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3.2.1立体几何中的向量方法(一)—法向量及平行垂直的证明_图文

高二数学学科课堂设计
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课题:3.2.1 立体几何中的向量方法(法向量及平行与垂直的向量证法)
【学习目标】1、能够理解并求出空间直线的方向向量和平面的法向量 2、能用向量语言表述线线、线面和面面的位置关系
3、要求掌握用向量方法证明线线、线面和面面的位置关系

一、导学部分
1 直线的方向向量是指和这条直线 3 空间中平行和垂直关系的向量表示:
?

的向量;

变式:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,DC 的中点,求证:? A E ?是平面 A1D1F 的法向量.

??? ?

2 若直线 l 的方向向量为 a 且 a 为平面的法向量,则直线 l 与平面 ? 的位置为关系 设 直 线 l , m 的 方 向 向 量 分 别 为 a ? ? x1 , y 1 , z 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 , z 2 ?
l // m ?

?

线线平行 线面平行 面面平行



设 直 线 l 和 平 面 的 方 向 向 量 分 别 为 a ? ? x1 , y 1 , z 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 , z 2 ? 则
l // ? ?

?

?

设 两 平 面 的 方 向 向 量 分 别 为 a ? ? x1 , y 1 , z 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 , z 2 ?
? // ? ?

?

?

则 探究 2 利用向量方法证平行关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C∥平面 ODC1


?

线线垂直 线面垂直

设 直 线 l , m 的 方 向 向 量 分 别 为 a ? ? x1 , y 1 , z 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 , z 2 ?
l ? m ?

?



设直线的方向向量和平面的法向量分别为a ? ? x1 , y 1 , z 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 , z 2 ?
l ?? ?

?

?



面面垂直 4、自学检测:

设两平面的法向量分别为 a ? ? x1 , y 1 , z 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 , z 2 ?
? ? ? ?

?

?



课本 P104 练习 1、2

二、合作探究:
尝试: (1)直线的方向向量的定义: (2)平面的法向量的定义; 探究 1 求平面的法向量 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 α 的一个法向量.
???? ?

【反思】证明线面平行问题,可以有三个途径,一是在平面 ODC1 内找一向量与 B 1C 共线;二
???? ? ???? ?

是说明 B 1C 能利用平面 ODC1 内的两不共线向量线性表示, 三是证明 B 1C 与平面的法向量垂直. 变式:如图所示,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF= 90° ,AD= 3,EF=2. 求证:AE∥平面 DCF.

【反思】待定系数法求法向量:在平面内找两个不共线向量,列出方程组,取其中一组解(非零向量)即可.

探究 3 利用向量方法证明垂直关系 变式:在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,试在棱 BB1 上找一点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1.

6、

如 图 3 ? 2 ? 1所 示 , 在 正 方 体 A B C D ? A 1 B 1 C 1 D 1中 , 棱 长 为 a , M 、 N 1 3 a ,E 是 A 1 D 1中 点 .

分 别 是 A 1B 和 A C 上 的 点 , A 1M ? A N ? 求 证 : M N / / ED (1)

( 2 ) M N // 平 面 B B 1 C 1 C

C N B A

D

C1 B1

M A1

D1

【反思】证明线面垂直:(1)用直线与平面垂直的判定定理;(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行

变式:在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,B1C⊥A1B.求证:AC1⊥A1B.

7、在四棱锥 P-ABCD 中,PD ? 底面 ABCD,,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分 别是 AB、PB 的中点 (1)求证:EF ? CD, (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF ? 平面 PCB,并证明你的结果

三、小结归纳: 1.用待定系数法求平面法向量的步骤: 2.平行关系的常用证法: 3.垂直关系的常用证法: 四、巩固提升 1、若直线 l ? ? ,且 l 的方向向量为(m,2,4) ,平面的法向量为(1,1,2),则 m=( A 8 A ? // ? B 10 B ? ? ? C 9 D 11 ) 2、若两个不同平面 ? 、 ? 的法向量分别为 a =(2,1,-2) b =(4,2,6),则( C ? 、 ? 相交不垂直 D 以上都不对 )

3.已知 A(1,1,-1),B(2,3,1),则直线 AB 的模为 1 的方向向量是_______________ 4、已知平面 ? 和 ? 的法向量分别为(-1,3,4)和(x,1,-2),若 ? ? ? ,则 X=__________

5、在平面 ? 中, 已知 AB ? ( 2 , 3 , 4 ), BC ? (1, ? 2 , 0 ) 求平面 ? 的法向量


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