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河北省邢台一中2012-2013学年高一下学期第二次月考数学理试题


邢台一中 2012——2013 学年下学期第二次月考 高一年级理科数学试题
第 ? 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 f ( x ) 由右表定义: 若 a0 ? 5 , an?1 ? f (an ) , n ? 0,1, 2,? ,则

x
f ( x)

2 1

5
2

3

1 4

4

a2013 ? ( )
A.5 2.不等式 B.2 C.1 D.4

3

5

1? x ? 0 的解集为( ) 2x ?1 1 1 1 A. ( ? ,1] B. [ ? ,1] C. (??, ? ) ? [1, ??) 2 2 2

D. (??, ? ] ? [1, ??) )

1 2

3.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 。已知 8b ? 5c ,C ? 2 B ,则 cos C ? (

7 7 7 24 B. ? C. ? D. 25 25 25 25 AB BC 4.在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 依次成等差数列, ? 8 , ? 5 , ?ABC 外接圆的面积为 则 ( 49? 47? A. B. 16? C. D. 15? 3 3
A. 5.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a5 ? 8 , S3 ? 6 ,则 S10 ? S7 的值是( A.24 B.48 C.60 D.72 ) )



6. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a2 ? a3 ? 3 , a4 ? a5 ? a6 ? 6 ,则 S12 ? ( A.15 B.30 C.45 D.60

7.一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ) 1 A.1 C. B.

3 4

1 2 3 D. 2

正视图 1 1

侧视图

1 a b A 8. ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , ? 80 , ? 100 , ? 30? , 则此三角形 ( A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形俯视图 C.一定是钝角三角形 D.可能是钝角三角形,也可能是锐角三角形 9.下列不等式中一定成立的是( ) A. lg( x ? ) ? lg x ( x ? 0)
2



1 4

B. sin x ? D.

1 ? 2 ( x ? k? , k ? Z ) sin x

2 C. x ? 1 ? 2 x ( x ? R)

1 ? 1 ( x ? R) x ?1
2

10.设 a 、 b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列正确的个数为:( ) ①若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 b // ? ;②若 a // ? , a ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? 或 a ? ? ;④若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? A.1 B.2 C.3 D.4
2

11.若 a ? b ? 0 ,则代数式 a ?

1 的最小值为( b( a ? b )



A.2 B.3 C.4 D.5 12.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 3 , BC ? 2 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为( ) A. 51 B. 3 51 C. 2 51 D. 6 51

第 ?? 卷(选择题共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 已 知 ?ABC 的 三 边 长 为 a, b, c , 内 切 圆 半 径 为 r ( 用 S?ABC 表 示 ?ABC 的 面 积 ) , 则

S ?ABC ?

1 r (a ? b ? c) ;类比这一结论有:若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R ,则三棱锥体 2

积 V A?BCD ? ___________________________. 14. 设 函 数 f ( x) ?

1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 2 ? 2
x

f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? ? ? f (5) ? f (6) 的值



15. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师, 单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形, 如图为一 组蜂巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢, 按此规律,以 f (n) 表示第 n 幅图的蜂巢总数.则

f (4) =______; f (n) =_________________.

16.在 ?ABC 中,若 B ?

?
3

, AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC ? 的最大值为__________.

三、解答题(17 题 10 分,其它每题 12 分,共 70 分,请在答题纸上写出必要的解题步骤与解答 过程) 17.(本题共 10 分) 解关于 x 不等式: ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 (a ? R)
2

18.(本题共 12 分) 已 知 等 比 数 列

?an ?

中 , a1 ? 2 , a3 ? 18 , 等 差 数 列

?bn ?

中 , b1 ? 2 , 且

a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 20 。
(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ;(2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。

19.(本题共 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 。已知 a ? 3 , B ? (1) ?ABC 的周长; (2) sin 2 A 的值。 20.(本题共 12 分) 如图,在多面体 ABCDEFG 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,平面 ABG 平面 ADF ,平面 CDE 都与平面 ABCD 垂直,且 ?ABG 、 ?ADF 、 ?CDE 都是 正三角形。 (1)求证: AC // FE ; (2)求多面体 ABCDEFG 的体积。 21.(本题共 12 分) 已知不等式 mx ? 2 x ? m ? 1 ? 0 ,
2

?
3

, S?ABC ? 6 3 。求:

F

G

E

A

D

(1)若对所有的实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足 m ? 2 的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围。 22.(本题共 12 分) 如图,在多面体 ABC ? A1B1C1 中,四边形 A ABB1 1 是正方形, AB ? AC , BC ? 且 B1C1 ?

B

C

A1 C1

B1

2 AB , B1C1 // BC

1 BC ,二面角 A1 ? AB ? C 是直二面角 2
A

(1)求证: A1B1 ? 平面 AAC ; 1 (2)求证: AB1 // 平面 AC1C 。 1

B

邢台一中 2012——2013 学年下学期第二次月考(答案) 高一年级理科数学试题

C

命题人:刘海波 第 ? 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) BCAAB CBCCD CA 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 R ( S ?ABC ? S ?ABD ? S ?ACD ? S ?BCD 3

?

14. 3 2 16. 2 7

15. f (4) ? 37

f (n) ? 3n2 ? 3n ? 1

三、解答题(17 题 10 分,其它每题 12 分,共 70 分,请在答题纸上写出必要的解题步骤与解答 过程) 17.解: (ax ? 1)( x ? 1) ? 0

1 a 1 1 当 0 ? a ? 1 时, (1, ) ;当 a ? 1 时, ? ;当 a ? 1 时, ( ,1) a a
当 a ? 0 时, (??, ) ? (1, ??) ;当 a ? 0 时, (1, ??) 18. 解 : ( 1 ) 设 数 列 ?an ? 的 公 比 为 q 。 因 为 等 比 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 2 , a3 ? 18 , 所 以

a22 ? a1a3 ? 36 , a2 ? ?6 。
又因为 a1 ? a2 ? a3 ? 20 ,所以 a2 ? 6 ,故 q ? 3 ,所以 an ? 2? n?1 3 (2) 设数列 ?bn ? 的公差为 d , b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 4b1 ? 6d ? 26 , 1 ? 2 , 则 所以 d ? 3 。 n ? 3n ? 1 b b 所以 S n ?

3n 2 ? n 2

19.解:(1)? S?ABC ? 6 3

1 1 3 ? ac sin B ? ? 3 ? c ? 6 3 。? c ? 8 2 2 2
由余弦定理得, b ? a ? c ? 2ac cos B ? 49 ,? b ? 7
2 2 2

? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 18
(2)由正弦定理得,

a b 3 3 ? ,? sin A ? sin A sin B 14 13 14

? a ? b,? A ? B ,即 A 为锐角。? cos A ?

? sin 2 A ?

39 3 98
F

20.解:(1)如图,分别取 AD, CD 的中点

G

E

P, Q ,连接 FP, EQ, PQ
因为 ?ABG 、 ?ADF 、 ?CDE 都是边长 为 2 的正三角形 所以 FP ? AD, EQ ? CD ,且

A

P

D

FP ? EQ ? 3

Q
B

C

又因为平面 ADF ,平面 CDE 都与平面 ABCD 垂直 所以 FP ? 平面 ABCD , EQ ? 平面 ABCD 所以 FP // EQ ,且 FP ? EQ 所以四边形 EQPF 是平行四边形 所以 EF // PQ 。因为 PQ 是 ?ACD 的中位线,所以 PQ // AC 所以 EF // AC (2) VABCDEFG ? VABG ? DCE ? VF ? ADEG ? 2 3 ?

2 3 8 3 ? 3 3

21.解:(1)当 m ? 0 时, ?2 x ? 1 ? 0 ,不恒成立 当 m ? 0 时,设 f ( x) ? mx ? 2x ? m ? 1 ,
2

不等式 mx ? 2 x ? m ? 1 ? 0 , 若对所有的实数 x 不等式恒成立, 即二次函数 y ? f ( x) 图象全在 x
2

轴的下方 所以 m ? 0 ,且 ? ? 4 ? 4m(1 ? m) ? 0 ,无解 综上,不存在这样的 m ,使不等式 mx ? 2 x ? m ? 1 ? 0 ,若对所有的实数 x 不等式恒成立
2

(2)设 f (m) ? ( x ?1)m ? (1 ? 2 x)
2

??2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? f (?2) ? 0 ,即 ? ? 2 ? f (2) ? 0 ? 2x ? 2x ?1 ? 0

? ?1 ? 7 ?1 ? 7 或x ? ?x ? ?1 ? 7 1? 3 ? 2 2 解得: ? ,所以 ?x? 2 2 ? 1? 3 ? x ? 1? 3 ? ? 2 2
综上, x 的取值范围是 {x

?1 ? 7 1? 3 ?x? } 2 2

22.证明:(1)因为 AB ? AC , BC ?

2 AB

A1 C1

B1

2 2 2 所以 AB ? AC ? BC ,所以 AB ? AC 。

又因为四边形 A ABB1 是正方形,所以 AB ? AA 。 1 1 又因为 AA1 ? AC ? A ,所以 AB ? 平面 AAC 。 1 易知 AB // A B1 1 所以 A1B1 ? 平面 AAC 1

A D

B

C
(2)取 BC 的中点 D ,连接 AD, B1D, C1D 因为 B1C1 // BC 且 B1C1 ?

1 BC 2

所以 B1C1DB 是平行四边形,故 C1D1 // B1B ,且 C1D1 ? B1B 又 A1 A // B1B 且 A1 A ? B1B ,所以 A1 A // C1D ,且 A1 A ? C1D 所以 A ADC1 是平行四边形 1 所以 AC1 // AD ,所以 AD // 平面 AC1C 1 1 同理 B1D // 平面 AC1C 1 又因为 B1D ? AD ? D ,所以平面 ADB1 // 平面 AC1C 1 所以 AB1 // 平面 AC1C 1

A1 C1

B1

A D

B

C


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