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广东省普宁市第一中学2016


2016--2017 学年度普宁一中高一开学考数学试题
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。 2.用 2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑;答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置 上;不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卷的整洁。 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.若 sin ? ? ? A. ?

5 12

5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等于 13 5 12 12 B. C. D. ? 12 5 5

2.设命题 p : ?n ? N, n2 ? 2n ,则 ? p 为 A. ?n ? N, n2 ? 2n C. ?n ? N, n2 ? 2n B. ?n ? N, n2 ? 2n D. ?n ? N, n2 =2n

3.经过点 ( ?1, 2) 且与直线 3x ? 5 y ? 6 ? 0 垂直的直线方程为 A. 3x ? 5 y ? 13 ? 0 C. 5x ? 3Yy ? 1 ? 0 B. 5x ? 3 y ? 1 ? 0 D. 5x ? 3 y ? 11 ? 0

4.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.15

B.20

C.

30

D.60

1

5.要得到函数 y ? sin(2 x ?

? 3 ? C.向左平移 6
A.向左平移

? ) 的图象,应该把函数 y ? sin 2 x 的图象 3 ? B.向右 平移 3 ? D.向右平移 6

6. 已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? a9 ? a15 ? 9 ,则数列 ?an ? 的前 17 项和 S17 = A.102 C.48 B.51 D.36

7.已知双曲线的焦点分别为 (0, ?2) 、 (0, 2) ,且经过点 P(?3, 2) ,则双曲线的标准方程是 A. x ? y 2 ? 1
3
2 2 B. y ? x 2 ? 1

3

2 C. y 2 ? x ? 1

3

2 2 D. x ? y ? 1

2

2

?x ? y ? 2 ? 8.设变量 x , y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 2 目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值是 ?x ? y ? 2 ?
A. - 4 B. 2 C.

8 3

D.

16 3

9.阅读 如图 1 所示的程序框图,则输出的 S 的值是
开始

8 9 9 B. 10 7 C. 8 6 D. 7
A.

S ? 0, n ? 2, i ? 1


i ? 8?


输出 S

S?S?

1 (n ? 1)n

结束

n ? n ?1

i ? i ?1
图1 10.在区间 ? ?1, 1 ? 上任取两个实数 x, y ,则满足不等式 x 2 ? y 2 ? A. C.

1 的概率为 2

?

?

4

B. 1 ? D. 1 ?

? ?
4

8

8
2

11.已知 F1,F2 为椭圆 |AF2|+|BF2| =( )

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,|AB|=8,则 25 9

A.2

B.10

C.12

D.14
? 300

12. N 为圆 x 2 ? y 2 ? 1上的一个动 点,平面内动点 M ( x0 , y0 ) 满足 y0 ? 1 且 ?OMN 点),则动点 M 运动的区域面积为(
8? A. 3 ? 2 3

( O 为坐标原


2? C. 3 ? 3 4? D. 3 ? 3

4? B. 3 ? 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 2 0 分,把答案填在题中横线上 1 3.若 | a |? 2,| b |? 4 ,且 (a ? b) ? a ,则 a 与 b 的夹角是 14. 设 x ? 0, y ? 0且x ? 2 y ? 1,求 ?

?

?

? ?

?

?

?

. .

1 x

1 的最小值. y

15.直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B,该椭圆的离心率为 16.已知 ?ABC 的周长为 26 且点 A, B 的坐标分别是 ?? 6,0? , ?6,0? ,则点 C 的轨迹方程 为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(本题满分 8 分) 已知 m ? m
2

?

? ? ? 3 ? m?

3 5

3 5 ,求实数

m 的取值范围.

18.(本题满分 10 分)

3

如图,矩形草坪 AMPN 中,点 C 在对角线 MN 上,CD 垂直 AN 于点 D ,CB 垂直于 AM 于点 B ,

CD ? AB ? 3 米, AD ? BC ? 2 米,设 DN ? x 米, BM ? y 米,求这块矩形草坪 AMPN 面
积的最小值.

19.(本题满分 10 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分) 设 a 是实数,函数 f ? x ? ? a ?

2 ? x ? R?. 2 ?1
x

(1)若已知 ?1, 2 ? 为该函数图象上一点,求 a 的 值; (2)证明:对任意 a , f ? x ? 在 R 上为增函数.

20.(本题满分 12 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 5 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? a .
2

(1)若对任意的实数 x 都有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 成立,求实数 a 的值; (2)若 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上为单调增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 x ?? ?1,1? 时,求函数 f ? x ? 的最大值.

21.(本题满分 12 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 5 分)
4

在区间 D 上,如果函数 f ? x ? 为减函数,而 xf ? x ? 为增函数,则称 f ? x ? 为 D 上的弱减函数,若

f ? x? ?

1 . 1? x

(1)判断 f ? x ? 在区间 ?0, ??? 上是否是弱减函数; (2)当 x ??1,3? 时,不等式

a 1 a?4 恒成立,求实数 a 的取值范围; ? ? x 2x 1? x

(3)若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? k x ?1 在 ?0,3? 上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围.

5

数学参考答案 1-12 ACBCD 13-16 120? BCBBD CA

3? 2 2

2 5 5

x2 y2 ? ?1 49 13

17.(本题满分 8 分)
3

解: (1)设函数 y ? 得, m 即, m
2

x 5 ,函数为 R 上的单调递增函数

………………2 分 ………………2 分 ………… ……2 分

? m ? ?m ? 3

2

? 2m - 3 ? 0

(m ? 1)(m ? 3) ? 0 得,
所以,m 的取值范围为: m ? [?3 ,1] ………………2 分

18. (本题满分 10 分) 解: ?NCD ? ?CMB ?

x 2 ? ? xy ? 6 ………………….2 分 3 y

S AMPN ? ( x ? 2)( y ? 3)
? xy ? 3x ? 2 y ? 6 ? 12 ? 3x ? 2 y
………………….3 分

? 12 ? 2 3x ? 2 y ? 24 ………………….2 分
当且仅当 3x ? 2 y ,即 x ? 2, y ? 3 时取得等号。………………….2 分 面积的最小值为 24 平方米。 ………………….1 分

19. (本题满分 10 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分) 解:1) 2 ? a ?

2 8 ?a? 3 3

………………….4 分

2)证明:设任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,………………….1 分 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?
2 2 ) ? (a ? x2 ) 2 ?1 2 ?1
x1

?

2 2 ? x1 2 ?1 2 ?1
x2

6

?

2(2 x1 ? 2 x2 ) , ………………….3 分 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)
x x

x x 由于指数函数 y ? 2x 在 R 上是增函数,且 x1 ? x2 ,所以 2 1 ? 2 2 即 2 1 ? 2 2 ? 0 ,

又由 2 x ? 0 ,得 2 1

x ?1

? 0 , 2 x2 ?1 ? 0 ,………………….1 分

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以,对于任意 a, f ( x) 在 R 上为增函数. …………………1 分 20. (本题满分 12 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 4 分,第,3 小题 5 分) 解: (1)由题意知函数 f ( x) ? x 2 - 2ax ? 1 的对称轴为 1,即 a ? 1 ………………3 分 (2)函数 f ( x) ? x 2 - 2ax ? 1 的图像的对称轴为直线 x ? a

y ? f ( x) 在区间[1,+∞)上为单调递增函数,
得, a ? 1 (3)函数图像开口向上,对称轴 x ? a , 当 a ? 0 时, x ? 1 时,函数取得最大值为: f ( x) max ? 2 ? 2a 当 a ? 0 时, x ? -1 时,函数取得最大值为: f ( x) max ? 2 ? 2a 当 a ? 0 时, x ? 1或 - 1 时,函数取得最大值为: f ( x) max ? 2 21. (本题满分 12 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 5 分) 解: (1)由初等函数性质知 f ( x) ? ………………2 分 ………………2 分 ………………1 分 ………………4 分

1 1? x

在 [0,??) 上单调递减,………………1 分

而 xf ( x) ?

x 1? x 1

?

( x ? 1) ? 1 1? x

? 1? x ?

1 1? x

在 [0,??) 上单调递增,

所以 f ( x) ?

1? x

是 [0,??) 上的弱减函数………………2 分

(2)不等式化为 a ?

x a?4 ? 在 x ? [1,3] 上恒成立 2 1? x

………………1 分

? ? x ? ?a ? ? ? ? 1 ? x ? min ? 则? ,………………1 分 ?a ? 4 ? ? x ? ? ? ? 2 ? 1 ? x ? max ?

7

而y?

x 1? x

在 [1,3] 单调递增,所以 a ? [ ?1,

2 ] 2

………………2 分

(3)由题意知方程 1 ?

1 1? x

? k | x | 在 [0,3] 上有两个不同根

① 当 x ? 0 时,上式恒成立;………………2 分 ② 当 x ? (0,3] 时,方程 1 ?

1 1? x

? k | x | 只有一解 ………………1 分

k?

1 1 1 1? x ?1 1 x 1 (1 ? )? ? ? ? ? 2 x x x 1 ? x ? ( 1 ? x ? 1) ( 1 ? x ) ? 1 ? x 1? x 1? x
………………1 分 ……1 分

令 t ? 1 ? x ,则 t ? (1,2] 方程化为 k ?
2

1 1 1 在 t ? (1,2] 上只有一解,所以 k ? [ , ) 6 2 t ?t

8


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