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重庆一中2014届高三5月月考数学理试题


2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第三次月考

数 学 试 题(理科)2014.5
数学试题共 4 页,共 21 个小题。满分 150 分。考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.

一、选择题.(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M ? {x y ? x 2 ? 1}, N ? { y y ? x ? 1} ,则 M A. {(0,1)} B. {x x ? ?1}
N ?(

) D. {x x ? 1}

C. {x x ? 0} )

2.设复数 z 满足 ( z ? i)(1 ? i) ? 1 ? i,(i 是虚数单位) ,则 z ? ( A. 1 B.2 ) C.3

D. 4

3.命题“若 x ? 1, 则 x 2 ? 2 ”的否定是( A. ?x ? 1, x2 ? 2 D. ?x ? 1, x2 ? 2 4.双曲线 x 2 ?

B. ?x ? 1, x2 ? 2

C. ?x ? 1, x2 ? 2

y2 ? 1上一点 P 到左焦点的距离为 4, 则点 P 到右准线的距离为 ( 3



A. 1 B.2 C.3 D. 1 或 3 5.一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体, 余下的几何体的三 视图如下图,则余下部分的几何体的体积为( ) 16? 16? 16? 2 3 8? 3 ?2 3 ? ? A. B. C. D. 3 9 9 3 9 3
T ?0 I ?2
while I ?

T ?T ?I I ? I ?2
Endwhile
第 1 页 共 10 页

Pr int T
(第 6 题图)

(第 5 题图)

6.根据上面的程序框图,若输出的结果 T ? 600 ,则图中横线上应填( A. 48 B.50 C. 52 D.54



7.对于集合 A , 若满足:a ? A, 且 a ? 1? A, a ? 1? A , 则称 a 为集合 A 的 “孤立元素” , 则集合 M ? {1,2,3,?,10} 的无 “孤立元素”的含 4 个元素的子集个数共有( . )

A. 28 B.36 C.49 D. 175 8.已知圆 O 的半径为 1, 四边形 ABCD 为其内接正方形,EF 为圆 O 的一条直径,M 为正方形 ABCD 边界上一动点,则 ME ? MF 的最小值为( A. ?
3 4

) D. 0
tan C tan C ? ? tan A tan B

B. ?

1 2

C. ?

1 4

9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a2 ?b2 ? 2 0 1 4 c2 , 则 ( ) A.
2 2013 1 2013 2 2014

B.

C.

D. ) .

1 2014

10.设 a, b ? R? , a ? b ? 1, 则 a2 ? 1 ? b2 ? 4 的最小值为( A. 2 ? 2 B. 2 2
C. 3

D.

10

二.填空题.(本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.某商场销售甲、乙、丙三种不同类型的商品,它们的数量之比分别为 2 : 3 : 4 , 现采用分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本,其中甲种商品有 12 件,则此样 本容量 n = ; 12.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,对 ?x ? R 恒有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f (2) ,且
1 当 x ? (1,2) 时, f ( x) ? x2 ? 3x ? 1, 则 f ( ) ? 2



13. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S1 , 2S2 , 3S3成公比为 q 的等比数列,则
q=



特别提醒:14~16 题,考生只能从中选做两题;若三道题都做的,则只计前两题 的得分.
, BE 14. 已 知 ?A B C 的 中 线 A D 交 于 K , AB ? 3, 且 K , D, C , E 四 点 共 圆 , 则
第 2 页 共 10 页

CK ?



15.在直角坐标系 x ? O ? y 中,极点与直角坐标系原点重合,极轴与 x 轴非负半轴

? x ? sin ? , 重合建立极坐标系, 若曲线 ? 与曲线 ? sin ? ? a 有两个公共点, (? 为参数) 2 ? y ? sin ? ,
则实数 a 的取值范围是 ;

16.若关于 x 的不等式 x2 ? | x3 ? 2 x2 |? ax ? 4 在 x ? ?1,10?内恒成立,则实数 a 的取值范 围是 . 三.解答题.(共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17.(13 分) 已 知
f(
, k? ?

x ?)

? 2

s xi ? n? x ? c

o? ?s

( ? ? ?的 ) ?单 ,? ( ? 増

0 ,间 区



)

[ k? ?

?
12

5? ], (k ? Z ) . 12

(1)求 ? , ? 的值; (2)在 ?ABC 中,若 f ( A) ? 3, 求角 A 的取值范围.

18.(13 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1 , T2 , T3 , T4 ,已知每个元件正常
2 ,且各元件相互独立. 3 (1)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率;

工作的概率均为

(2)记随机变量 ? 表示 T1 , T2 , T3 , T4 这四个元件中 正常工作的元件个数,求 ? 的分布列及数学期望.

19.(13 分) 如图,多面体 ABCDS 中,四边形 ABCD 为矩形, SD ? AD, SD ? AB, 且
AB ? 2 AD ? 2, M , N 分别为 AB, CD 中点.
C B

(1)求异面直线 SM , AN 所成的角; (2)若二面角 A ? SC ? D 大小为 60? ,求 SD 的长.
S

N

M

D

A

第 3 页 共 10 页

20.(12 分) 在数列 {an } 中, an ? 0, S n 为其前 n 项和,向量 AB ? (Sn , p2 ? an ), CD ? (1, p ?1) ,且

AB // CD, 其中 p ? 0 且 p ? 1.
(1)求数列 {an } 的通项公式; ( 2 ) 若
b1 na ?
2?n

p?

1 2
n

, 数 列 {bn } 满 足 对 任 意 n ? N ? , 都 有
1 n b 2 1 ?a 2 ? , 1 ? n

b

a .? 1 . .?

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 21.(12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? ln x) . (1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若 x1, x2 ? 0, p1, p2 ?0, p1 ? p2 ?1 ,求证: p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? f ( p1 x1 ? p2 x2 ) .

22.(12 分)
x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且椭圆 C 经过点 a b
M ( 3,

3 ). 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求椭圆 C 的任意两条互相垂直的切线的交点 P 的轨迹方程; (3)设(2)中的两切点分别为 A, B ,求点 P 到直线 AB 的距离的最大值和最小值.

第 4 页 共 10 页

命题人:陶成海 审题人:黄 哥

2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第三次月考 数学试题参考答案(理科)
一、选择题:CBCDB BABAD 二.填空题: 11 12 题号 答案 5 54 4 三.解答题.
17.(13 分) (1) f ( x) ? 2sin ? x(cos ? x cos ? ? sin ? x sin ? ) ? sin 2? x cos ? ? (1 ? cos 2? x)sin ? = sin(2? x ? ? ) ? sin ? ,由已知可得, T ? ? ,?? ? 1. 即 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? sin ?. 又当 x ? k? ? 解得 ? ? ? 2014.5

13

14

15
(0,1]

16
(??, 4]

3 2或

3 2 2

1

?
3

5 5 ? ? 时, f ( x) 取最大值,即 2(k? ? ? ) ? ? ? ? 2m? , (k , m ? Z ) 12 12 2

? 2n? , (n ? Z ) ,由于 ?? ? ? ? ? ,?? ? ?

?

3

. 故 ? ? 1, ? ? ?

?

3

.

(2) f ( x) ? sin(2 x ? 而

?
3

)?

3 ? 3 . 由 f ( A) ? 3, 得 sin(2 A ? ) ? , 2 3 2
数 图 象 得 ,

5? , 由 正 弦 函 3 3 3 ? ? ? 2? 5? ? ? 2 A ? ? (? , ) ( , ),? A ? (0, ) ( , ? ). 3 3 3 3 3 3 2 ? ? 2A ? ?
第 5 页 共 10 页

?

?

18.(13 分) 解:(1) 记事件 Ai 为“元件 Ti 正常工作” , i ? 1,2,3,4 ,事件 B 表示“电流能在 M 与 N 之间 通过” ,则 P ( Ai ) ?

2 , 由于 A1 , A2 , A3 , A4 相互独立,所以 B ? A4 ? A4 A1 A2 ? A4 A1 A2 A3 , 3 法一: P(B) ? P( A4 ? A4 A1 A2 ? A4 A1 A2 A3 ) ? P( A4 ) ? P( A4 A1 A2 ) ? P( A4 A1 A2 A3 )
? 2 1 2 2 1 1 2 2 70 ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 3 3 3 3 3 3 3 81

法二:从反面考虑: P(B) ? 1 ? P( A4 ) ? 1 ? P( A3 ) ? (1 ? P( A1 A2 ))

?

?

1 ? 2 1 ? 11 70 ; ? 1 ? ? ?1 ? ? (1 ? ( ) 2 )? ? 1 ? ? 3 ? 3 3 ? 81 81
(2) 由 题

?



2 B(4, ) 3



?
P

0

1

2

3

4

k 2 k 1 4? k P(? ? k ) ? C 4 ( ) ( ) , k ? 0,4 , 3 3

1 81

8 81

24 81

32 81

16 81

易得 ? 的分布列如右,期望 E (? ) ?

8 . 3
C B

19.(13 分)法一(几何法):(1)

SD ? AD, SD ? AB,? SD ? 面ABCD. 连 MN ,

则由已知 , AMND 为正方形 , 连 DM , 则 DM ? AN , 又 DM 是 SM 在面 ABCD
E
0 上的射影,由三垂线定理得, SM ? AN .所以直线 SM 与 AN 所成的角为 90 .

N

M

D

A

(2)

AD ? CD, AD ? SD,? AD ? 面SCD ,过 D 作 DE ? SC 于 E ,
0

S

连 AE ,则 ? AED 为所求二面角 A ? SC ? D 的平面角 60 .则在 Rt ?ADE 中易得 DE ?

3 , 3
z
C B

设 SD ? a ,在 Rt ?SDC 中, DE ?

2a a2 ? 4

?

3 2 11 ,? SD ? a ? . 3 11

法二: (向量法)(1) 以 D 为原点,分别以 DS , DA, DC 为 x, y, z 轴建系, 则 A(0,1,0), N (0,0,1), M (0,1,1), C (0,0, 2) ,设 S (a,0,0) ,则
S

N

M

D

A

y

AN ? (0, ?1,1), SM ? (?a,1,1), AN ? SM ? 0 ,故 SM 与 AN 成 90 角;
?

x

(2) 设平面 ASC 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z), AS ? (a, ?1,0), AC ? (0, ?1,2) ,

第 6 页 共 10 页

由?

? ?n1 ? AS ? 0 ? ?n1 ? AC ? 0

? n1 ? (2,2a, a) ,又显然平面 SDC 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0) ,

由题有: cos 600 ? cos n1 , n2

?

2a 4 ? 4a 2 ? a 2

? SD ? a ?

2 11 . 11

20.(12 分)解: (1) AB // CD ? ( p ?1)Sn ? p2 ? an . 由 n ? 1,( p ?1)a1 ? p2 ? a1,?a1 ? p 又由 ?
2 ? 1 ?( p ? 1) S n ? p ? an ( p ? 1) a ? a ? a , ? a ? an . ,两式相减得: n ? 1 n n ? 1 n ? 1 2 p ( p ? 1) S ? p ? a ? n ?1 n ?1 ?

所以数列 {an } 是以首项为 p ,公比为 (2)法一:当 p ?

1 1 n?2 ? 的等比数列, an ? ( ) , (n ? N ). p p

1 时, an ? 2 n?2 , n ? N * , 2 1 b1an ? b2 an ?1 ? ... ? bn a1 ? 2n ? n ? 1 在 中 , 2 1 1 1 b1a1 ? 2 ? ? 1 ? , a1 ? ,? b1 ? 1. 2 2 2 1 n 因为 b1an ? b2 an ?1 ? ... ? bn ?1a2 ? bn a1 ? 2 ? n ? 1 , 2 1 1 n ?1 所以 b1an ?1 ? b2 an ? 2 ? ... ? bn ? 2 a2 ? bn ?1a1 ? 2 ? n ? , (n ? 2) , 2 2
将上式两边同乘公比



n ? 1,



(a)

1 ? 2 得, b1an ? b2an?1 ? ... ? bn?1a2 ? 2n ? n ?1,(n ? 2) , p

(b )

n ,? bn ? n.(n ? 2) ,又 b1 ? 1, 所以 bn ? n, (n ? N * ) 2 n(n ? 1) 所以 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 。 2 n(n ? 1) 法二: 计算可得 b1 ? 1, b2 ? 2, 故猜想 bn ? n , 于是 Tn ? , 下用第二数学归纳法证明: 2

( a ) 减去 (b) 得, bn a1 ?

bn ? n
1 ? 当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,命题成立; 2 ? 设 n ? 1,2,?, k 时, bn ? n ,则 n ? k ? 1 时,因为

b1 a k ?1 ? b2 a k ? ? ? bk a 2 ? bk ?1 a1 ? 2 k ?1 ? 1 ? 2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2 ? ? ? k ? 2 0 ? bk ?1 ? 2 ?1

k ?1 ? 1 ,即 2 k ?1 ? 2 k ?1 ? ? 1 ,由错位相减法可得: 2

第 7 页 共 10 页

1 ? 2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2 ? ? ? k ? 2 0 ? 2 k ?1 ?

k ? 1 , 代 入 上 式 得 bk ?1 ? k ? 1 , 综 上 1? ,2 ? 有 : 2

bn ? n, (n ? N * ) 。
21.(12 分) ( 1 ) 由 于

f / ( x) ? 2 ? ln x , 令

x
f / ( x)
f ( x)

(0, e ?2 )
负 单减

e ?2
0 极小值

(e ?2 ,??)
正 单增

f / ( x) ? 0 ? x ? e ?2 ,列表:
于是 f ( x ) 在 (0, e?2 ) ?,(e?2 , ??) ? , 在 x?e
?2

处 取 得 极 小 值 , 极 小 值 为

f (e ? 2 ) ? ?

1 ,无极大值; e2

(2)令 g ( x) ? p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x) ? f ( p1x1 ? p2 x) ,不妨设 0 ? x1 ? x ? x2 , 则 g?( x) ? p2 f ?( x) ? p2 f ?( p1x1 ? p2 x),

p1x1 ? p2 x ? x ? p1x1 ? p1x ? 0 ,

? p1x1 ? p2 x ? x, 而 f ?( x) ? ln x ? 2 在 (0, ??) 上是增函数,所以 f ?( x) ? f ?( p1x1 ? p2 x),
? g ?( x) ? 0, g ( x) 在 [ x1 , x2 ] 是增函数,所以 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? 0,
即 p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? f ( p1 x1 ? p2 x2 ) ; (又或,本题(2)问还可以用函数凹凸性的性质:因 f ( x) ?
//

1 ? 0 ,故 f ( x) 为下凸函数, x
函 数 得 性 质 知



p1 , p2 ? 0



p1 ? p2 ? 1











p1 f ( x1 ) ? p2 f ( x2 ) ? f ( p1 x1 ? p2 x2 ) ,直接利用函数凹凸性的性质是否要扣分请酌情处
理) 。 22.(12 分) (1) C :
?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)1 当两切线 l1 , l 2 的斜率有一条不存在(另一条斜率必为 0)时,易得此时点 P(?2,? 3) (四个) ;

2 ? 当两切线 l1 , l 2 的斜率均存在且不为 0 时,设 l1 : y ? kx ? m, l 2 : y ? ?

1 x ? n ,设 k

P( x0 , y0 )

第 8 页 共 10 页

则 m ? y0 ? kx0 ?? ? , n ? y 0 ? 联立 ?

1 x0 ?? ? k

? y ? kx ? m ?3x ? 4 y ? 12
2 2

? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8km x ? 4m 2 ? 12 ? 0 ,
2

2 2 因为 l1 : y ? kx ? m 与椭圆相切,故 ? ? 0 ,于是得到 m ? 4k ? 3 ,同理 n ?

4 ? 3, k2

于是

? y0 2 ? 2kx0 y0 ? k 2 x0 2 ? 4k 2 ? 3 ? 2 ?( y0 ? kx0 ) 2 ? 4k 2 ? 3 2 2 2 ? ? ? y0 ? 2kx0 y0 ? k x0 ? 4k ? 3 ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 1 4 1 2 4 2 2 k y0 ? 2kx0 y0 ? x0 ? 4 ? 3k 2 ?( y0 ? x0 ) ? 2 ? 3 ? y0 ? x0 y0 ? 2 x0 ? 2 ? 3 ? ? k k k ? k k ?
两式相加得 (k 2 ? 1) y0 ? (k 2 ? 1) x0 ? 7(k 2 ? 1) ,即 x0 ? y0 ? 7 ,显然 P(?2,? 3) 也在 此曲线上,综上,动点 P 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 7 ;
2 2 (3)设动点 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? y0 ? 7 ,下先证明直线 AB 的方程为

2

2

2

2

x0 x y0 y ? ? 1. 4 3

设两切点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,设过 A( x1 , y1 ) 的切线: y ? y1 ? k1 ( x ? x1 ), 代入椭圆方程得:

(3 ? 4k12 ) x2 ? 8k1 ( y1 ? k1x1 ) x ? 4( y1 ? k1x1 )2 ?12 ? 0, ( y1 ? k1x1 )2 ? 3 ? 4k12 ? 0;



??0





3 4 x12 y12 3x 3 ? ? 1. y12 ? 3 ? x12 , x12 ? 4 ? y12 ,代入得: (k1 y1 ? x1 )2 ? 0,? k1 ? ? 1 , 又 4 3 4 3 4 4 y1

x1 x y1 y ? ? 1, 当过 A( x1 , y1 ) 的切线斜率不存在时仍然符合上式, 4 3 xx y y 同 理 过 B( x2 , y2 ) 的 切 线 l2 : 2 ? 2 ? 1. 而 l1 , l2 均 过 P( x0 , y0 ) , 故 4 3 x1 x 0 y y 1 0 x2 x 0 y y 2 0 ? ? 1. ? ? 1. 4 3 4 3 xx y y 由此可得直线 AB 的方程为 0 ? 0 ? 1. 4 3
于是过 A( x1 , y1 ) 的切线 l1 :

所以 P 点到直线 AB 的距离 d ?

x0 2 y0 2 ? ?1 4 3 x0 2 y0 2 ? 16 9

?

x0 2 7 ? x0 2 ? ?1 4 3 x0 2 7 ? x0 2 ? 16 9

?

16 ? x0 2 7



而 x0 2 ?[0,7] ,所以点 P 到直线 AB 的距离的最大值和最小值分别为

4 7 3 7 , . 7 7

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