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【步步高】2015届高三数学北师大版(理)总复习学案:学案73 几何证明选讲(一)相似三角形的判定及有关性质


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第十三章 选修系列 4 学案 73 几何证明选讲
(一)相似三角形的判定及有关性质
导学目标: 1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理; 2.掌握相似三角形 的判定定理及性质定理;3.理解直角三角形射影定理.

自主梳理 1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组平行线相交的)直 线上截得的线段也相等. 2.平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段__________. 推论 1 平行于三角形一边的直线截其他两边(或________________),所得的对应线段 __________. 推论 2 平行于三角形的一边,并且和其他两边________的直线所截得的三角形的三边 与原三角形的三边对应________. 推论 3 三角形的一个内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例. 3.相似三角形的判定 判定定理 1 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角 对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应________的两个三角形相似. 判定定理 2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应 成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且____________ 相等的两个三角形相似. 判定定理 3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例的两个三角形相似. 4.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 5.直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在____________与斜边的______, 斜边上的 高的________等于两条直角边在斜边上的射影的乘积. 自我检测 1.如果梯形的中位线的长为 6 cm,上底长为 4 cm,那么下底长为________cm.

2. 如图, 在△ABC 中, ED∥BC, EF∥BD, 则下列四个结论正确的是(填序号)________. AF ED AF CD AF AD AF AB ① = ;② = ;③ = ;④ = . FD BC FD AD FD DC FD AE

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3.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于点 D,CD=2,BD=3,则 AC= ________. 4. 如图所示, 在△ABC 中, AD 是∠BAC 的平分线, AB=5 cm, AC=4 cm, BC=7 cm, 则 BD=________cm.

第 4 题图 第 5 题图 5.(2011· 陕西)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90° ,且 AB=6,AC=4,AD= 12,则 BE=________.

探究点一 确定线段的 n 等分点 例1 已知线段 PQ,在线段 PQ 上求作一点 D,使 PD∶DQ=2∶1.

变式迁移 1 已知△ABC,D 在 AC 上,AD∶DC=2∶1,能否在 AB 上找到一点 E, 使得线段 EC 的中点在 BD 上.

探究点二 平行线分线段成比例定理的应用 例 2 在△ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使 BD=CE,DE 的延长线交 BC DF AC 的延长线于点 F.求证: = . EF AB

变式迁移 2 如图, 已知 AB∥CD∥EF, AB=a, CD=b(0<a<b), AE∶EC=m∶n(0<m<n), 求 EF.

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探究点三 相似三角形的判定及性质的应用 例 3 如图,已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,过 D 与 BC 平行的直线交 AB 于点 E, ∠ACE=∠ABC,求证:AB· CE=AC· DE.

变式迁移 3 如图, 已知?ABCD 中, G 是 DC 延长线上一点, AG 分别交 BD 和 BC 于 E、 F 两点,证明 AF· AD=AG· BF.

1.用添加平行辅助线的方法构造使用平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理 的条件.特别是在使用平行线分线段成比例定理及推论时,一定要注意对应线段,对应 边. 2.利用平行线等分线段定理将某线段任意等分,需要过线段的一个端点作辅助线,在 作图时要注意保留作图痕迹. 3.在证明两个或两个以上的比例式相等时,需要找第三个比例式与它们都相等,可考 虑利用平行线分线段成比例定理或推论, 也可以考虑用线段替换及等比定理, 由相等的 传递性得出结论. 4.判定两个三角形相似,根据题设条件选择使用三角形相似的判定定理.

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(满分:75 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 40 分) 1.如图所示,l1∥l2∥l3,下列比例式正确的有________(填序号). AD CE AD BC CE AD AF BE (1) = ;(2) = ;(3) = ;(4) = . DF BC BE AF DF BC DF CE

AD 2. 如图所示, D 是△ABC 的边 AB 上的一点, 过 D 点作 DE∥BC 交 AC 于 E.已知 = DB S△ADE 2 ,则 =__________________________________________. 3 S四边形BCED

EF FG 3.如图,在四边形 ABCD 中,EF∥BC,FG∥AD,则 + =________. BC AD

4.在直角三角形中,斜边上的高为 6,斜边上的高把斜边分成两部分,这两部分的比 为 3∶2,则斜边上的中线的长为________.

5.(2010· 苏州模拟)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BD 与 AC 相交于点 O,过点 O 的直线分别交 AB,CD 于 E,F,且 EF∥BC,若 AD=12,BC=20,则 EF=________. 6.如图所示,在△ABC 中,AD⊥BC,CE 是中线,DC=BE,DG⊥CE 于 G,EC 的 长为 4,则 EG=________.

7.(2010· 天津武清一模)如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,DE∥AC,EF∥BC,AB =15,AF=4,则 DE=________.

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PQ 8. 如图所示, BD、 CE 是△ABC 的中线, P、 Q 分别是 BD、 CE 的中点, 则 =________. BC

二、解答题(共 35 分)

9.(11 分)如图所示,在△ABC 中,∠CAB=90° ,AD⊥BC 于 D,BE 是∠ABC 的平分 DF AE 线,交 AD 于 F,求证: = . AF EC

10.(12 分)如图,△ABC 中,D 是 BC 的中点,M 是 AD 上一点,BM、CM 的延长线 分别交 AC、AB 于 F、E. 求证:EF∥BC.

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11.(12 分)(2010· 苏州模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O 点,直线 l 平行于 BD 且与 AB,DC,BC,AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M,N,R,S 和 P, 求证:PM· PN=PR· PS.

学案 73

几何证明选讲

(一)相似三角形的判定及有关性质
自主梳理 2.成比例 两边的延长线 成比例 相交 成比例 3.相等 夹角 5.斜边上的射影 乘积 平方 自我检测 1.8 2.③ 2 13 3. 3 解析 由射影定理:CD2=AD· BD. 4 16 2 13 ∴AD= ,∴AC= CD2+AD2= 4+ = . 3 9 3 35 4. 9 AB BD 5 35 解析 ∵ = = ,∴BD= cm. AC DC 4 9 5.4 2 解析 ∵AC=4,AD=12,∠ACD=90° , ∴CD2=AD2-AC2=128, ∴CD=8 2. 又∵AE⊥BC,∠B=∠D, AB BE ∴△ABE∽△ADC,∴ = , AD CD AB· CD 6×8 2 ∴BE= = =4 2. AD 12 课堂活动区 例 1 解题导引 利用平行线等分线段定理可对线段任意等分,其作图步骤为:首先 作出辅助射线, 然后在射线上依次截取任意相同长度的 n 条线段, 最后过辅助线上的各等分 点作平行线,确定所求线段的 n 等分点.

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解 在线段 PQ 上求作点 D,使 PD∶DQ=2∶1,就是要作出线段 PQ 上靠近 Q 点的一 个三等分点,通过线段 PQ 的一个端点作辅助射线,并取线段的三等分点,利用平行线等分 线段定理确定 D 点的位置. 作法:①作射线 PN. ②在射线 PN 上截取 PB=2a,BC=a. ③连接 CQ. ④过点 B 作 CQ 的平行线,交 PQ 于 D. ∴点 D 即为所求的点. 变式迁移 1

解 假设能找到,如图,设 EC 交 BD 于点 F,则 F 为 EC 的中点, 作 EG∥AC 交 BD 于 G. ∵EG∥AC,EF=FC, ∴△EGF≌△CDF,且 EG=DC, 1 ∴EG 綊 AD,△BEG∽△BAD, 2 BE EG 1 ∴ = = ,∴E 为 AB 的中点. BA AD 2 ∴当 E 为 AB 的中点时,EC 的中点在 BD 上. 例 2 解题导引 证明线段成比例问题,一般有平行的条件可考虑用平行线分线段成 比例定理或推论,也可以用三角形相似或考虑用线段替换等方法. 证明 作 EG∥AB 交 BC 于 G,如图所示,

∵△CEG∽△CAB, EG CE AC CE DB ∴ = ,即 = = , AB AC AB EG EG DB DF DF AC 又∵ = ,∴ = . EG EF EF AB 变式迁移 2 解 如图,过点 F 作 FH∥EC,分别交 BA,DC 的延长线于点 G,H,由 EF∥AB∥CD 及 FH∥EC,知 AG=CH=EF,FG=AE,FH=EC.从而 FG∶FH=AE∶EC =m∶n.

由 BG∥DH,知 BG∶DH=FG∶FH=m∶n. 设 EF=x,则得(x+a)∶(x+b)=m∶n. mb-na 解得 x= , n-m

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mb-na . n-m 例 3 解题导引 有关两线段的比值的问题,除了应用平行线分线段成比例定理外, 也可利用相似三角形的判定和性质求解.解题中要注意观察图形特点,巧添辅助线,对解题 可起到事半功倍的效果. 证明 方法一 ∵AB∥CD, EA AF EA CD ∴ = ,即 = .① CD CF AF CF ∵DE∥BC, AF AE EA AB ∴ = ,即 = .② AC AB AF AC CD AB 由①②得 = ,③ CF AC ∵∠FDC=∠ECF,∠DEC=∠FEC, ∴△EFC∽△ECD. CD DE ∴ = .④ CF CE AB DE 由③④得 = , AC CE 即 AB· CE=AC· DE. 方法二 ∵AB∥CD,DE∥BC, ∴BEDC 是平行四边形. ∴DE=BC. ∵∠ACE=∠ABC,∠EAC=∠BAC, BC AB ∴△AEC∽△ACB.∴ = . CE AC AB DE ∴ = ,即 AB· CE=AC· DE. AC CE 变式迁移 3 证明 因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以 AB∥DC,AD∥BC. 所以△ABF∽△GCF,△GCF∽△GDA. 所以△ABF∽△GDA. AF BF 从而有 = ,即 AF· AD=AG· BF. AG AD 课后练习区 1.(4) 解析 由平行线分线段成比例定理可知(4)正确. 4 2. 21 S△ADE AD 2 AD 2 S△ADE 4 4 解析 由 = 知, = , = ,故 = . DB 3 AB 5 S△ABC 25 S四边形BCED 21 3.1 EF AF 解析 ∵EF∥BC,∴ = , BC AC FG CF 又∵FG∥AD,∴ = , AD AC EF FG AF CF AC ∴ + = + = =1. BC AD AC AC AC 5 6 4. 2 解析 设斜边上的两段的长分别为 3t,2t,由直角三角形中的射影定理知:62=3t· 2t,解 即 EF=
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5 6 得 t= 6(t>0,舍去负根),所以斜边的长为 5 6,故斜边上的中线的长为 . 2 5.15 OB BC 20 5 OB 5 解析 ∵AD∥BC,∴ = = = ,∴ = , OD AD 12 3 BD 8 OE OB 5 ∵OE∥AD,∴ = = , AD BD 8 5 5 15 ∴OE= AD= ×12= , 8 8 2 3 3 15 同理可求得 OF= BC= ×20= , 8 8 2 ∴EF=OE+OF=15. 6.2

1 解析 连接 DE,因为 AD⊥BC,所以△ADB 是直角三角形,则 DE= AB=BE=DC. 2 又因为 DG⊥CE 于 G,所以 DG 平分 CE,故 EG=2. 7.6 解析 设 DE=x,∵DE∥AC, BE x 15x ∴ = ,解得 BE= . 15 x+4 x+4 BD BE BE x ∴ = = = . DC EA 15-BE 4 BD BA 15 x 又∵AD 平分∠BAC,∴ = = = , DC AC x+4 4 解得 x=6. 1 8. 4

解析 连接 DE,延长 QP 交 AB 于 N, 1 1 NP= ED= BC, 2 4 则 1 NP+PQ= BC. 2 1 得 PQ= BC. 4 9.证明 由三角形的内角平分线定理得, DF BD 在△ABD 中, = ,① AF AB AE AB 在△ABC 中, = ,②(3 分) EC BC 在 Rt△ABC 中,由射影定理知,AB2=BD· BC,

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BD AB = .③(6 分) AB BC DF AB 由①③得: = ,④(9 分) AF BC DF AE 由②④得: = .(11 分) AF EC 10.证明 延长 AD 至 G,使 DG=MD,连接 BG、CG. ∵BD=DC,MD=DG, 即

∴四边形 BGCM 为平行四边形.(4 分) ∴EC∥BG,FB∥CG, AE AM AF AM ∴ = , = , AB AG AC AG AE AF ∴ = ,(8 分) AB AC ∴EF∥BC.(12 分) 11.证明 ∵BO∥PM, PM PA ∴ = ,(2 分) BO OA ∵DO∥PS, PS PA PM PS ∴ = ,∴ = .(4 分) DO OA BO DO PM BO 即 = ,由 BO∥PR PS DO PR PC 得 = .(6 分) BO CO PN PC 由 DO∥PN 得 = .(8 分) OD CO PR PN PR BO ∴ = ,即 = , BO DO PN DO PR PM ∴ = .∴PM· PN=PR· PS.(12 分) PN PS

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