当前位置:首页 >> 数学 >> 专题十一 三角函数式的化简与求值

专题十一 三角函数式的化简与求值


综合复习
知识网络

专题十一

三角函数式的化简与求值

一、高考考点 1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”;运用同角公式的“灵活”:正 用、反用、变用。 2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用:正用、反用;有关公式的联合运用,主要应用于无附 加条件的三角式的化简或求值(以选择题、填空题为主);带有附加条件的三角式的求值问题(以解答 题为主);比较简单的三角恒等式的证明(多为解答题,不同某一小题)。 3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。 二、知识要点 (一)三角函数坐标定义的推论 1、三角函数值的符号 2、特殊角的三角函数值 3、同角三角函数的基本关系式(同角公式)

(1)课本中的公式: (2)同角公式“全家福” ①平方关系: .

②商数关系:
1

.

③倒数关系: 4、 诱导公式: (1)认知与记忆:对使三角函数有定义的任意角 ① k· 360° + 值,等于 ② 90° ± (k∈Z),- ,270° ± ,180° ± ,360° - (共性:偶数× 90° ± 形式)的三角函数 的同名函数值,前面放上一个把 (共性:奇数× 90° ± 看作锐角时原函数值的符号; )的三角函数值,等于 的相应余函数值,前面放

上一个把 看作锐角时原函数值的符号。 ①②两类诱导公式的记忆:奇变偶不变,符号看象限。 (2)诱导公式的引申 ; . (二)两角和与差的三角函数 1、两角和的三角函数 两角差的三角函数 ;





2、倍角公式 ; = = ;

3、倍角公式的推论

推论 1(降幂公式):





.

推论 2(万能公式):



.

推论 3(半角公式):


2



.

其中根号的符号由

所在的象限决定.

三、经典例题 例 1、填空: (1)已知 的取值范围为

(2)已知 分析:(1)从已知条件分析与转化入手

的取值范围为

① 又 ②

∴由①、②得 (2)首先致力于左右两边的靠拢:

左边=



右边=



∴由左边=右边得



点评:解本题,极易出现的错解是由①、②得 这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.



例 2.化简或求值:(1)

(2)

分析: (1)注意到分母为单一的非特殊角的余弦,需设法在分子变换出 cos20° .为此,将 10° 变为 30° -20° 后运用差角公式。 (2)对于含有清一色的两切值的三角式,除用 “切化弦”外 ,运用有关正切(或余切)的公式,常 常会收到良好的效果.

解:(1)原式= (2)解法一(利用关于正切的倍角公式):
3

注意到



∴原式=







=cot20°

解法二(利用掌握的典型关系式): 注意到 ∴原式= = =cot20° 点评:根据所用公式的特证,解法一从后向前变,解法二则从前向后推,这种灵活性值得借鉴.此外, 在(1)中将 10° 变为特殊角 30° 与相关角 20° 的差,从角的这一关系式入手突破,是求解成功的关键. = (证明从略)

例 3.(1) 的值;

,求

(2)已知 分析: 对于(1)注意到已知式的复杂性,考虑从化简与认识“已知”切入,以明确未知目标的变形方向; 对于(2),注意到目标与已知的不甚亲密,考虑从认知和变形目标切入, 以准确已知的延伸方向. 解:(1)由已知得



注意到

∴由已知得

(至此,目标的变形方向明确)

于是有,原式=



(2)由已知得

原式=



4



① (至此寻求的目标明确)

又∵ ∴ ②



于是②代入①得,原式=

.

点评:(1)从化简认知“已知”切入,(2)从化简认识“目标”切入,具体情况具体分析,很好地体现 了解题的灵活性.

例 4.(1)已知

(2)已知 (3)已知 (4)已知 分析:已知某一个(或两个)角的三角函数值,求另一个相关角的三角函数值,基本的解题策略是 从“角的关系式”入手切入或突破.上述角的关系主要有互余(或互补)关系,和差(为特殊角)关系,倍 半关系等.对于比较复杂的问题,则需要两种关系的混合运用.

解:(1)注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式: 倍半的综合关系)

(和差与

















5

∴将②③代入①得 (2)注意到这里有关各角的关系式:

(和差与倍半的综合关系) ∴



















∴将②③代入①得

于是有

.

(3)注意到这里有关各角之间的关系式



















∴将②③代入①得 (4)解法一(从寻找两角 与 的联系切入):
6



由已知得:











此时注意到



内单调递增.

∴由①②③得



于是得

.

解法二(从已知式的化简切入) 由已知得







∴由④得



于是再由 点评:

及⑤得

.

对于(1)(2),侧重和差与倍半关系导出有关角的等量关系; 对于(3),侧重特殊角来建立有关各角的关系式; 对于(4),既展示了三角条件求值的一般途径:已知三角函数值 示了三角条件求值的特殊途径:已知三角函数值 有关角的量值 未知三角函数值;又展 未知三角函数值

例 5、(1)设

(2)设 分析:(1)注意到未知式的复杂,考虑从化简和认知目标切入,以明确已知条件的延伸方向:

原式=

,故解题从求

突破.

(2)在分析与变形目标中发现上,下面两式的联系:

7

原式=

,故解题从求

突破.

解:(1)原式=







∴由













于是将②③④代入①得

原式=

(2)原式=







∴由





⑥ 注意到



∴将⑥⑦代入⑤得,原式= 点评:(1)(2)两题的条件与目标相似,此时解题可谓 “仁者见仁,智者见智”,不同的关注点, 引出不同的切入点和突破口. 例 6、

(1) 已知





(2)已知

(3)已知
8

分析:不同的矛盾需用不同的方法来解决.

对于(1)着眼于目标

,故从求

切入;

对于(2)着眼于目标 切入与突破; 对 于 ( 3 ) , 由 已 知 导 出

,故从求

的 函 数 值 , 方 向 不 明 , 此 时 注 意 到 ,故转而考虑从寻觅 的方程与求解

入手.

解:(1)∵

, ①



则①2+②2 得







此时注意到①中



故得

④ 于是由③④得

因此有

点 评 1 : 本 题 容 易 引 发 的 错 解 为 由 ③ 得

, 因 而 有

,错解的根源在于解题中仅利用已知数据的绝对值,而未能利用已知数据的符 号.事实上,三角条件求值的特色之一,是在求解过程中常常将已知数据的绝对值(或本身)与已知数据 的符号分开(或重复)使用.本例的解答便是这一“分开使用”的示范.

(2)






9



∴②2+③2 得





又③2-②2 得



∴④代入⑤得



于是将④⑤代入①得,原式=

(3)由





又由



∴将①②联立方程组,解得



点评 2:求解(2)(3)的共同之处,是首先认知目标,而后有的放矢地去求索,认知目标以明确寻 求的方向,此为条件求值的基本原则;不过,当目标有不同的“面孔”时,需仔细斟酌与选择追求的对象. 四、高考真题 (一)选择题

1、(2005 江苏卷)若

B.

C.

D.

分析:由


10

2、(2005 浙江卷)已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( A. 1 B. -1 C. 2k+1

) D. –2k+1

分析:y=2cos2x+kcosx-k-1=2(cosx+

)2-(



∵k<-4,

∴-

>1

又-1≤cosx≤1

∴当 cosx=1 时,y 取最小值 1,故选 A.

(二)填空题

1、(2005 全国卷 II )设 分析:注意到已知条件中的角与目标中的角之间的联系

由已知得













为第四象限角

∴由②得



于是由①③得,

(三)解答题 1、 (2005 广东) 化简 并求函数 f(x)的值域和最小正周期. 分析:欲求 f(x)的值域和最小正周期,第一选择是将 f(x)化为 的形式. ,

解:





= =4cos2x 即 f(x)=4cos2x(x∈R)





11

∴f(x)的最小正周期 T=



又-1≤cos2x≤1(x∈R)

∴f(x)的值域[-4,4]。

点评:本题从考查三角函数的诱导公式、和(差)角公式、以及三角函数的周期和值域切入,重点 考查 f(x)向一般形式的化归和转化能力.

2、(2005 浙江卷)已知函数 f(x)=

(1)求

的值;(2)设 的形式为上策.

分析:便于计算或化简,在可能的情况下,以首先将 f(x)化为

解:运用倍角公式得





(1)





=0

(2)









∵ 点评:若 f(x)是形如 将 f(x)化为



∴ 的 sinx,cosx 的二次齐次式,则一般要 的形式后求解.

3、(2005 福建卷)已知

(1)求 分析:已知 一是“配对”解法,即先求

的值;(2)求

的值.

的值,要求 sinx,cosx 或可用 sinx,cosx 表出的三角式的值,典型解法之 的值,而后将上述两式联合,解出 sinx,cosx 的值再作道理.而本
12

题恰是为了解(2)作了铺垫.

解:(1)对于



由①式两边平方得







,∴cosx>0,sinx<0

∴sinx-cosx<0

∴由②得 sinx-cosx=-



(2)将①③联立,解得

∴原式=

点评:注意到由①2 得

,故这里只利用了已知数值

的绝对值,对于比较复杂的问

题,还要注意利用这里的



的符号,据此来进行筛选或认定相关三角式的取值.对此,请大家

参见本专题经典例题,以强化这一方面的认知. 4、条件求值系列:

(1) (2004 湖北) 已知

(2) (2004 湖南) 已知

(3)(2004 天津卷)已知 的值. 分析:

,(ⅰ)求

的值;(ⅱ)求

注意到(1)中已知等式复杂,故从化简和认知“已知”切入; 而(2)中“已知”与目标疏远,故首先从已知中角的关系入手主动靠拢目标,而后视具体情况再决定 下一步的动作; 至于(3),易见应从化简和认知目标切入,利用(ⅰ)的结果更为简便. 解:(1)由已知得 ∴ ①

由已知得



,∴
13





∴tan

,∴由①得









(2)注意到

互为余角,由已知得







∴由②得

于是有原式=









=

(3)

(ⅰ)由已知得

,由此解得

(ⅱ)利用(ⅰ)的结果,原式=

点评:对于(1),解题有两大障碍:一是,认知与化简已知,导出 关于

;二是,自行推导

的表达式(即人们常说的万能公式).解题策略值得领悟与借鉴.

对于(2),从

互为余角切入,乃是简化解题过程的关键环节.此外,因

势利导求出角

,虽属特例,但也展示了三角解题的灵活性

综合复习

专题十二
14

三角函数的图象与性质

一、知识网络

二、高考考点 (一)三角函数的性质 1、三角函数的定义域,值域或最值问题; 2、三角函数的奇偶性及单调性问题;常见题型为:三角函数为奇函数(或偶函数)的充要条件的应 用;寻求三角函数的单调区间;比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性; 期. (二)三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换; 2、 图象求函数解析式; 3、三角函数图象的对称轴或对称中心:寻求或应用; 4、利用函数图象解决应用问题. (三)化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 (一)三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性:奇函数:y=sinx,y=tanx;偶函数:y=cosx. (2) (ⅰ)g(x)= 型三角函数的奇偶性 (x∈R) g(x)为偶函数
15

型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周

型三角函数的图象问题;重点是“五点法”作草图的逆用:由给出的一段函数

由此得 同理, (ⅱ)

; 为奇函数 为偶函数 . ;

为奇函数 3、周期性 (1)基本公式 (ⅰ)基本三角函数的周期 y=sinx,y=cosx 的周期为 (ⅱ) 型三角函数的周期

.

;y=tanx,y=cotx 的周期为

.

的周期为



的周期为 (2)认知 (ⅰ) 型函数的周期

.

的周期为



的周期为 (ⅱ) 的周期

.

的周期为



的周期为 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 y= 期不变.注意这一点与(ⅰ)的区别. (ⅱ)若函数为

. 的解析式施加绝对值后,该函数的周

型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”.
16

(ⅲ)探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验――猜想――证明. (3)特殊情形研究

(ⅰ)y=tanx-cotx 的最小正周期为

;(ⅱ)

的最小正周期为



(ⅲ)y=sin4x+cos4x 的最小正周期为 4、单调性 (1)基本三角函数的单调区间(族) 依从三角函数图象识证“三部曲”:

.由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象.

①选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称的一个周期; ②写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间); ③获通解:在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数的增区间 族(或减区间族) 循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. (2)y= 型三角函数的单调区间 ,将所给函数分解为内、外两层:y=f(u),u= ;

①换元、分解:令 u=

②套用公式:根据对复合函数单调性的认知,确定出 f(u)的单调性,而后利用(1)中公式写出关 于 u 的不等式; ③还原、结论:将 u= 代入②中 u 的不等式,解出 x 的取值范围,并用集合或区间形成结论.

(二)三角函数的图象 1、对称轴与对称中心 (1)基本三角函数图象的对称性

(ⅰ)正弦曲线 y=sinx 的对称轴为

;对称中心为(

,0 )

.

(ⅱ)余弦曲线 y=cosx 的对称轴为

;对称中心

(ⅲ)正切曲线 y=tanx 的对称中心为 认知: ①两弦函数的共性:x= ( 为两弦函数 f(x)的对称轴

;无对称轴.

为最大值或最小值;

,0)为两弦函数 f(x)的对称中心

=0. =0 或 不存在.

②正切函数的个性:(

,0)为正切函数 f(x)的对称中心
17

(2)

型三角函数的对称性(服从上述认知) 或 g(x)= 的图象

(ⅰ)对于 g(x)= x= ( 为 g(x)的对称轴

为最值(最大值或最小值); =0.

,0)为两弦函数 g(x)的对称中心 的图象

(ⅱ)对于 g(x)= (

,0)为两弦函数 g(x)的对称中心

=0 或

不存在.

2、基本变换 (1)对称变换 移)(5)上、下平移 3、y= (1)五点作图法 (2)对于 A,T, , 的认知与寻求: 的图象 (2)振幅变换(纵向伸缩)(3)周期变换(横向伸缩)(4)相位变换(左右平

①A:图像上最高点(或最低点)到平衡位置的距离; 2A:图像上最高点与最低点在 y 轴上投影 间的距离.



:图象的相邻对称轴(或对称中心)间的距离;

:图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.

: 由 T= ③

得出.

:解法一:运用“代点法”求解,以图象的最高点(或最低点)坐标代入为上策,若以图象与 x ,则须注意检验,以防所得 值为增根;

轴交点坐标代入函数式求

解法二:逆用“五点作图法”的过程(参见经典例题). 四、经典例题 例 1、求下列函数的值域:

(1) (4)

(2) (5)

(3) (6) 的值域;

分析:对于形如(1)(2)(3)的函数求值域,基本策略是(ⅰ)化归为

(ⅱ)转化为 sinx(或 cosx)的二次函数;对于(4)(5)(6)之类含有绝对值的函数求值域,基本策 略则是(ⅰ)在适当的条件下考察 y2;(ⅱ)转化为分段函数来处理;(ⅲ)运用其周期性、奇偶性或
18

函数图象对称性转化.

解:(1)







(2) 由





注意到这里 x∈R,



∴ (3)这里 令 sinx+cosx=t

则有

且由

于是有

∵ (4)注意到这里 y>0,且 (5)注意到所给函数为偶函数, 又当 ∵

∴ ∴ ∴此时

(6)令

则易见 f(x)为偶函数,且



是 f(x)的一个正周期.



只需求出 f(x)在一个周期上的取值范围.

当 x∈[0,

]时,

又注意到



∴x=

为 f(x)图象的一条对称轴



∴只需求出 f(x)在[0,
19

]上的最大值.

而在[0,

]上,

递增.③

亦递增



∴由③④得 f (x) 在[0,

]上单调递增.







点评:解(1)(2)运用的是基本化归方法;解(3)运用的是求解关于 sinx+cosx 与 sinxcosx 的函 数值域的特定方法;解(4)借助平方转化;解(5)(6)则是利用函数性质化繁为简,化暗为明.这一点 在解(6)时表现得淋漓尽致. 例 2、求下列函数的周期: (1) ;(2) ;

(3)

;(4)

;(5) +k 的形

分析:与求值域的情形相似,求三角函数的周期,首选是将所给函数化为

式,而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数,在不能利用已有认知的情况下,设法转化为分段函 数来处理.

解:(1)





(2)







∴所求周期

.

(3)







.

注意到

的最小正周期为

,故所求函数的周期为

.

(4) 注意到 3sinx 及-sinx 的周期为 2 ,又 sinx≥0(或 sinx<0)的解区间重复出现的最小正周期为 2
20

.

∴所求函数的周期为 2

.

(5) 注意到 sin2x 的最小正周期 ,这里 的最小公倍数为 ,又 sinx≥0 (或 sinx<0 )的解区间重复出现的最小正周期 .

点评:对于(5),令 则由 又 ∴ 不是 f(x)的最小正周期. . ② 知, 是 f(x)的一个正周期. ①

于是由①②知,f(x)的最小正周期为

在一般情况下,探求上述一类分段函数的周期,仅考虑各段函数的最小正周期的最小公倍数是不够 的,还要考虑各分支中的条件区间重复出现的最小正周期.双方结合,方可能获得正确结果.

请大家研究

的最小正周期,并总结自己的有关感悟与经验.

例 3、已知 (1)求 心坐标. 解: (1)令

的部分图象, 的值;(2)求函数图象的对称轴方程和对称中

,则由题意得 f(0)=1





注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为

,故逆用“五点作图法”

得:

由此解得

(2) 由 (1) 得


21

, 解得



∴函数 f(x)图象的对称轴方程为





解得



∴函数 f(x)图象的对称中心坐标为

.

点评:前事不忘,后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描 点过程,便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式:

例 4、(1)函数

的单调递增区间为



(2)若函数

上为单调函数,则 a 的最大值为



(3)函数

的图象的对称中心是



函数 (4)把函数 则 m 的最小正值为

的图象中相邻两条对称轴的距离为



的图象向左平移 m(m>0)个单位,所得的图象关于 y 轴对称, 。

(5)对于函数

,给出四个论断:

①它的图象关于直线 x=

对称;②它的图象关于点(

,0)对称;③它的周期为



④它在区间〔-

,0〕上单调递增.

以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它 是 分析: ( 1 )这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且 。

22

(2) 由( f x) 递增得

易见,

由f (x)递减得

当 k=0 时,

注意到

而不会属于其它减区间,

故知这里 a 的最大值为

.

(3)(ⅰ)令

∴所给函数图象的对称中心为(

,0 )



(ⅱ) 解法一(直接寻求)



在①中令

则有



又在②中令 k=0 得



令 k=1 得

∴所求距离为



解法二(借助转化):注意到所求距离等于函数的最小周期的一半,又由①得这一函数的最小正周 期为

T=

,故所求距离为

.

(4)这里

将这一函数图象向左平移 m(m>0)个单位,所得图象的函数解析式



则由题设知 f(x)为偶函数

f(-x)=f(x)
23

(5)为使解题的眉目清晰,首先需要认定哪个论断必须作为条件,哪个论断只能作为结论,哪个论 断既可作为条件,又可作为结论;一般地,独自决定图象形状的论断必须作为条件,既不能决定形状, 也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里,③必须作为条件,而④只能作为结论.于是这里只需考察 ①、③ ②、④与②、③ ①、④这两种情形. 由③得 ,故 ;

(ⅰ)考察①、③

②、④是否成立.

又由①得

注意到

.

∴在①、③之下, (ⅱ)考察②、③ ①、④是否成立.

,易知此时②、④成立. 由③得 ,故 ;

又由②得

注意

.

∴在②、③之下,

,易知此时①、④成立. ②、④与②、③ ①、④. ; .

于是综合(ⅰ)(ⅱ)得正确的命题为①、③ 点评:对于(4)利用了如下认知:

对于(5),认定哪个论断必须作为条件,哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键, 请大家注意领悟和把握这一环节.

例 5、已知 值 2. (1)求 f(x)的表达式;

的最小正周期为 2,当

时,f(x)取得最大

(2)在闭区间 说明理由.

上是否存在 f(x)图象的对称轴?如果存在,求出其方程;如果不存在,

分析:出于利用已知条件以及便于考察 f(x)的图象的对称轴这两方面的考虑,先将 f(x)化为 +k 的形式,这是此类问题的解题的基础.
24

解:(1)去

令 则有

, ①

,即

由题意得



又由①知

,注意到这里 A>0 且 B>0,取辅助角



则由②得



(2)在③中令

解得 x=k+

解不等式



注意到

,故由④得 k=5.

于是可知,在闭区间

上有且仅有一条对称轴,这一对称轴的方程为

.

点评:对于最值,对称轴和对称中心等问题,f(x)一经化为 券在握.

+k 的形式,解题便胜

例 6、已知点

的图象上.若定

义在非零实数集上的奇函数 g(x)在(0,+∞)上是增函数,且 g(2)=0.求当 g[f(x)]<0 且 x∈[0,

]时,实数 a 的取值范围. 分析:由点 A、B 都在函数 的图象上

得:

,∴b=a,c=1-a.



25



此时,由 g[f(x)]<0 且 x∈[0,

]解出 a 的范围,一方面需要利用 g(x)的单调性脱去“f”,另一

方面又要注意借助换元进行转化:化生为熟,化繁为简.因此,下一步的首要工作是考察并利用 g(x)的 单调性.

解:由分析得 ∵定义在非零实数集上的奇函数 g(x)在(0,+∞)上是增函数,且 g(2)=0, ∴g(x)在(-∞,0)上是增函数,且 g(-2)=0 ∴由①②知,当 x<-2 或 0<x<2 时,g(x)<0 ② ③ ①

又设

.



h(t)=at+(1-a),

.

∴g[f(x)]<0 且 x∈[0, ∴由③得,当

]

g[h(t)]<0,且 ④

. 注意到 h(t)=at+(1-a)

时,h(t)<-2 或 0<h(t)<2 )<-2(a>0),

∴由 h(t)<-2 得 h(1)<-2(a<0)或 h(

由 0<h(t)<2 得

,解得 .

.

于是综上可知,所求 a 的取值范围为 对 0<h(t)<2 亦可通过分类讨论来完成. 对于 h(t)=at+(1-a) (1)h(t)>0, 当 a>0 时,h(t)在 当 a<0 时,h(t)在 ∴由⑤得,h( )>0 上递增, 上递减 ( -1)a+1>0 , 0<h(t)<2 ⑤

点评:在这里,由③到④的转化,是由“抽象”向“具体”的转化,此为解题关键环节.在下面的求解中,

h(t)>0 且 h(t)<2

∴由⑤得,h(1)>0,显然成立;



当 a=0 时,h(t)显然满足 1<h(t)<2.
26

因此由 h(t)>0, (2)h(t)<2, ∴由⑦得,h( 当 a<0 时,h(t)在 )<2





-1<a≤0 ⑦ ; 当 a>0 时,h(t)在

⑥ 上递增,

上递减 ∴由⑦得,h(1)<2,显然满足条件; 因此由⑦得 ⑧

当 a=0 时,h(t)=1,显然满足条件.

于是综合(1)(2)知,由 0<h(t)<2 推出 五、高考真题 (一)选择题

1、(2005 湖北卷)若





A.

B.

C. 的熟悉, 故考虑从认知

D. 的范围入手, 去了解 的

分析: 注意到我们对 范围.







∴ 2、函数

应选 C. 的部分图象如图,则( )

A.

B.

C.

D.

分析:由图象得

.∴





又 f(1)=1,∴

注意到

,∴

27

(二)、填空题 1、(2005 湖北卷)函数 而后综合结论. 的最小正周期与最大值的和为 。

分析:对于含有绝对值的三角函数的周期或值域,基本策略是化为分段函数,分段寻求周期或范围,

(1)注意到 sin2x 的最小正周期 而 的最小公倍数为

,而 sinx≥0 的解区间重复出现的最小正周期 .



,故所求函数的最小正周期为

(2)由分段函数知,y 的最大值为 2、(2005 辽宁卷) a, 是 。 是正实数,设



于是由(1)(2)知应填

. .若对每个实数

的元素不超过两个,且有 a 使

含 2 个元素,则

的取值范围

分析:



注意到有 a 使

含有两个元素,

∴相邻两

值之差



注意到

的元素不超过两个,

∴相间的两个 点评:

值之差



∴由①、②得

.

对于(1),在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后,还要考察各分支中“不等式的解区间”重 复出现的周期,二者结合才能得出正确结论. 对于(2),这里的 决定于 f(x)在一个周期图象的左端点横坐标,由此便于认识相邻两个 值

之差

的意义.

(三)解答题

28

1、(2005 重庆卷)若 分析:鉴于过去的经验,首先致力于将 f(x)化为

的最大值为 2,试确定常数 a 的值. +k 的形式,而后便会一路坦途.

解:





由已知得

.

点评:本题看似简单,但考察多种三角公式,亦能体现考生的基本能力. 2、(2005 全国卷 I )设函数 y=f(x)图象的一条对称轴是直

线

. (1)求 ;(2)求函数 y=f(x)的单调增区间;

(3)证明直线 5x-2y+c=0 与函数 y=f(x)的图象不相切. 分析:对于(3),由于 f(x)为三角函数,故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或 不相切问题.其中,要证直线l与y=f(x)的图象不相切,只需证直线l的斜率不属于 y=f(x)图象 上点的切线斜率的取值集合.

解:(1)∵

为函数

图象的对称轴,









.

(2)由(1)知





时,y=f(x)递增,

∴所求函数 f(x)的增区间为

.

29

(3)∵

∴y=f(x)图象上点的切线的斜率范围为[-2,2].

而直线 5x-2y+c=0



∴直线 5x-2y+c=0 与函数

的图象不相切.

点评:有导数及其几何意义奠基,便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题 .此题 (3)的解题思路,值得大家仔细领会与品悟.

3、(2003 江苏卷)已知函数

是 R 上的偶函数,其图象关

于点 M(

)对称,且在区间

上是单调函数,求

的值. 的值;已知函数图象关于某直线(或 的值,还需要其它条件的 的可能取值之后,

分析:在此类三角函数问题中,已知函数的周期可直接确定 某点)对称,则只能导出关于

的可能取值,此时要进一步确定

辅助;而已知函数在某区间上单调的条件,一般只在利用函数图象对称性寻出 用它来进行认定或筛选. 解:由 f(x)为偶函数得 f(-x)=f(x)(x∈R) 即



故有

由 f(x)图象关于点 M(

)对称得

令 x=0 得



由此解得

当 k=0 时,

,此时

当 k=1 时,
30

当 k≥2 时,

,故此时

因此,综合以上讨论得 点评: 对于正弦函数 y=



. +k 或余弦函数 y= +k, 在单调区间“完整”

的一个周期 T,恰是增减区间的长度各为

;而在任何一个周期 T 上,增区间(或减区间)的长度均不

超过

.因此,若区间

的长度大于

,则函数在区间

上不会是单调函数.

4、(2005 天津卷)设函数 f(x)=xsinx(x∈R). (1)证明: ,其中 k 为正整数.

(2)设 (3)设 f(x)在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 ,

证明: 分析:注意到正弦函数为 f(x)的成员函数之一,试题中又指出 f(x)的极值点,故需应用导数研 究极值的方法与结论.可见,解(2)(3),均需要从 f'(x)切入. 证明:(1)f(x)=xsinx(x∈R)∴

(2) 显然 cosx=0 不是①的解,故由①得 x=-tanx

令 ② ,



②,即有

于是



31

= (3)设 是 的一个正整数根,即 ,则由直线 y=x 与曲线 y=-tanx

的位置关系知:对每一个

,存在

,使

,注意到 g(x)=x+tanx 在

上是增函数,且

∴g(x)在

又 cosx 在

内符号不变,

∴(x+tanx)cosx=sinx+xcosx= ∴所有满足 由题设 的



与在

内异号,

都是 f(x)的极值点.

为方程 x=-tanx 的全部正根.

且 ③ 再注意到 而 ∴1+

,∴

④ ∴由④得 ⑤

于是由③、⑤得, 点评:在这里应注意对(2)、(3)中极值点的区别.对于(2), 对于(3)中的 不仅要满足 ,还需认定 只需满足 在点 x= 即可; 左右两边异号.

高中数学高考综合复习
一、选择题(每题 4 分,共 32 分) 1、函数

专题十三 习

三角函数专题练

的值域是(
32



A. [ - 1 , 1]

B.[-2,2]

C. [0,2]

D.[0,1] 2、已知 D. –2 等于( ) A. 1 B. 2 C. –1

3、函数 A. B. - C.2+ D.-2+

k 的取值是(



4、为了得到函数

的图象,可以将 y=cos2x 的图象(



A.向右平移

个单位长度

B. 向右平移

个单位长度

C.向左平移

个单位长度

D. 向左平移

个单位长度

5、

6、函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是(



A.

7、 定义在 R 上的函数 f (x) 既是偶函数又是周期函数, 若f (x) 的最小正周期是 时

, 且当

f(x)=sinx,则 f(

)的值为(



A.

B.

C.

D.

8 、将函数 y= f(x)sinx 的图象向右平移 T = 的图象,则 f(x)可以是( A. cosx B. 2cosx C. sinx
33

个单位后,再作关于 x 轴的对称变换,得到函数 ) D. 2sinx

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

1、已知

的值为

.

2 、 已 知 为 .

可 简 化

3、已知 f(x)=asinx-bcosx 且 x=

为 f(x)的一条对称轴,则 a:b 的值为

.

4









三、解答题(本大题共有 4 题,满分 48 分)

1、(本题满分 12 分)已知

2、(本题满分 12 分)已知

3、(本题满分 12 分)已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期;(2) (3)在(2)的条件下,求满足 f(x)=1, 4、(本题满分 12 分)已知函数 象过点 ,且 f(x)的最大值为 2. 的 x 的集合. 的图

(1)求 f(x)的解析式,并写出其单调递增区间; (2)若函数 f(x)的图象按向量 作距离最小的平移后,所得图象关于 y 轴对称,试求向量

的坐标以及平移后的图象对应的函数解析式. 答案与解析 一、选择题: 1、选 B.:对于含有绝对值的三角函数,基本解题策略之一是将其化为分段函数,而后分段考察,综
34

合结论,在这里, 2].

当 x≥0 时,-2≤2sinx≤2 即-2≤y≤2;当 x<0 时,y=0 包含于[-2,

于是可知所求函数值域为[-2,2],故应选 B. 2、选 B.

解析:考察目标



又由已知得 ∴②代入①得,



3、选 A.:令

∴由 f (x) 的图象关于点 ( 故应选 A.

, 0) 对称得 f (

) =0

即 cos

=0, 由此解得 k=

.

4、选 B.:令 y=f(x)=cos2x,则 f(x)=sin(2x+ 进而在保持①中的 A、 、

)



“三不变”的原则下,变形目标函数:



于是由 y = f(x) 图象变换出

图象知: y = f ( x )图象应向右平移

个单位得到

5、选 C.:由 f(x)在区间[-



]上递增及 f(x)为奇函数,知 f(x)在区间[-



]上递增,

该区间长度应小于或等于 f(x)的半个周期.



6、选 D:
35

由 f(x)单调递减得

7、选 D.:由已知得 8、选 B.解法一:

( 正 向 ) y = f ( x ) sinx 图 象

图象

由题设得





∴ 解法二 (逆向求索) : =-cos2x

∴f(x)=2cosx 图象 y

由题意得 f(x)sinx=sin2x,故得 f(x)=2cosx 二、填空题

1、解析:由



于是 2、答案: .







.

解 析 : 由 题 意 得










36





= 3、答案:a:b=-1.

解析:由题设得 轴,

又 x=

为 f(x)的一条对称

∴当 x=

时 f(x)取得最值



即 ∴a:b=-1.

4、答案: 解析:

.

∴由



注意到 ②

由①得:

再注意到当且仅当

于是由②及



三、解答题 1、分析:注意到目标中出现的角 出角 变形方向.
37

,而已知中出现的角为

,显然,已知式容易变形

的函数,故考虑首先从变形已知切入,让已知主动去靠拢目标,而后目标再视具体情况决定

解:由已知得

∴利用倍角公式得

化简得











点评:一般地,(单)条件式求值,由目标式变形可了解“已知”延伸方向,由已知式的延伸又可了 解目标的转化方向.如有可能,通过已知式的变形与目标式变形相互靠拢,总要比某一方单方面接近另一 方更快捷、方便.本例便给出“已知”与“目标”相互靠拢的示范. 2、分析:在三角条件求值问题中,已知某一个(或两个)角的三角函数值,要求另一个角的三角函 数值,第一选择法:是从“已知”与“未知”中角的关系------有关角与特殊角之间的和差倍角关系入手.当然, 当“已知”中的角与“未知”中的角关系复杂时,则要考虑“已知”与“目标”的延伸与靠拢. 解法一(从角的关系式入手):

注意到:

















>0









于是将②③代入①得

= 解法二(目标的转换与追求):

38

注意到(目标) (以下寻求的方向明确:由已知条件求 )















从而由②、③得 ④





于是将④⑤代入①得

.

点评:当目标比较复杂或比较抽象时,首先要明确或转换目标,使已知的延伸或下一步的寻求方向 更加明确与准确.

3、分析:有关三角函数性质的问题,若所给函数可化为



形式,则可利用公式或认知求解.故此题求解的首要问题是将 f(x)化为上述形式 之一.

解:

=

=

(1) (2)由 f(x)为偶函数得 f(-x)=f(x)对任意 x∈R 成立



在①中令


39

注意到

,故这里 k=0,由此解得

.

(3)当

时,f(x)=2cos2x

∴由 f(x)=1 得,2cos2x=1



注意到

,∴由②得





∴所求 x 的集合为{

}.

点评:在解(2)时利用了下述充要条件: ;

在解决有关问题时这一充要条件会给我们带来方便. 4.分析:这里仍是首先致力于将 f(x)化为 求解. 解:(1)f(x)=asin2x+bcos2x= 的形式,而后利用已知公式和原有认识

由已知条件得









f(x)











(2)注意到 故 函 数 y = f(x) 图 象 按 向 量 平移后的图象对应的函数解析式为





注意到函数①的图象关于 y 轴对称

∴函数①为偶函数


40



.



在②中令

由此得



注意到当 k 为偶数时③无解,故由③得



∴ m 的绝对值最小的取值为

此时

且由①得

因此,所求向量

,平移后的图象对应的函数解析式为 y=cos2x.

点评:解决平移问题时,要注意识别与认知“点的平移”与“函数图象平移”的不同:

. 这一加一减,既展示了两种平移的区别,又反映了两种平移间的辩证关系.

41


更多相关文档:

高考数学专题十一 三角函数式的化简与求值.doc

专题十一 知识网络 三角函数式的化简与求值 三角函数式化简与求值的理论依据三角

专题11 三角函数式的化简与求值.doc

专题11 知识网络 三角函数式的化简与求值 三角函数式化简与求值的理论依据三角

三角函数化简、求值及证明11.doc

的化简与求值,高中三角函数化简求值,三角函数化简求值的题,在三角函数式的化简...11专题十一 三角函数式... 97人阅读 2页 免费 30师-三角函数的求值、化...

11.第二轮专题 训练(11)三角函数的化简与求值.doc

数学专题11三角函数式的化... 20页 免费 专题2 第11课时 三角函数... 22页...高三数学 第 高三数学(第 二轮)专 题训练 第九讲: 三角函数的化简与求值学校...

第十一讲:三角函数的化简与求值数学(第二轮).doc

数学(第二轮) 数学(第二轮)专题训练 第十一讲: 第十一讲:三角函数的化简与求值学校 知能目标 1. 掌握同角的三角函数的基本关系式:掌握正弦,余弦的诱导公式;掌...

第二轮专题 训练(11)三角函数的化简与求值.doc

第二轮专题 训练十一 三... 6页 5财富值 k5第二轮专题 训练(11)三角... ...2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明. 综合脉络...

2013届高三第二轮复习讲义及专题训练 (11)三角函数的化简与求值_....doc

2013届高三第二轮复习讲义及专题训练 (11)三角函数的化简与求值_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013届高三第二轮复习讲义及专题训练 第1到第13讲 ...

专题12 三角函数的化简与求值.doc

专题12 三角函数的化简与求值 - 专题训练 三角函数的化简与求值 知能目标 1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差...

第二轮专题 训练(11)三角函数的化简与求值.doc

数学专题11三角函数式的化... 20页 免费 专题2 第11课时 三角函数... 22页...第二轮专题 训练(11)三角函数的化简与求值第二轮专题 训练(11)三角函数的化简与...

第二轮专题训练)三角函数的化简与求值.doc

2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明. 综合脉络...第二轮专题 训练十一 ... 6页 2下载券 第二轮专题训练(11)三角... 暂无...

7三角函数的化简和求值.doc

专题十一 知识网络 三角函数式的化简与求值 三角函数式化简与求值的理论依据三角

2011届高考数学第一轮复习专题讲座16:三角函数式的化简与求值_....doc

2011届高考数学第一轮复习专题讲座16:三角函数式的化简与求值 - 中学数学吧

高考专题复习 :三角函数式的化简与求值.doc

高考专题复习 :三角函数式的化简与求值。三角函数专题复习 三角函数式的化简与求值 知识网络 三角函数式化简与求值的理论依据三角公式体系, 主要由两个系列组成: ...

数学(第二轮)三角函数化简与求值专题训练.doc

数学(第二轮)三角函数化简与求值专题训练 - 数学(第二轮)三角函数化简与求值专题训练 知能目标 1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;...

高中数学教案:三角函数式的化简与求值prt.doc

精编习题 三角函数式的化简与求值 知识网络 三角函数式化简与求值的理论依据...据此来进行筛选或认定相关三角式的取值.对此,请大家参见本 专题经典例题,以强化...

数学难点突破专题辅导十六三角函数式的化简与求值.doc

三角函数的图象与性质 数学难点突破专题辅导十一... 数学难点突破专题辅导十三.....突破专题辅导十六难点 16 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考...

第二轮专题 训练(11)三角函数的化简与求值.doc

第二轮专题 训练(11)三角函数的化简与求值_初三数学_数学_初中教育_教育专区。...专题十一 三角函数式的化... 3页 1下载券 喜欢此文档的还喜欢 第...

专题九 直线与圆的位置关系_图文.doc

三角函数(一) 【典型例题】 [要点一] 三角函数式的化简 3 (浪潮) [要点二] 三角函数求值问题 【基础过关】 4 (浪潮) 专题十一【基础梳理】 三角函数(二) ...

...数学复习专题讲座(第16讲)三角函数式的化简与求值_....doc

关键词:高中数学复习专题讲座(第16讲)高考数学指导三角函数式化简与求值 1/4 同系列文档 高中数学复习专题讲座(第1... 高中数学复习专题讲座(第2... 高中数学...

高三数学三角函数式的化简与求值.doc

高三数学三角函数式的化简与求值 - 题目 高中数学复习专题讲座 三角函数式的化简与求值 新疆 源头学子 小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wx...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com