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典型例题:用放缩法证明不等式


用放缩法证明不等式
所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用 放缩法证题时要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可 以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例 1. 设 a,b 为不相等的两正数,且 a3-b3=a2-b2,求证 1<a+b< 4 。 3 证明:由题设得 a2+ab+b2=a+b,于是(a+b)2>a2+ab+b2=a+b,又 a+b>0,得 a+b> 1,又 ab< 1 (a+b)2,而(a+b)2=a+b+ab<a+b+ 1 (a+b)2,即 3 (a+b)2<a+b,所以 4 4 4 a+b< 4 ,故有 1<a+b< 4 。 3 3 例 2. 已知 a、b、c 不全为零,求证:
a2 ? ab ? b2 ? b2 ? bc ? c2 ? c2 ? ac ? a2 > 3 (a ? b ? c) 2

3 b2 > (a ? b ) ? a ? b ≥a ? b ,同理 证明:因为 a2 ? ab ? b2 ? (a ? b ) ? 4 2 2 2 2
2 2

b2 ? bc ? c2 >b ? c , c2 ? ac ? a 2 >c ? a 。 2 2

所以 a2 ? ab ? b2 ? b2 ? bc ? c2 ? c2 ? ac ? a2 > 3 (a ? b ? c)
2

二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分母同时加 上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。
+ b + c <2 。 例 3. 已知 a、b、c 为三角形的三边,求证: 1< b a ?c a?c a ?b

b a c 证明:由于 a、b、c 为正数,所以 a > , b > , c > ,所以 b?c a ?b?c a ?c a ?b?c a ?b a ?b?c

1/4

a + b + c > a b c + + =1 , 又 a, b, c 为三角形的边, 故 b+c>a, 则 a b?c a?c a+b+c a+b+c a+b+c a ?b b?c

为真分数,则 a <
b?c

2a ,同理 b < 2b , c < 2c , a ?b?c a?c a ?b?c a ?b a ?b?c

2b 2c + b + c < 2a + + ? 2. 故ba ?c a?c a ?b?c a ?b?c a ?b?c a ?b

综合得 1< a + b + c < 2 。
b?c a?c a ?b

三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例 4. 已知 n∈N*,求 1 ?
1 2 ? 1 3 ?…? 1 n <2 n 。

证明:因为
1 n

,则 1 ?

1 2

?

1 3

?

…?

<1 ? 2 ( 2 ? 1) ? 2 ( 3 ? 2 ) ? … ? 2 ( n ? n ? 1) ? 2 n ? 1< 2 n ,证毕。

例 5. 已知 n ? N * 且 a n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ?? n(n ?1) ,求证: 都成立。 证明:因为 n(n ? 1) ? n 2 ? n ,所以 a n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? 又 n(n ? 1) ?
n(n ? 1) , 2

n(n ? 1) (n ? 1) 2 对所有正整数 n ? an ? 2 2

n(n ? 1) , 2

所以 a n ?

n (n ? 1) 3 5 1? 2 2 ? 3 2n ? 1 (n ? 1) 2 ? ??? ? ? ??? ? ,综合知结论成立。 2 2 2 2 2 2 2

四. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。 例 6. 已知函数 f ( x) ?
n 2x ?1 ,证明:对于 n ? N * 且 n ? 3 都有 f ( n) ? 。 x n ?1 2 ?1
2/4

证明:由题意知
f (n) ? n 2n ? 1 n 2 1 1 2 2 n ? (2n ? 1) 又因为 n ? N * 且 ? n ? ? (1 ? n ) ? (1 ? )? ? n ? n n ?1 2 ?1 n ?1 n ? 1 n ? 1 2 ? 1 (n ? 1)(2 ? 1) , 2 ?1

n ? 3 ,所以只须证 2 n ? 2n ? 1 ,又因为
2 n ? (1 ? 1) n ? C n ? C n ? C n ? ?? C n
0 1 2 n ?1

? Cn ? 1? n ?

n

n n(n ?1) 。 ? ?? n ? 1 ? 2n ? 1 所以 f ( n ) ? n ?1 2

例 7. 已知 f (x) ? 1 ? x 2 ,求证:当 a ? b 时 f(a) ? f(b) ? a ? b 。 证明: f(a) ? f(b) ? 1 ? a 2 ? 1 ? b 2 ?
a?b a?b a?b (a ? b)a ? b a?b
a 2 ? b2 1 ? a 2 ? 1 ? b2 ? a?ba?b 1 ? a 2 ? 1 ? b2

?

?

? a ? b 证毕。

五. 换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的。 例 8. 已知 a ? b ? c ,求证
1 1 1 ? ? ? 0。 a ?b b?c c?a

证明:因为 a ? b ? c ,所以可设 a ? c ? t , b ? c ? u ( t ? u ? 0) ,所以 t ? u ? 0 则
1 1 1 1 1 1 1 1 t ?u 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,即 ? ? ? 0。 a ?b b?c c?a t ?u u t u t tu a ?b b?c c?a

例 9. 已知 a,b,c 为△ABC 的三条边,且有 a 2 ? b 2 ? c 2 ,当 n ? N * 且 n ? 3 时,求证:a n ? b n ? c n 。 证明:由于 a 2 ? b 2 ? c 2 ,可设 a=csina,b=ccosa(a 为锐角) ,因为 0 ? sina ? 1, 0 ? cosa ? 1 ,则 当 n ? 3 时, sin n a ? sin 2 a , cos n a ? cos 2 a , 所以 a n ? b n ? c n (sin n a ? cos n a) ? c n (sin 2 a ? cos2 a) ? c n 。 六. 单调函数放缩 根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解。 例 10. 已知 a,b∈R,求证
a?b 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? b



证明:构造函数 f (x) ?

x (x ? 0) ,首先判断其单调性,设 0 ? x 1 ? x 2 ,因为 1? x
3/4

f (x 1 ) ? f (x 2 ) ?

x1 x2 x1 ? x 2 ? ? ? 0 ,所以 f ?x 1 ? ? f ?x 2 ? ,所以 f ( x ) 在 [0,?? ] 上是增函数,取 1 ? x 1 1 ? x 2 (1 ? x 1 )(1 ? x 2 )

x1 ? a ? b , x 2 ? a ? b ,显然满足 0 ? x 1 ? x 2 ,

所以 f ( a ? b ) ? f (| a | ? | b |), 即
|a ? b| |a|?|b| |a| |b| |a| |b| ? ? ? ? ? 。证毕。 1? | a ? b | 1? | a | ? | b | 1? | a | ? | b | 1? | a | ? | b | 1? | a | 1? | b |

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