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一轮复习-直线平面平行的判定及其性质_图文

《直线与平面平行的判定》

复习提问
直线与平面有什么样的位置关系?
1.直线在平面内——有无数个公共点; 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点;

3.直线与平面平行——没有公共点。
a

a

?

a

?

?

归纳结论
直线与平面平行的判定定理:
平面外的一条直线与此平面内的一条直 线平行,则该直线与此平面平行 .
(线线平行 ? 线面平行)

a
b

符号表示:
a ??? ? ? b ? ? ? ? a // ? ? a // b ?

感受校园生活中线面平行的例子:
天花板平面

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D C

求证:EF∥平面BCD.

分析:要证明线面平行只需证明线线平行, 即在平面BCD内找一条直线 平行于EF,由已 知的条件怎样找这条直线?

定理的应用
例1. 如图,空间四边形ABCD中,
E、F分别是 AB,AD的中点.
E B

A
F D

求证:EF∥平面BCD.

证明:连结BD.

∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD(三角形中位线性质) EF ? 平面BCD ? ? BD ? 平面BCD ? ? EF// 平面BCD ? FE//BD ?

变式1:
1.如图,在空间四边形ABCD中,E、F分
AE AF 别为AB、AD上的点,若 EB ? FD ,则EF

EF//平面BCD 与平面BCD的位置关系是_____________.
A
F E B D C

2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF.(天津高考)
B

变式2:

A

F
D

E O
C

分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.

2.如图,四棱锥A—DBCE中,O 为底面正方形DBCE对角线的交 点,F为AE的中点. 求证:AB//平面 DCF.
证明:连结OF, ∵ O为正方形DBCE 对角线的交点, ∴BO=OE, 又AF=FE, ∴AB//OF, B

变式2:

A

F
D

E
O
C

AB ? 平面DC F? ? O F ? 平面DC F? ? AB //平面DC F ? AB //O F ?

反思~领悟:
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、 梯形的中位线、平行线的判定等来完成。 3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平 行”,缺一不可。

巩固练习:
1.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1平行

平面BC 、平面 CD 1 的平面是___________________. 1
D A
1
1

C B

1

1

D A B

C

巩固练习:
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中 点,求证:BD1//平面AEC. 分析:要证BD1//平面 AEC即要在平面AEC内找 一条直线与BD1平行.根据 已知条件应该怎样考虑辅 助线?
D1 A1 B1 E D C O B C1

A

巩固练习:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点, 求证:BD1//平面AEC.
证明:连结BD交AC于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD对角线的交点, ∴DO=OB,
又∵DE=ED1, A1 B1 E D O B C D1 C1

∴BD1//EO. A BD1 ? 平面 AEC ? ? EO ? 平面 AEC ? ? BD1 // 平面 AEC ? BD1 // EO ?

归纳小结,理清知识体系
1.判定直线与平面平行的方法:
(1)定义法:直线与平面没有公共点则线面平行; (2)判定定理:(线线平行

? 线面平行);

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可
以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行线的判定等来完成。

《平面与平面平行的判定》

复习回顾:
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢? (1)定义法; (2)直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行,则该直线与此平面平行.
a

?

b

线线平行

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

线面平行

复习回顾:
2. 平面与平面有几种位置关系?分别是什么? (1)平行 (2)相交

α∥β

? ?? ? a

怎样判定平面与平面平行呢?

生活中有没有平面与平面平行的例子呢? 教室的天花板与地面给人平行的感觉, 前后两块黑板也是平行的。 (1)三角板或课本的一条边所在直线与 桌面平行,这个三角板或课本所在平 面与桌面平行吗? (2)三角板或课本的两条边所在直线分 别与桌面平行,情况又如何呢?

当三角板的两条边所在直线分别 与地面平行时,这个三角板所在 平面与地面平行。 (1)平面?内有一条直线与 平面?平行,?,?平行吗?
(2)平面?内有两条直线与平 面?平行,?,?平行吗?

(1)中的平面α,β不一定 平行。如图,借助长方体模 型,平面ABCD中直线AD平行 平面BCC'B',但平面ABCD与 平面BCC'B'不平行。

(2)分两种情况讨论: 如果平面β内的两条直线是平行直线,平面 α与平面β不一定平行。如图,AD∥PQ, AD∥平面BCC’B’,PQ∥BCC’B’,但平面ABCD 与平面BCC’B’不平行。

如果平面β内的两条直线 是相交的直线,两个平 面会不会一定平行?
P

Q

直线的条数不是关键

直线相交才是关键

两个平面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面,那么这两个平面平行
符号表示: a??,b??,a?b=P,a???,b???????? b P a 图形表示: ?

? 线不在多,重在相交

判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若平面 ? 内的两条直线分别与平面? 平行,则? 与 ? 平行; × (2)若平面? 内有无数条直线分别与平面? 平行,则 ?与 ? 平行;× (3)平行于同一直线的两个平面平行; × (4)两个平面分别经过两条平行直线,这两个平面平 行; × (5)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平 行的平面.×

例1:已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平 面AB1D1//平面C1BD 证明:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以 D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1 又AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB, ∴D1C1BA是平行四边形, ∴D1A∥C1B, 又D1A ? 平面C1BD, CB ? 平面C1BD. 由直线与平面平行的判定,可知 D1A∥平面C1BD, 同理 D1B1∥平面C1BD,又 D1A∩D1B1=D1, 所以,平面AB1D1∥平面C1BD。

变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 若 M、N、E、F分别是棱A1B1,A1D1, B1C1,C1D1的中点,求证:平面AMN// 平面EFDB。
D1

F
M
B1

N
A1

C1

E

线面平行
线线平行

面面平行
D A B C

第一步:在一个平面内找出两条相交直线; 第二步:证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。 第三步:利用判定定理得出结论。

PD PEP-ABC, PF 1、如图:三棱锥 D,E,F分别是棱 P ? ? PA PB PC PA,PB, PC中点,

求证:平面DEF∥平面ABC。

D A

F

E
B

C

小结:
1、面面平行的定义;

2、面面平行的判定定理;
3、面面平行判定定理的应用:要证面面平行, 只要证线面平行,而要证线面平行,只要证线 线平行。在立体几何中,往往通过线线、线面、 面面间的位置关系的转化使问题得到解决。

《直线与平面平行的性质》

复习旧知 线面平行、面面平行判定定理的内容是什么?判 定定理中的线与线、线与面应具备什么条件? 答:直线和平面平行的判定定理是:平面外一条 直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平 面平行.定理中的线与线、线与面应具备的条件 是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互相平 行。 平面和平面平行的判定定理是:一个平面内有 两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行。定理中的线与线、线与面应具备 的条件是:两条直线必须相交,且两条直线都平 行于另一个平面。

提出问题、引入新课

提出问题:如果已知直线与平面平 行,会有什么结论?

直线与平面平行的性质

探研新知

探究1.如果一条直线与平面平行,那么 这条直线是否与这个平面内的所有直线 都平行? 这条直线与这个平面内有多少条直线平 行?
结合实例(教室内的有关例子)得出结论: 如果一条直线与平面平行,这条直线不会 与这个平面内的所有直线都平行,但在这个 平面内却有无数条直线与这条直线平行。

探研新知 探究2.如果一条直线与一个平面平行,那么这条 直线与这个平面内的直线有哪些位置关系?
a a b α

b α

答:由直线与平面平行的定义,如果一条直线a 与平面α 平行,那么a与平面α 无公共点,即a 上的点都不在平面α 内,平面α 内的任何直线 与a都无公共点,这样,平面α 内的直线与平面 α 外的直线a只能是异面直线或平行直线。

探研新知

探究3.如果一条直线a与平面α 平行,在 什么条件下直线a与平面α 内的直线平 行呢? 答:由于a与平面α 内的任何直线无公共 点,所以过直线a的某一平面,若与平 面α 相交,则直线a就平行于这条交线。 下面我们来证 明这一结论.

探研新知

已知:如图,a∥α , a ?β ,α ∩β =b。 求证:a∥b。

证明:∵α ∩β =b,∴b?α ∵ a∥α ,∴a与b无公共点, ∵a?β ,b?β ,∴a∥b。
我们可以把这个结论作定理来用.

直线与平面平行的性质定理: 一条直线和一个平面平行,则过这条直线的 任一平面与这个平面的交线与该直线平行。 符号表示:

a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b

a // b
β a

作用: 可证明两直线平行。

α
欲证“线线平行”,可先证明“线面平 行”。

b

直线和平面平行的判定定理: 直线与直线平行 直线与平面平行

直线和平面平行的性质定理: 注意:

平面外的一条直线只要和平面内的任一条直 线平行,则就可以得到这条直线和这个平面平行; 但是若一条直线与一个平面平行,则这条直线并 不是和平面内的任一条直线平行,它只与该平面 内与它共面的直线平行.

探研新知

探究4.教室内的日光灯管所在的 直线与地面平行,如何在地面上 作一条直线与灯管所在的直线平 行?

答:只需由灯管两端向地面 引两条平行线,过两条平行 线与地面的交点的连线就 是与灯管平行的直线。

例题示范 例1:已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面。 第一步:将原题改写成数学 符号语言 如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α. 第二步:分析:怎样进行平 行的转化?→如何作辅助平 面? 第三步:书写证明过程

例题示范

如图,已知直线a,b,平面α, 且a//b,a//α ,a,b都在平面 α 外.求证:b//α.
证明:过a作平面β ,使它与 平面α相交,交线为c. 因为a//α,a ?β ,α ?β =c, 所以 a// c. 因为a//b,所以,b//c. 又因为c ?α, b? α, 所以 b// α。

练习反馈: 一条直线和两个相交平面平行,求证:它和这两 个平面的交线平行。 已知直线a∥平面α,直线 a∥平面β ,平面α?平面 β =b,求证a//b.
b a

b c a ? ? d ? ?

例题示范 例2:有一块木料如图,已知棱BC平行于面 A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的 一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?(2)所 画的线和面AC有什么关系? 解:(1)过点P作EF∥B’C’, 分别交棱A’B’,C’D’于点E, F。连接BE,CF,则 D1 E EF,BE,CF就是应画的线。
P

C1

A1
D

F

B1
C B

A

例题示范 例2:有一块木料如图,已知棱 BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面 A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开,应 怎样画线?(2)所画的线和面AC有什么关系?

(2)因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平 面A'C'交于B'C',所以BC∥B'C',由(1)知, EF∥B'C',所以,EF∥BC,因此,EF//BC, EF?平面AC,BC?平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。

探究: 变式:如果AD∥BC,BC∥面A′C′,那么,AD 和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关 系.为什么?

练一练: 设平面α 、β 、γ ,α ∩β =a,β ∩γ =b, γ ∩α =c,且a//b. 求证:a∥b∥c.

小结
线面平行的判定定理 线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 线面平行的性质定理
线面平行 线线平行

如果一条直线和一个平面平行,经过这条直 线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线 平行。

《平面与平面平行的性质》

复习提问、引入新课

复习:如何判断平面和平面平行? 答:有两种方法,一是用定义法,须 判断两个平面没有公共点;二是用 平面和平面平行的判定定理,须判 断一个平面内有两条相交直线都和 另一个平面平行.
思考:如果两个平面平行,会有哪些 结论呢?

探究新知

探究1. 如果两个平面平行, 那么一个平面内的直线与另 一个平面有什么位置关系?
a

?
?

答:如果两个平面平行,那么一个 平面内的直线与另一个平面平行.

探究新知

探究2.如果两个平面平行,两个平面内的直 线有什么位置关系?

借助长方体模型探究 结论:如果两个平面平行,那么两个平面内 的直线要么是异面直线,要么是平行直线.

探究新知

探究3:当第三个平 面和两个平行平面 都相交时,两条交 线有什么关系?为 什么? 答:两条交线平行.

α

a

β

b

下面我们来证明这个结论

结论:当第三个平面和两个平行平面都 相交时,两条交线平行
如图,平面α ,β ,γ 满足α ∥β ,α ∩γ = a,β ∩γ =b,求证:a∥b 证明:∵α ∩γ =a,β ∩γ =b ∴a?α ,b?β ∵α ∥β ∴a,b没有公共点, 又因为a,b同在平面γ 内, 所以,a∥b

这个结论可做定理用

定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交,那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理: ? / /? ? a//b ? ? ? ? a, ? ? ? ? b

?

想一想:这个定理的作用是什么? 答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行

例题分析,巩固新知 例1. 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. 讨论:解决这个问题的基本步骤是什么? 答:首先是画出图形,再结合图形将文字语言转化 为符号语言,最后分析并书写出证明过程。 如图,α//β ,AB//CD,且A? α, C? α,B? β ,D? β. 求证:AB=CD. 证明:因为AB//CD,所以过AB, CD可作平面γ ,且平面γ 与平 面α和β 分别相交于AC和BD. 因为 α//β ,所以 BD//AC.因此,四边形ABDC是平 行四边形. 所以 AB=CD.

小结归纳: 1、两个平面平行具有如下的一些性质: ⑴如果两个平面平行,那么在一个平面内的所 有直线都与另一个平面平行

⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行. ⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交, 那么它也和另一个平面相交 ⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等


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