当前位置:首页 >> 数学 >> 动点的轨迹方程的求法

动点的轨迹方程的求法


维普资讯 http://www.cqvip.com

解 题方 法与技 巧★ 

动 点的 轨 迹 方 程 的 求 法 
河北唐 山丰润 区第二 中学( 0 6 3 0 0 0 ) 杨雅 娟 
动点的轨迹问题是解 析几何中的一类重要 问题 ,   求动点 的轨迹和圆锥 曲线 的定 义和性 质有 密切 的联  系, 另外 在求 轨迹 时经常采 用 的方法有 直接 法 、 定 义  法、 相关 动点法 、 参数法 、 待定系数法 、 交 轨法 、 几何 法  等等.   直接法 : 直接法是求轨迹方程最基本的方法 ,   如果题 目中的条件有明显的等量关系 , 或者可 以利 用  平面几何 的知识 推 出等 量关 系 , 通 过 建立 z 、 Y之 间  的关系 , 化 简构成 F( x,  ) =O即是.   【 例 1 】 等腰 三角形 的 顶点是 A( 4 , 2 ) , 底边 一  个端 B( 3 , 5 ) 点, 求另一个端点 C的轨迹方程 , 并说 明 


P( z,  ) 的 轨迹 方 程 .   【 例 3 】   如 图, 已 知 P( 4 ,   O ) 是圆 z   +  一3 6内 的一点 ,  

A、 B 是圆上 两动点, 且 满 足  APB 一9 O 。 , 求矩形 AP B Q 的 
顶 点 Q 的轨 迹 方 程 .   分析 : 动点 Q与 A、 B两点 的变化有关 , 由圆的弦  的性质知 点 Q 与 AB 中点 R 有关 , 因此可 先求 出 R   点的轨迹方程 , 再转化为点 Q的轨迹方程.   解: 设 AB的 中点 为 R( z,  ) , 则在 R t AA R O 中  J A R   J  一l A0l  一 l O Rj  一3 6 一(   +  ) ,  



它的轨迹是什么?   解: 设另一点 C的坐标 为 ( z,  ) , 依题 意有:   l ABl — l  AC   l ,由 两 点 间 的 距 离 公 式 得 :  
( z 一4 )   +( y -2 )   一 ̄ / ( 3 —4 )   +( 5 —2 )   .  

又l A Rl —l P Rl 一  ( z 一4 )   +  ,   有 3 6 一( z   一  ) =( z 一4 )   +  , 即z   +  -4 x  


1 0= 0 .  

化简整理得 : (  ~4 )   +(  一2 )   一1 0 .   这 是 以 A、 B、 C为 三 角 形 的 三 个 顶 点 , 所 以 A、 B、   c三点不共 线 , 即 B、 c不能重合 , 所以 c点 的横坐 标  z ≠3 , 又 因为点 B、 C不 能 为 直径 的 两个 端 点 , 所 以 


因此点 R在一个圆上 , 而 当 R 在此 圆上 时 , Q点  即在所 求 的轨迹上 运 动. 设 Q( z,  ) , R( x l , y 1 ) 由 R 
J r  


T g l 一下

4 +z  

,  

为P Q 中点 , 所 以 

代入 方程 z   +  一4 x  

J一 0  

I   t 一 号 ?  


≠4 , 点 c的横坐标 z ≠5 , 故另一 端点 c的轨迹 
方程为 :  
( z一4 )  + (  一2 )  一1 0 ( x: g : : 3且 z≠ 5 ) .  

i 0 = 0 得( 半 )   + (  )   - 4 ? 4 . t   x — 1 0 = 0 .  
整理得 z   +  一5 6 , 即点 Q 的轨迹 方程为 z   + 
=5 6 .  

二、 定义法 : 若 动点 的轨 迹 的条件 符合某 一基本  轨迹的定义, 如圆 、 椭 圆、 双曲线 、 抛物线 的定 义 , 则可  以直接根据 定义求 出动点 的轨迹方 程.   【 例2 】 已知 两 个 定 圆 01   和( ) 2 , 它们 的半 径分别 是 1和  2 , 且l ( ) 2   0 1   l 一4 , 动 圆 M 与 圆  0t 内切 , 又与 圆 ( ) 2外切 , 建立  适当的坐标系 , 求 动 圆心 M 的 
轨 迹方程 , 并说明轨迹是何种曲线.   分析 : 如图, 以 01 ( ) 2的中点 0为原 点 , 01 ( ) 2所  在的直线为 z轴建立平面直角坐标系. 设 动圆的半径  为r , 由动 圆 M 与圆 0t内切 , 有l M  l —l   r 一1   l ; 由  动圆 M 与圆 0z 外切 , 有l MO2   l =r +1 .   . . . 1   l +l MO2   l 一3或 l MO2   l —l M( ) 1   l 一3 .   . . 1   0 1 ( ) 2   l 一4 , .   . 1 M  l +l MO2   l >4 .   j MO 2   j ~j M( ) 1   l 一3 . 故 M 的轨 迹是 以 0t 、 O 2   为焦点 , 实轴长为 3的双曲线的左支 ,  
. . .  ‘

注: 在某些较复杂 的探求 轨迹 的过程 中, 可 先确  定 一个较 易于求得 的点 的轨迹方程 , 再 以此点作为主  动点 , 所求的轨迹上的点为相关点 , 求得轨迹方程.   四、 参数法 : 若所 求 的轨迹上 的动点 随着某 参数  的变化而变化 , 则可先将动点的坐标 厶 Y分别用参数  形 表示 , 再消去参数便可求得 厶 Y间的关 系.   【 例4 】 设点 A 和 B 为抛物线 Y   一4 p x( p >O )   上原点 以外 的两动点 , 已知 O A上OB, 0M上AB, 求动  点 M 的轨迹方程 , 并说明它们表示什么曲线.   分析: 由 O A上 OB, 可 知  O A 的斜 率 k为 参 数 , 确定 A   和B 的坐标 , 定 出 AB 的 方 程 ,   又 0M上AB, 可得 oM  解: 设 O A 的 方 程 为 Y一 
1  

k x , 则O B的方程为Y 一一÷z .  



号 ,   . 5 2   C 2 - a 2 一   .  

由 (  
得 出 A(   ,  

, 
 ̄ E

‘ . .

点M 的轨迹方程为兰   一等 一1 ( z <o ) .  

三、 相关动点法 : 如果轨迹上 的点 P ( x,  ) 依赖 于  另一动点 Q( x   , Y   ) , 而 Q( x   , Y   ) 又在某 已知 曲线 上 ,   则可以列出关 于 z, Y及 z   ,   的方程组 , 利用 z , Y表  示出 z   , Y   , 把z   ,  代入 已知曲线 的方程便得 到动 点 



k  X’ 得 

或 \ x 2  


k   2, = 4p


I 、 I 2   =4   p z     I

4 t y l —u ;   I   一一 4   ’  


得出

维普资讯 http://www.cqvip.com

★解题 方法与 技巧 
B( 4 p k 。 , -4 pk ) .  
O ) .  

所 以直 线 A B 的斜 率 为 志 A B 一 
』 

, 直线 O M 的 

1一

L 2  

斜率为志   一半

.  
L 

六、 交轨法 : 求两 动曲线交点 的轨迹时 , 可 由方程  直接消去参数 , 如求两 动直线 的交点 轨迹 时, 解 出两  直线交点坐标 , 寻找交点横坐标之间的关系.   【 例 6 】 如 图, F- 、 F 2 是 双 

所 以 直 线 AB 的 方 程 为 Y+ 4 p k= 
4 p k 。 ) .  
L 

(  一  

曲 线 等 一   一 1 的 两 个 焦 点 ,  
垂直于  轴 的直线交双 曲线于  P、 Q两点 , 求 直线 PF l 和 QF 2   的交点 M 的轨迹方程 , 并说 明是什么曲线.   分析 : M 是 动直 线 PF- 和 Q F 2的交 点 , 用交 轨  迹法.   解: 设点 P的坐标 为( x o , y o ) 则 Q( x o , 一  ) ,   直线 P F- 的方 程 :  
=  (  +2 ) . ① 

即  = 一 

( x -4 p ) . ① 
L2—— 1  

直线 O M 的直 线 方 程 为  一  

.   ② 

动点 M 的坐标 (  ,  ) 满足① 、 ②, 由① ×② 得 
一  

( 4 户一 ) .  

所 以求动点 M 的轨 迹方 程 为 (  一2 p ) 。 +  =  
4 p 。 ( xv e 0 ) .  

轨迹 以( 2 p , O ) 为圆心 , 2 p为半 径圆, 去掉原点.   五、 待定系法 : 待定系数法用于 已知轨迹是直线 、   圆、 椭圆、 双曲线 、 抛物线的方程.   【 例 5 】 如 图, 直线 £ - 和£ 2 相交 于点 M , £   上£   ,   点 N∈£   , 以 A、 B为端 点的 曲线段 C上 的任一点 到  £ 。的距离一到点 N的距离相等 , 若△ 4 ^   N锐角三角 

直线 Q F 2的方 程 :   =。   ; (  一2 ) . ② 

由 ①② 联 立解 得  

f 勘 一  ,  

形, l A Ml =v 厂  , l AMl 一3且 I A Ml 一6 , 建立适 当 的  坐标 系, 求曲线段 C的方程.   解: 如图所示建 立坐标系 ,  
以£ 。 为  轴 , M N 的 垂 直 平 分 

I   一   ?  

将 上 面 结 果 代 入 誓 一   = 1 得 专 ?  一  一  
1 , 即  + 4  一   .  

线 为y轴 , 点 0为坐标原点 , 依  题意知 : 曲线段 C是 以点 N 为 2  
焦点 , 以£ z 为准线 的抛物线 的  段, 其中 A、 B分 别为 C 的端 点 , 设 曲线段 的方 程 


为:  
y 。 =2 p x ( p  ̄O ) ( x A ≤  ≤如 ,  > O ) ,  

其中X A 、  e分别为A、 B的横坐标 , 户 一I AM 1 .  

所以M ( 一 等, o ) 、 N ( 等, o ) , 由l   A Ml —v 厂  ,  
l AM l 一3 , 得  ( x A +  ) 。 d - 2 p x A =1 7 , ① 

所以轨迹是中心在( O , O ) , 焦点在轴  上的椭 圆.   七、 几何法 : 利用 平 面几何或 解析几 何 的知 识分  析图形性质 , 发现动点 运动规 律 和动 点满 足的条件 ,   然后得出动点的轨迹 方程.   【 例7 】 在直角坐标平 面内 , 已知两点 A( 一2 , O )   及 B( 2 , O ) , 动点 Q到点 A 的距离为 6 , 线段 B Q的垂  直平分线交 A Q 于点 P, 证明 :   1 P A1 +1   P B1 为常数 ,   并写出点 P的轨迹 丁 的方程.   证 明: 连结 P B, 所 以线段  B Q的垂 直 平分 线 与 AQ 交 于 
点 P.   所 以l P Bl —l P Q1 .  

( X A - -  ̄ 2 - ) 。 + 2 p   一 9 .②  
由① 和②两式联立 解得 “ 一  4
户 >O 解得 :  


又l AQl =6 ,  

代 入 ① 式 并 由  数 ) . I P A 。 + 。 P B 。 一   P A 。 + 。 P   Q 。 : 。 A   Q 。 一 。   常  
又l P Al +l   P Bl >l ABl , 从而 P点的轨迹 丁是 

{  
r 户一 2 ,  

.  

中心在原点 , 以 A、 B为两个焦点 , 长轴在  轴上的椭 
圆, 其中 2 a 一6 , 2 c =4 ,  


因为△ 4 ^ 孙  锐角三 角形 , 所 以  >“ , 故 舍去 

2  

.  

所以椭圆的方程为   +÷ 一1 .  
J 

1   一2 ,  
所 以  一 ’由点 B 在 曲线 c上 , 得  一 I   BN/  
  1 XA 一 1 1 .  
一 -

求动点轨迹 方程时 , 方法 不是单 一 的, 有 的题 目  

是几种方法结合在一起 的应用. 在求 曲线方 程时 , 一 
定要注意它的完 备性 和纯粹性 , 即轨迹 是曲线 的一部  分, 应对 方程 注明 的取值 范围 , 或 同时注明 、 Y的取 
值范围.  

P -=   4
. 

综上 , 曲线段 C的方 程为 Y 。 一8 x ( 1 ≤ ≤ 4 ,  > 
3 6  


更多相关文档:

求动点的轨迹方程常用的四种方法_图文.ppt

动点的轨迹方程常用的四种方法 - 求动点的轨迹方程常用的四种方法 求动点的轨迹方程常用的四种方法 一、直接法 二、定义法 三、代入法 四、参数法 一、直接法...

求动点轨迹方程的常用方法_图文.ppt

求动点轨迹方程的常用方法 - 例1 :已知圆C的方程为 : ( x - 1) 2 ? y 2 ? 1, 过原点O作任一弦OA, 求弦OA的中点M的轨迹方程. y A M O C(1...

高考动点轨迹方程几种经典求法(可直接打印).doc

高考动点轨迹方程几种经典求法(可直接打印)_高考_高中教育_教育专区。高考动点轨迹方程几种经典求法(可直接打印),适用于高三学生。...

轨迹方程的五种求法例题.doc

轨迹方程的五种求法例题 - 动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简 整理,主要用于动点具有...

动点的轨迹方程的常见求法_图文.pdf

动点的轨迹方程的常见求法 - 福建 中学数学 2016 年第 12期 根据 题

动点的轨迹方程的求法_图文.pdf

动点的轨迹方程的求法 - 维普资讯 http://www.cqvip.com 解 题方 法与技 巧★ 动 点的 轨迹方程的求法 河北唐 山丰润 区第二 中学( 0630...

《求动点的轨迹方程的方法》_图文.ppt

《求动点的轨迹方程的方法》 - 怎样求动点的轨迹方程 课前预习: ? 1.已知向

轨迹方程的求法.doc

轨迹方程的求法 - 轨迹方程的求法 复习回顾 求动点轨迹方程的基本步骤是什么? (1)建系: 建立直角坐标系; (2)设点: 设所求动点 P(x,y); (3)列式: ...

平面动点的轨迹方程的几种求法_图文.pdf

平面动点的轨迹方程的几种求法 - 第2卷第 3期 720年609月 凯里学院学报

动点轨迹方程的常见求法.doc

动点轨迹方程的常见求法 - 动点轨迹方程的常见求法 湖南省临澧县第一中学 朱福文 胡鸥 415200 一、待定系数法; 待定系数法; 它常常适用于动点轨迹的曲线类型...

动点轨迹方程的求法(较全面)学案.doc

动点轨迹方程的求法(较全面)学案 - 动点轨迹方程的求法 1.“曲线的方程”和“

动点轨迹方程的求法.doc

动点轨迹方程的求法 - 学科:奥数 教学内容:动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简 整理,...

求动点轨迹方程的常用方法_图文.ppt

求动点轨迹方程的常用方法 - 求动点轨迹方程的 常用方法 例1 :已知圆C的方程

第十六讲:动点轨迹方程的求法.doc

第十六讲:动点轨迹方程的求法一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简 整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显...

怎样求动点的轨迹方程_图文.ppt

怎样求动点的轨迹方程 - 怎样求动点 的轨迹方程 复习目标: ? 1.在一轮复习的基础上,进一步 掌握和熟练运用求轨迹方程的常 用方法。 ? 2.培养思维的灵活性和...

轨迹方程的求法_图文.ppt

轨迹方程的求法 - 轨迹方程的最强总结!!!... 的顶点的轨迹方 程是 y=2x, ?1 ? x ? 1 。 交轨法 ? 若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线 的方程直接...

轨迹方程的求法.doc

轨迹方程的求法 - 本资料从网上收集整理 难点 22 轨迹方程的求法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 .求符合某种条件的动点的轨迹方 程,其实质就...

动点轨迹方程的求法.doc

动点轨迹方程的求法 - 动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简 整理,主要用于动点具有的...

最新高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案).doc

最新高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案) - 轨迹方程的经典求法 轨迹方程的经典求法 一、定义法:运用有关曲线的定义求轨迹方程. 例 2:在△ABC 中, ...

高中数学 点的轨迹方程的求法_图文.ppt

高中数学 点的轨迹方程的求法 - 数学高考专题复习 圆锥曲线回顾 例1:已知ΔA

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com