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第30讲 等比数列及其前n项和1


第30讲 等比数列及其前n项和

知识要点回顾 1.等比数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等 于同一个常数(不为零),那么这个数列叫作等比数列. an ? q(q为常数且q ? 0) an ?1

2、等比数列的通项公式
n?1 n ?m a ? q an ? 1 ? am ? q

3、等比数列的前n 项和公式

na1 ? ,q ?1 ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? an q ? ,q ?1 ? 1? q ? 1? q

4、等比中项 定义:如果在数列a与b中间插入一个数G,使a, G, b成等比 数列,那么G叫作a与b的等比中项。 ab ? G 2 或 G ? ? ab 性质推广:

1)若 ?an ? 为等比数列,且 k ? l ? m ? n(k , l , m, n ? N ? ) ,则
? 2)若?an ? 为等比数列,且 k ? l ? 2m(k , l , m ? N ) ,则

ak ? al ? am ? an

2 ak ? al ? am

5、等距离片段和性质 公比不为-1的等比数列 ?an ? 的前n项和为 S n ,则 Sn , S2n ? Sn ,
S3n ? S2n 仍成等比数列,其公比为

q

n



课前小练
1 1 1. [教材改编] 已知{an}是等比数列, a2=2, a5= , 则公比 q=________ . 2 4 2.[教材改编] 等比数列{an}的各项都是正数,若 a1=81,a5=16,则它 的前 5 项和是________ 211 .
3.[教材改编]

± 1 2+1 与 2-1 的等比中项是___________________ .

7 4. [教材改编] 已知等比数列{an}的公比 q=2, 前 n 项和为 Sn, 若 S3= , 2 63 则 S6=________ . 1 2 或1 5. 设{an}是等比数列, 其前 n 项和为 Sn, 若 S3=3a3, 则公比 q=- ______ . 2

-24 . 6.(1)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于________ -2 . (2)等比数列{a }的前 n 项和为 S , 若 S +3S =0, 则公比 q=______
n n 3 2

7.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1, S3=7,则 S5 等于________.

31 4

[总结反思] (1)与等差数列一样,求等比数列的基本量时也常运用方程 的思想方法. 从方程的观点看等比数列的通项公式和求和公 式,共有五个量 a1,n,q,an,Sn,知道其中的三个通过构 造方程(组)可求出另外两个. (2)应用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对公比 q=1 与 q≠1 的情况进行分类讨论.

例题讲解

探究点一 等比数列的基本运算
例1 A.8 (1)[2015· 泰安期末] 设正项等比数列{an}的公比 q 为 2,若 B.16 C.32 D.64

a2a10=16,则 a9 的值是( C )

(2)[2015·安徽卷] 已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9, n 2 -1 . a2a3=8,则数列{an}的前 n 项和等于________

变式训练

变式题 A.21

(1)[2015· 全国卷Ⅱ] 已知等比数列{an}满足 a1=3, ) B.42 C.63 D.84

a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7=(

a10-a12 (2)已知等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则 的值为 a6-a8
( ) A.2 B.4 C.8 D.16

[答案]

(1)B

(2)B

例题讲解

探究点三

等比数列的性质

例 3 (1)[2015· 成都外国语学校月考] 设等比数列{an}的前 S5+S10+S15 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2,则 =( B S10-S5 7 A. 2 9 B.- 2 9 C. 2 7 D.- 2 )

(2)[2015·洛阳三模] 设等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=________.

10

变式训练

变式题 (1)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12= 2e5,则 ln a1+ln a2+…+ln a20=________. (2)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=8,S8=12, 则 a13+a14+a15+a16=________.

[答案] (1)50

(2)1

第30讲

等比数列及其前n项和

思想方法

14.整体处理思想在等比数列运算中的应用

【典例】若等比数列{an}的前 n 项、前 2n 项、前 3n 项的和分 别为 Sn,S2n,S3n,求证:Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).

思路 利用等比数列前 n 项和公式求解或者把前 n 项和作为一个 整体进行证明.

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等比数列及其前n项和

学 科 能 力

证明 方法一:设此数列的公比为 q,首项为 a1. 当 q=1 时,则 Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1, ∴Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n); a1 a1 n 当 q≠1 时,则 Sn= (1-q ),S2n= (1-q2n), 1-q 1-q a1 S3n= (1-q3n), 1- q a1 2 2 2 ∴Sn +S2n = [(1-qn)2+(1-q2n)2]= 1-q a1 2 (1-qn)2(2+2qn+q2n), 1-q a1 2 又 Sn(S2n+S3n)= (1-qn)2(2+2qn+q2n), 1-q ∴Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).

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等比数列及其前n项和

方法二:根据等比数列的性质,有 S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),S3n= Sn+qnSn+q2nSn, ∴Sn2+S2n2=Sn2+[Sn(1+qn)]2=Sn2(2+2qn+q2n), Sn(S2n+S3n)=Sn2(2+2qn+q2n), ∴Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).

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等比数列及其前n项和

[ 方法解读 ]

a1 在等比数列的求和公式 Sn = (1 - qn)(q≠1) 1-q

a1 a1 中, 求和公式中的 是不变的, 所以可以考虑将 作为一个 1-q 1-q 整体,即当作一个量参与化简与运算.

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第30讲
【跟踪练习】 A.5 2 B.7

等比数列及其前n项和
(1) 已知各项均为正数的等比数列 {an} 中, ) D.4 2

a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于( C.6

7 35 (2)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3= ,S6= ,则 S9 2 2 =________.

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第30讲
[答案] (1)A

等比数列及其前n项和
147 (2) 2

[解析] (1)因为等比数列 {an}的各项均为正数,所以 a4a5a6= a1a2a3·a7a8a9= 5×10=5 2. 7 35 (2)由 S3=2,S6= 2 得,公比 q≠1,且
3 a ( 1 - q ) 7 ? 1 ? =2, 1 - q ? 3 3 ? 两式相除,得 1 + q = 5 ,即 q =4, 6 a ( 1 - q ) 35 ? 1 = , ? 2 1 - q ? a1 7 则 =-6, 1-q

易 错 易 混 透 析

a1(1-q9) a1 7 147 故 S9= = [1-(q3)3]=-6×(1-43)= 2 . 1-q 1-q
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等比数列及其前n项和

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 是一道与等比数列通项公式与求和公式有关的综合运 算题,充分体现了方程思想、基本量思想以及分类讨论思想的应用, 有利于加强对等差数列、等比数列的基本知识的理解与掌握;例 2 是 与等比数列证明有关的问题,重点在于证明方法的掌握以及变式的技 巧;例 3 是一道与数列判定有关的新概念题,有利于加强对等比数列 的理解和证明.
例 1 【配例 1 使用】[2015· 青岛二模] 设{an}是等差数列,{bn}是 各项都为正整数的等比数列,且 a1=b1=1,a13b2=50,a8+b2=a3+a4 +5. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 1 (2)若数列{dn}满足 dndn+1= -8+log2bn+1(n∈N*),且 d1=16,试求数 2 列{dn}的通项公式及其前 2n 项和 S2n.
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等比数列及其前n项和

解:(1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q,则依题意有 q>0,
? ?(1+12d)q=50, 且? ? ?(1+7d)+q=(1+2d)+(1+3d)+5,

11 ? d = ? ? 12, ?(1+12d)q=50, ?d=2, ? 即? 解得? 或? ? ? ?2d+q=6, ?q=2 ?q=25. 6 ?
? ?d=2, 由于{bn}是各项都为正整数的等比数列,∴? ? ?q=2,

从而 an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2n-1. (2)∵bn=2n-1,∴log2bn+1=n, 1 1 ∴dndn+1=2-8+n,∴dn+1dn+2=2-7+n, dn+2 1 两式相除,得 d =2. n 1 由 d1=16,d1d2=2-8+1=128,可得 d2=8,
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等比数列及其前n项和

1 ∴d1,d3,d5,…是以 d1=16 为首项,以2为公比的等比数列;d2,d4, 1 d6,…是以 d2=8 为首项,以2为公比的等比数列. 1n 2 ∴当 n 为偶数时,dn=822-1=16 2 n, 1n+1 2n 当 n 为奇数时,dn=16× - 1 = 16 2 2 2 2 2n ? 16 ? 2 ,n为偶数, 综上,dn=? ?16 2 2n,n为奇数. 2 ? ∴S2n=(d1+d3+…+d2n-1)+(d2+d4+…+d2n)= 1 1 16×1-2n 8×1-2n 1n 1n 1n + = 321 - + 161 - = 48 - 48 1 1 2 2 2. 1-2 1-2
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等比数列及其前n项和

例 2 【配例 2 使用】[2015· 广东卷改编] 设数列{an}的前 3 5 n 项和为 Sn,n∈N*.已知 a1=1,a2=2,a3=4,且当 n≥2 时, 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求 a4 的值;
? 1 ? ? ? ? (2)证明: an+1- an?为等比数列. ? 2 ? ? ?

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等比数列及其前n项和

3 5 3 解:(1)当 n=2 时,4S4+5S2=8S3+S1,即 4× 1+2+4+a4+5× 1+2= 3 5 8× 1+2+4+1, 7 解得 a4=8. (2)证明:因为 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),所以 4Sn+2-4Sn+1+Sn -Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),即 4an+2+an=4an+1(n≥2).又因为 4a3+a1 5 =4× 4+1=6=4a2,所以 4an+2+an=4an+1,所以 1 an+2-2an+1 4a -2a 4an+1-an-2an+1 2an+1-an 1 n+2 n+1 = = = = , 所 1 4an+1-2an 4an+1-2an 2(2an+1-an) 2 an+1-2an
? 1 ? ? a - 以数列 n+1 2an?是以 ? ?

1 1 a2-2a1=1 为首项,公比为2的等比数列.
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等比数列及其前n项和

例 3 【配例 2 使用】定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x), 若对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x) 为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数如 下: ①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= |x|;④f(x)=ln|x|. 其中是“保等比数列函数”的是( A.①② B.③④ C.①③ D.②④ )

[答案]

C

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等比数列及其前n项和

[解析]

f(an+1) an+12 设数列{an}的公比为 q.对于①, = a 2 =q2,是 f(an) n

f(an+1) 2an+1 常数,故①符合条件;对于②, = 2a =2an+1-an,不 f(an) n f(an+1) |an+1| 是常数,故②不符合条件;对于③, = = f(an) |an| f(an+1) ln|an+1| = |q|,是常数,故③符合条件;对于④, = ln|a | ,不 f(an) n 是常数,故④不符合条件.故选 C.

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真题再现
——[2015-2011]课标全国真题在线 1.[2015· 全国卷Ⅱ] 已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21, 则 a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84

[答案]

B

[解析] 由 a1=3,得 a1+a3+a5=3(1+q2+q4)=21,所以 1+q2+ q4=7,即(q2+3)(q2-2)=0,解得 q2=2,所以 a3+a5+a7=(a1+a3 +a5)q2=21× 2=42,故选 B.

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2.[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( ) 1 1 1 1 A.3 B.-3 C.9 D.-9

[答案]

C

[解析] S3=a2+10a1?a1+a2+a3=a2+10a1?a3=9a1?q2=9,a5 a3 1 2 =9?a3q =9?a3=1?a1=q2=9,故选 C.

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——2015 年其他省份类似高考真题 1. [2015· 安徽卷] 已知数列{an}是递增的等比数列, a1+a4=9, a2a3 =8,则数列{an}的前 n 项和等于________.

[答案] 2n-1
[解析] 设数列{an}的公比为 q,由 a2a3=a1a4=8,a1+a4=9 知 a1,a4 是一元二次方程 x2-9x+8=0 的两根,解此方程得 x =1 或 x=8.又数列{an}递增,因此 a1=1,a4=a1q3=8,解得 1×(1-2n) n q=2,故数列{an}的前 n 项和 Sn= =2 -1. 1-2

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2.[2015· 湖南卷] 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列,则 an=________.

[答案] 3n

-1

[解析] 设等比数列{an}的公比为 q.由 3S1, 2S2, S3 成等差数列, 得 4S2=3S1+S3,即 3S2-3S1=S3-S2,所以 3a2=a3,得公比 q=3,所以 an=a1qn-1=3n-1.

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