-2,3] D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

(2)(2017· 太原一模 ) 已知全集 U = R ,集合 M = {x|(x - 1)(x + 3) < 0} , N = {x||x|≤1},则阴影部分(如图 111)表示的集合是( )

图 111 A.[-1,1) C.(-∞,-3)∪[-1,+∞) (1)B (2)D [(1)∵Q={x∈R|x2≥4}, B.(-3,1] D.(-3,-1)

∴?RQ={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}. ∵P={x∈R|1≤x≤3}, ∴P∪(?RQ)={x|-2<x≤3}=(-2,3]. (2)由题意可知,M=(-3,1),N=[-1,1],∴阴影部分表示的集合为 M∩(?
UN)=(-3,-1).]

[规律方法]

1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性,然后

利用交集和并集的定义求解. 2 .在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观 化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用 数轴表示时要注意端点值的取舍. 易错警示:在解决有关 A∩B=?,A?B 等集合问题时,往往忽视空集的情 况,一定要先考虑?是否成立,以防漏解.

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[思想与方法] 1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能 顺利找到解题的切入点;另一方面,对求出的字母的值,应检验是否满足集合元 素的互异性,以确保答案正确. 2.求集合的子集(真子集)个数问题,需要注意的是:首先,过好转化关, 即把图形语言转化为符号语言;其次,当集合的元素个数较少时,常利用枚举法 解决. 3.对于集合的运算,常借助数轴、Venn 图求解. (1)对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续 数集间的关系, 求其中参数的取值范围,关键在于转化成关于参数的方程或不等 式关系. (2)对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图,这是数 形结合思想的又一体现. [易错与防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集 合),要对集合进行化简. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的 讨论,以防漏解. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集 合的包含关系.

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4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法, 其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

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