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2.2.2对数函数的图像和性质

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授课时间: 年级: 课题: 教 学 目 标 重 点 难 点 课时:2













备课时间: 学生姓名: 教师姓名:董老师

对数函数

对数函数的图像和性质 知识回顾:
x y ? loga x 1、指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 与对数函数

(a ? 0, a ? 1) 的图象与性质

函数 a 图

y=ax 0<a<1
y

y=logax a>1
y

0<a<1
y
x=1 y=1 a O x a 1

a>1
y
x=1 a x O 1 x

1

y=1 a

1

教 学 内 容

象 定义域 值 域 过定点 y值区域

O

1

x

O

1

(- ? ,+? ) (0,+ ? ) (0,1),即 x =0时, y=1. x<0时,y>1; x<0时 ,0<y<1; x>0时,0<y<1. x>0时, y>1. 在(- ? ,+? )内是 在(- ? ,+? )内是 减函数 增函数

(0,+ ? ) (- ? ,+? ) (1,0),即 x=1时, y=0. 0<x<1时,y>0; x>1时, y<0. 在 (0,+ ? )内是 减函数 0<x<1时,y<0; x>1时, y>0. 在 (0,+ ? )内是 增函数

单调性

x y ? loga x 2、 指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 与对数函数

(a ? 0, a ? 1) 互为反函数, y?x对 其图象关于直线

称。



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题型:对数函数的定义域和值域
【例题】 的定义域为 【例题】函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域是 。 ? 【变式练习】函数 y=lg(ax+1)的定义域为(- ,1) ,则 a=

y ? lg x ? lg(5 ? 3x)

; 。

5 【变式练习】若函数 y=lg[x2+(k+2)x+ 4 ]的定义域为 R,则 k 的取值范围是
1



【例题】函数 y=log 2 (x2-5x+17)的值域为
2

。 .

【变式练习】 y ? lg(? x ? 2 x) 的递增区间为 __________ _ ,值域为 【 变 式 练 习 】 已 知 函 数 f ( x) ? log a ( x ? 是 .

a x

? 4)(a ? 0, 且a ? 1) 的 值 域 为 R , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

题型:对数函数图像的应用
log a 2 ?1 3 ,则 a 的取值范围是

【例题】若

log2 1 x ?
【例题】
2

1 ?0 4

,则

x ? ________

【变式练习】若

loga (a 2 ? 1) ? loga 2a ? 0 ,则 a 的取值范围是 ( )
1 (0, ) 2 (B)

(A) (0,1) 【变式练习】若

1 ( ,1) (C) 2

(D) (1,??) ( (C) a ? b ? 1 (D) b ? a ? 1 )

(A) 0 ? a ? b ? 1

loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则

(B) 0 ? b ? a ? 1

【变式练习】方程 lgx?x+1=0 的实数解有______个.
2

【变式练习】 x ? ?1,2? 时,不等式 ( x ? 1) ? loga x 恒成立,则 a 的取值范围是 (A) (0,1) (B) (1,2) (C) ?1,2? (D) ? ,2? 2





?1 ? ? ? f ( x) ? 1 ? logx 3 , g ( x) ? 2 logx 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小关系。 【变式练习】已知



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题型:对数函数图像的变换
【例题】函数

y ? log2 ax ? 1(a ? 0)
1 ? (B) 2

图象的对称轴为 x ? 2 ,则 a 为 (D) ? 2





1 (A) 2

(C) 2

【例题】已知函数 f(x)= lg x ,0<a<b,且 f(a)>f(b),则 (A)ab>1 (B)ab<1 (C)ab=1 (D)(a-1)(b-1)>0 【变式练习】函数 y ? log2 ax ? 1(a ? 0) 图象的对称轴为 x ? 2 ,则 a 为









1 (C) 2 (D) ? 2 2 ? x ?1 ? m 的图象不经过第一象限,则 m 的取值范围是 【变式练习】若函数 y ? 2
(A) (B) ? (A) m ? ?2 【变式练习】已知函数 (B) m ? ?2 (C) m ? ?1 (D) m ? ?1

1 2





f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga (1 ? x)(a ? 0且a ? 1) ,

(1)讨论 f ( x) 的奇偶性与单调性;

(2)若不等式 | f ( x) |? 2 的解集为 (3)求 f ( x) 的反函数 f
?1

{x | ?

1 1 ? x ? }, 求a 2 2 的值;

( x) ;
?1

f
(4)若

?1

(1) ?

1 3 ,解关于 x 的不等式 f

( x) ? m(m ?R).



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题型:反函数的运用
【例题】函数 f(x)=

10 x 的反函数是 1 ? 10 x



【变式练习】函数 y=(

1 x 2 +1 ) +2,(x<0)的反函数为 2


x ?1

【变式练习】已知 g(x)=loga x ? 1 (a>0 且 a ? 1)在(-1,0)上有 g(x)>0,则 f(x)=a (A)在(- ? ,0)上的增函数 (C)在(- ? ,-1)上的增函数 (B)在(- ? ,0)上的减函数 (D)在(- ? ,-1)上的减函数

是(



课后练习
一、单项选择题:每题只有一个正解答案。 (1)以下四个命题中是真命题的是 ①若 log5x=3,则 x=15 ④若 log5x=-3,则 x= (A)②③
1 3

②若 log25x=
1 125

1 ,则 x=5 2

③logx 5 =0,则 x= 5

(B)①③
1 3 2 3

(C)②④

(D)③④
1 2 (D) ? a ? 或 a>1 3 3

(2)已知 loga(3a-1)恒为正数,则 a 的取值范围是 (A) a ? (B) ? a ? (C)a>1

二、填空题: (3) 3log9 (lg2?1) ? 5log25 (lg0.5?2) 等于_____________。 (4)函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 (5)函数 f (x)=
a ,则 a 的值为_____________。 2
2 2

3x ? 4 lg x ? lg x ? 2
2

的定义域为______________。

(6)定义在 R 上的奇函数 f(x), 当 x >0 时,f ( x) ? lg x ? x , 则 f(x)在定义域上的解析式为__________。 三、解答题:写出必要的步骤。 (7)解不等式 log2 ?4 x?2 ? 12? ? x ? 2 。



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(8)解关于 x 的不等式: log1 [a 2 x ? (ab) x ? 2b 2 x ? 1] <0(a>0,b>0)。
2

(9)解不等式: log 1 ( x ? x ? 2) ? log 1 ( x ?1) ?1 。
2 2 2

(10)已知二次函数 f(x)的二次项系数为负数,且对任意 x 恒有 f(2-x)=f(2+x)成立,解不等式 f [ log 1 (x2+x+
2

1 5 )]>f[ log 1 (2x2-x+ )] 。 2 8 2

(11)已知函数 f(x)=

ax 2 ? 2 x ? 1 的定义域恰为不等式 log2(x+3)+ log 1 x≤3 的解集, 且 f(x)在定义域 x 2

内单调递减,求实数 a 的取值范围。 (12)已知函数 y ? (2 ? x)(3 ? x) 的定义域为 A,函数 y=lg(k-2x-x2)的定义域为 B,若 A ? B ,求 实数 k 的取值范围。



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必修 1—2.2.2 对数函数及其性质练习 1 答案

(1)C 提示:①若 log5x=3,则 x=53≠15,①错误;
1 ②若 log25x= ,则 x= 252 =5,正确; 2
1

③若 logx 5 =0,则 x 不存在,错误; ④若 log5x=-3,则 x=5-3=
1 ,正确。 125

?0 ? a ? 1 ?a ? 1 (2)D 提示: log a ? 3a ? 1? ? 0 ? ? ,或 ? ?0 ? 3a ? 1 ? 0 ?3a ? 1 ? 1
(3)3 提示: 3log9 (lg2?1) ? 5log25 (lg0.5?2) = 9 2
2 2

1

?log9 (lg 2 ?1) 2

1

? 252

?log25 (lg 0.5? 2 ) 2

= 9log9 (1?lg 2) ? 25log25 (2?lg0.5)

=1-lg2+2-lg0.5=3-lg(2× 0.5)=3。
3 1 , 2 2 1 (5) (0, ) ? (100, ??) 10 ? lg x ? x, x ? 0 ? (6)f(x)= ? 0, x?0 ? ?? lg(? x) ? - x,x ? 0

(4)

(7)解:原不等式 ? 0 ? 4 x ?2 ? 12 ? 2 x?2 , 由 4 x ?2 ? 12 ? 2 x ?2 ? ?2 x?2 ? 3??2 x?2 ? 4? ? 0 ? 2 x?2 ? 4 ? 0 ? x≤4; 由 0 ? 4 x?2 ? 12 ,有 x ? 2 ? log4 12 ; 所以原不等式的解集是 ?2 ? log4 12 ,4?。
a a a a (8)解:原不等式 ? a2x-(ab)x-2b2x>0 ? ( ) 2 x ? ( ) x ? 2 >0 ? ( ) x >2 或 ( ) x <-1(舍去) b b b b

a 当 >1,即 a>b>0 时,x> log a 2 ; b b
a 当 =1,即 a=b>0 时,x∈Φ; b



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当 0<

a <1,即 0<a<b 时,x< log a 2 ; b b
b

综上所述,当 a>b>0,原不等式解集为{x|x> log a 2 } 当 a=b>0,x∈?;当 0<a<b,原不等式解集为{x|x< log a 2 }。
b

(9)解:原不等式变形为 log1 ( x 2 ? x ? 2) ? log1 (2 x ? 2) 。
2 2

? x 2 ? x ? 2 ? 0, ?( x ? 2)( x ? 1) ? 0, ? x ? 2, ? ? 所以,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? ? x ? 1 ? 0, ?? ? 2 ? x ? 3。 0 ? x ? 3 ? ? x2 ? x ? 2 ? 2x ? 2 ? 2 ? x ? 3x ? 0 ?

故原不等式的解集为 {x | 2 ? x ? 3} 。 (10)解:因为对任意 x,恒有 f(2-x)=f(2+x)成立,可得二次函数 f(x)的对称轴是 x=2。 1 1 1 1 5 1 1 1 ∵x2+x+ =(x+ )2+ ≥ ,2x2-x+ =2(x- )2+ ≥ 2 2 4 4 8 4 2 2 ∴ log 1 (x2+x+
2

1 1 5 1 )≤ log 1 =2, log 1 (2x2-x+ )≤ log 1 ( )=1 2 4 8 2 2 2 2

∵二次函数 f(x)的二次项系数为负数,∴在对称轴左侧 f(x)为增函数。 ∴ log 1 (x2+x+
2

1 5 )> log 1 (2x2-x+ ) 2 8 2

x2+x+

1 5 <2x2-x+ 2 8

1 x2-2x+ >0 8

x<-

4 ? 14 4 ? 14 或 x> 。 4 4 14 ? 4 4 ? 14 )∪( ,+∞)。 4 4

故不等式的解集为(-∞,

?8x ? x ? 3 3 (11)解:由 log2(x+3)+ log 1 x≤3 得 log2(x+3)≤3+log2x=log28x,∴ ? ,∴x≥ 。 7 ? x ? ?3 2
3 ax ? 2 x2 ? 1 ax1 ? 2 x1 ? 1 (ax1 x2 ? 1)(x1 ? x2 ) 设 x2>x1≥ ,f(x2)-f(x1)= 2 = 。 ? 7 x1 x2 x2 x1
2 2

∵f(x)在[

(ax1 x2 ? 1)(x1 ? x2 ) 3 ,+∞)上单调递减,∴f(x2)<f(x1),即 <0。 7 x1 x2
1 。 x1 x 2

∵x1x2>0,x1-x2<0,∴ax1x2+1>0,即 a>-



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3 9 49 49 1 由 x2>x1≥ 知 x1x2> ,∴- <- ,∴a≥- 。 7 49 9 9 x1 x 2

(12)解:由 y ? (2 ? x)(3 ? x) 可得(2+x)(3-x)≥0,即-2≤x≤3,∴A∈[-2,3]; 由 y=lg(k-2x-x2)可得 k-2x-x2>0,即 x2+2x-k<0; 构造函数 f(x)=x2+2x-k,由 A ? B 可知函数 f(x)=x2+2x-k 的图象与 x 轴的两个交点, 横坐标一个小于-2,另一个大于 3,如下图所示。

?(-2)2 ? 2 ? (-2) - k ? 0 ? k>0 ? f (-2) ? 0 从而有 ? ,即 ? ,∴k 的取值范围是 k>15。 ?? 2 ? f (3) ? 0 ?k>15 ? 3 ? 2 ? 3- k ? 0

评 价 预 习 学习管理师 家长或学生阅读签字




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