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步步高2015大二轮数学专题六 第2讲


第2讲
考情解读

椭圆、双曲线、抛物线

1.以选择、 填空的形式考查, 主要考查圆锥曲线的标准方程、 性质(特别是离心率),

以及圆锥曲线之间的关系,突出考查基础知识、基本技能,属于基础题.2.以解答题的形式考 查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解,直线与圆锥曲线的位置关系,常常 在知识的交汇点处命题,有时以探究的形式出现,有时以证明题的形式出现.该部分题目多 数为综合性问题,考查分析问题、解决问题的能力,综合运用知识的能力等,属于中、高档 题,一般难度较大.

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 椭圆 |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|) x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0) 图形 范围 顶点 对称性 几 何 性 质 离心率 准线 渐近线 b y=± x a 焦点 轴 |x|≤a,|y|≤b (± a,0)(0,± b) |x|≥a (± a,0) x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称 p ( ,0) 2 实轴长 2a,虚轴长 2b c e= = a b2 1+ 2(e>1) a e=1 p x=- 2 双曲线 ||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|) x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) 抛物线 |PF|=|PM|,点 F 不在直 线 l 上,PM⊥l 于 M y2=2px (p>0)

标准方程

关于 x 轴,y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a,短轴长 2b c e= = a b2 1- 2(0<e<1) a

热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 ( ) x2 y2 若椭圆 C: + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且|PF2|=4 则∠F1PF2 等于 9 2

A.30° B.60° C.120° D.150° 1 (2)已知抛物线 x2=2py(p>0)的焦点与双曲线 x2-y2=- 的一个焦点重合,且在抛物线上有一 2 动点 P 到 x 轴的距离为 m, P 到直线 l: 2x-y-4=0 的距离为 n, 则 m+n 的最小值为________. 思维启迪 (1)△PF1F2 中利用余弦定理求∠F1PF2;(2)根据抛物线定义得 m=|PF|-1.再利用 数形结合求最值. 答案 (1)C (2) 5-1 解析 (1)由题意得 a=3,c= 7,所以|PF1|=2. 在△F2PF1 中, 42+22-?2 7?2 1 由余弦定理可得 cos∠F2PF1= =- . 2 2×4×2 又因为 cos∠F2PF1∈(0° ,180° ),所以∠F2PF1=120° . (2)易知 x2=2py(p>0)的焦点为 F(0,1),故 p=2, 因此抛物线方程为 x2=4y. 根据抛物线的定义可知 m=|PF|-1, 设|PH|=n(H 为点 P 到直线 l 所作垂线的垂足), 因此 m+n=|PF|-1+|PH|. 易知当 F,P,H 三点共线时 m+n 最小, |-1-4| 因此其最小值为|FH|-1= -1= 5-1. 5 思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中 要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2||<|F1F2|,抛物线上的点到焦点的 距离与到准线的距离相等的转化. (2)注意数形结合,画出合理草图. x2 y2 3 (1)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭 a b 2 圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 B. + =1 12 6 )

x2 y2 C. + =1 16 4

x2 y2 D. + =1 20 5

(2)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B,交其 准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( A.y2=9x C.y2=3x 答案 (1)D (2)C 解析 (1)∵椭圆的离心率为 a2-b2 3 c 3 ,∴ = = , 2 a a 2 B.y2=6x D.y2= 3x )

∴a=2b.∴椭圆方程为 x2+4y2=4b2. ∵双曲线 x2-y2=1 的渐近线方程为 x± y=0, ∴渐近线 x± y=0 与椭圆 x2+4y2=4b2 在第一象限的交点为? 2 5 2 5 ? , ? 5 b, 5 b?

2 5 2 5 ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 b× b=4, 5 5 ∴b2=5,∴a2=4b2=20. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 20 5 (2)如图,分别过 A,B 作 AA1⊥l 于 A1,BB1⊥l 于 B1,由抛物线的定义知, |AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|, ∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|, ∴∠BCB1=30° ,∴∠A1AF=60° . 连接 A1F,则△A1AF 为等边三角形, 过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1,则 F1 为 AA1 的中点, 1 1 3 设 l 交 x 轴于 N,则|NF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即 p= ,∴抛物线方程为 y2=3x,故选 C. 2 2 2 热点二 圆锥曲线的几何性质 例2 (1)已知离心率为 e 的双曲线和离心率为 ) 2 的椭圆有相同的焦点 F1, F2, P 是两曲线的 2

π 一个公共点,若∠F1PF2= ,则 e 等于( 3 A. 5 2 5 6 B. C. D.3 2 2

x2 y2 a2 (2)设 F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左,右焦点,若在直线 x= 上存在点 P,使线 a b c 段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆的离心率的取值范围是( A.?0, )

?

2? 2?

B.?0,

?

3? 3?

C.?

2 ? 2 ? ,1?

D.?

3 ? 3 ? ,1?

思维启迪 (1)在△F1F2P 中利用余弦定理列方程,然后利用定义和已知条件消元;(2)可设点 a2 P 坐标为( ,y),考察 y 存在的条件. c 答案 (1)C (2)D 解析 (1)设椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,焦距为 2c,|PF1|=m,|PF2|=n, 且不妨设 m>n,由 m+n=2a1,m-n=2a2 得 m=a1+a2,n=a1-a2. π 又∠F1PF2= , 3
2 ∴4c2=m2+n2-mn=a2 1+3a2, 2 a2 1 3 6 1 3a2 ∴ 2+ 2 =4,即 + 2=4,解得 e= ,故选 C. c c e 2 2 ? ?2 2

a2 ? b2 y ,y ,线段 F1P 的中点 Q 的坐标为? , ?, (2)设 P? ?c ? ?2c 2? 当 kQF2 存在时,则 k F1P = 由 kF1P ? kQF2 =-1,得 ?a2+c2?· ?2c2-b2? 2 y2= ,y ≥0, c2 但注意到 b2-2c2≠0,即 2c2-b2>0, 1 3 即 3c2-a2>0,即 e2> ,故 <e<1. 3 3 当 kQF2 不存在时,b2-2c2=0,y=0, a2 3 此时 F2 为中点,即 -c=2c,得 e= , c 3 综上,得 3 ≤e<1, 3 3 ? . ? 3 ,1? cy cy , kQF2 = 2 , a2+c2 b -2c2

即所求的椭圆离心率的取值范围是?

思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a,b,c 的方程或不等式,再根据 a,b,c 的关系消掉 b 得到 a,c 的关系式.建立关于 a,b,c 的方 程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. x2 y2 已知 O 为坐标原点,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,以 OF 为直径 a b → → → 作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点 A、B,若(AO+AF)· OF=0,则双曲线的离心率 e 为( )

A.2 B.3 C. 2 D. 3 (2)(2014· 课标全国Ⅰ)已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条 渐近线的距离为( A. 3 )

B.3 C. 3m D.3m

答案 (1)C (2)A 解析 (1)设 OF 的中点为 C,则 → → → AO+AF=2AC,由题意得, → → 2AC· OF=0, ∴AC⊥OF,∴AO=AF, 又∠OAF=90° ,∴∠AOF=45° , 即双曲线的渐近线的倾斜角为 45° , b ∴ =tan 45° =1, a 则双曲线的离心率 e= b 1+? ?2= 2,故选 C. a x2 y2 - =1(m>0),其渐近线方程为 y=± 3m 3 3 m x=± x,即 my 3m m

(2)双曲线 C 的标准方程为

=± x,不妨选取右焦点 F( 3m+3,0)到其中一条渐近线 x- my=0 的距离求解,得 d= 3m+3 = 3.故选 A. 1+m 热点三 直线与圆锥曲线 例3 x2 y2 过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 作斜率为 2 的直线,与椭圆的另一个交点为 B, a b

→ 6→ 与 y 轴的交点为 C,已知AB= BC. 13 (1)求椭圆的离心率; (2)设动直线 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q,若 x 轴上 存在一定点 M(1,0),使得 PM⊥QM,求椭圆的方程. → 6→ 思维启迪 (1)根据AB= BC和点 B 在椭圆上列关于 a、b 的方程;(2)联立直线 y=kx+m 与 13 → → 椭圆方程,利用 Δ=0,PM· QM=0 求解. 解 (1)∵A(-a,0),设直线方程为 y=2(x+a),B(x1,y1), 令 x=0,则 y=2a,∴C(0,2a), → → ∴AB=(x1+a,y1),BC=(-x1,2a-y1), 6 6 → 6→ ∵AB= BC,∴x1+a= (-x1),y1= (2a-y1), 13 13 13

13 12 整理得 x1=- a,y1= a, 19 19 13 12 a2 b2 3 ∵点 B 在椭圆上,∴( )2+( )2·2=1,∴ 2= , 19 19 b a 4 ∴ a2-c2 3 3 1 = ,即 1-e2= ,∴e= . a2 4 4 2

b2 3 (2)∵ 2= ,可设 b2=3t,a2=4t, a 4 ∴椭圆的方程为 3x2+4y2-12t=0,
?3x2+4y2-12t=0 ? 由? ,得 ? ?y=kx+m

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0, ∵动直线 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P, ∴Δ=0,即 64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12t)=0, 整理得 m2=3t+4k2t, 8km 4km 设 P(x1,y1)则有 x1=- =- , 2?3+4k2? 3+4k2 y1=kx1+m= ∴P(- 3m , 3+4k2

4km 3m , ), 3+4k2 3+4k2

又 M(1,0),Q(4,4k+m), ∵x 轴上存在一定点 M(1,0),使得 PM⊥QM, 4km 3m ∴(1+ )· (-3,-(4k+m))=0 恒成立, 2,- 3+4k 3+4k2 整理得 3+4k2=m2. ∴3+4k2=3t+4k2t 恒成立,故 t=1. x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 4 3 思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法;解决直线与圆锥曲线问题的通法是联 立方程,利用根与系数的关系,设而不求思想,弦长公式等简化计算;涉及中点弦问题时, 也可用“点差法”求解. x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2,且过点(1, ),右焦点为 F2.设 A, a b 2 1 B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 的横坐标为- ,线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P, 2 Q 两点. (1)求椭圆 C 的方程;

→ → (2)求F2P· F2Q的取值范围. 解 (1)因为焦距为 2,所以 a2-b2=1. 因为椭圆 C 过点(1, 2 ), 2

1 1 所以 2+ 2=1.故 a2=2,b2=1. a 2b x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2 1 (2)由题意,当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 的方程为 x=- , 2 此时 P(- 2,0),Q( 2,0), → → 得F2P· F2Q=-1. 1 当直线 AB 不垂直于 x 轴时, 设直线 AB 的斜率为 k(k≠0), M(- , m)(m≠0), A(x1, y1), B(x2, 2 y2),

? 2 +y =1, 由? x ? 2 +y =1,
2 1 2 2 2 2

2 x1

y1-y2 得(x1+x2)+2(y1+y2)· =0,则-1+4mk=0, x1-x2

故 4mk=1. 此时,直线 PQ 的斜率为 k1=-4m, 1 直线 PQ 的方程为 y-m=-4m(x+ ). 2 即 y=-4mx-m. y=-4mx-m, ? ?2 联立?x 消去 y, 2 ? 2 +y =1 ? 整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0. 设 P(x3,y3),Q(x4,y4) 2m2-2 16m2 所以 x3+x4=- , x x = . 32m2+1 3 4 32m2+1 → → 于是F2P· F2Q=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m) =(4m2-1)(x3+x4)+(16m2+1)x3x4+m2+1 = = ?4m2-1??-16m2? ?1+16m2??2m2-2? + +1+m2 32m2+1 32m2+1 19m2-1 . 32m2+1

1 7 由于 M(- ,m)在椭圆的内部,故 0<m2< , 2 8 → → 19 51 令 t=32m2+1,1<t<29,则F2P· F2Q= - . 32 32t → → 125 又 1<t<29,所以-1<F2P· F2Q< . 232 125 → → 综上,F2P· F2Q的取值范围为[-1, ). 232

1.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题,恰当选用定义解题,会效果明显,定义 中的定值是标准方程的基础. 2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为 Ax2+By2=1,其中 A、B 是不等的常数,A>B>0 时, 表示焦点在 y 轴上的椭 圆;B>A>0 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆;AB<0 时表示双曲线. c 3.求双曲线、椭圆的离心率的方法:(1)直接求出 a,c,计算 e= ;(2)根据已知条件确定 a, a c b,c 的等量关系,然后把 b 用 a,c 代换,求 . a 4.通径:过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径,双曲线、椭圆的通径 2b2 长为 ,过椭圆焦点的弦中通径最短;抛物线通径长是 2p,过抛物线焦点的弦中通径最短. a 椭圆上点到焦点的最长距离为 a+c,最短距离为 a-c. 5.抛物线焦点弦性质: 已知 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦,F 为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2). p2 (1)y1y2=-p2,x1x2= ; 4 2p (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (α 为弦 AB 的倾斜角); sin α (3)S△AOB= p2 ; 2sin α

1 1 2 (4) + 为定值 ; |FA| |FB| p (5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

真题感悟 1.(2014· 湖北)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F1PF2

π = ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( 3 4 3 A. 3 C.3 答案 A 2 3 B. 3 D.2

)

解析 设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,双曲线实半轴长为 a2, 椭圆、双曲线的离心率分别为 e1,e2, π 2 由(2c)2=r2 1+r2-2r1r2cos , 3
2 得 4c2=r2 1+r2-r1r2.

? ? ?r1+r2=2a1, ?r1=a1+a2, 由? 得? ?r1-r2=2a2 ?r2=a1-a2, ? ?

1 1 a1+a2 r1 ∴ + = = . e1 e2 c c
2 r2 4r1 1 令 m= 2= 2 2 c r1+r2-r1r2



4 4 = , r2 2 r2 r2 1 2 3 1+? ? - ? - ?+ r1 r1 r1 2 4

r2 1 16 当 = 时,mmax= , r1 2 3 r1 4 3 ∴( )max= , c 3 1 1 4 3 即 + 的最大值为 . e1 e2 3 2.(2014· 辽宁)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象 限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( 1 A. 2 3 C. 4 答案 D p p 解析 抛物线 y2=2px 的准线为直线 x=- ,而点 A(-2,3)在准线上,所以- =-2,即 p 2 2 k =4,从而 C:y2=8x,焦点为 F(2,0).设切线方程为 y-3=k(x+2),代入 y2=8x 得 y2-y+ 8 k 1 2k+3=0(k≠0)①,由于 Δ=1-4× (2k+3)=0,所以 k=-2 或 k= . 8 2 因为切点在第一象限, 2 B. 3 4 D. 3 )

1 所以 k= . 2 1 将 k= 代入①中,得 y=8,再代入 y2=8x 中得 x=8, 2 所以点 B 的坐标为(8,8), 4 所以直线 BF 的斜率为 . 3 押题精练 a2 x2 y2 1.已知圆 x2+y2= 上点 E 处的一条切线 l 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F,且与 16 a b → 1 → → 双曲线的右支交于点 P,若OE= (OF+OP),则双曲线的离心率是_____________. 2 答案 26 4

解析 如图所示,设双曲线的右焦点为 H,连接 PH, a 由题意可知|OE|= , 4 → 1 → → 由OE= (OF+OP),可知 E 为 FP 的中点. 2 由双曲线的性质,可知 O 为 FH 的中点, 1 所以 OE∥PH,且|OE|= |PH|, 2 a 故|PH|=2|OE|= . 2 由双曲线的定义,可知|PF|-|PH|=2a(P 在双曲线的右支上), 所以|PF|=2a+|PH|= 5a . 2

因为直线 l 与圆相切,所以 PF⊥OE. 又 OE∥PH,所以 PF⊥PH.在△PFH 中,|FH|2=|PH|2+|PF|2, a 5a 即(2c)2=( )2+( )2, 2 2 c 26 26 整理得 = ,即 e= . a 4 4 x2 y2 2.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A、B,点 P 在椭圆上且异于 A、B 两点,O a b 为坐标原点. 1 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为- ,求椭圆的离心率; 2 (2)若|AP|=|OA|,证明:直线 OP 的斜率 k 满足|k|> 3. (1)解 设点 P 的坐标为(x0,y0),y0≠0.

2 x0 y2 0 由题意,有 2+ 2=1.① a b

由 A(-a,0),B(a,0),得 kAP=

y0 y0 ,k = . x0+a BP x0-a

1 2 2 由 kAP· kBP=- ,可得 x2 0=a -2y0, 2 代入①并整理得(a2-2b2)y2 0=0. a2-b2 1 2 由于 y0≠0,故 a =2b .于是 e = 2 = ,所以椭圆的离心率 e= . a 2 2
2 2 2

(2)证明 方法一 依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设点 P 的坐标为(x0,y0).由条件得 y =kx0, ? ?0 ?x2 y2 0 0 + 2 ?a b2=1. ? a2b2 消去 y0 并整理,得 x2 = ,② 0 k2a2+b2 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及 y0=kx0,
2 得(x0+a)2+k2x2 0= a .

整理得(1+k2)x2 0+2ax0=0. -2a 而 x0≠0,于是 x0= , 1+k2 a?2 代入②,整理得(1+k2)2=4k2? ?b? +4. 又 a>b>0,故(1+k2)2>4k2+4,即 k2+1>4, 因此 k2>3,所以|k|> 3. 方法二 依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,可设点 P 的坐标为(x0,kx0).
2 x2 k2x0 0 由点 P 在椭圆上,有 2+ 2 =1. a b

因为 a>b>0,kx0≠0, x2 k2x2 0 0 2 所以 2+ 2 <1,即(1+k2)x2 0<a .③ a a
2 由|AP|=|OA|及 A(-a,0),得(x0+a)2+k2x2 0=a ,

- 2a 整理得(1+k2)x2 . 0+2ax0=0,于是 x0= 1+k2 4a2 代入③,得(1+k2) <a2,解得 k2>3, ?1+k2?2 所以|k|> 3.

(推荐时间:60 分钟) 一、选择题 x2 y2 1.已知椭圆 + 2=1(0<b<2),左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两 4 b 点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值是( A.1 B. 2 答案 D 解析 由椭圆的方程,可知长半轴长 a=2;由椭圆的定义,可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8, 2b 2 所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3.由椭圆的性质, 可知过椭圆焦点的弦中, 通径最短, 即 =3, a 可求得 b2=3,即 b= 3. x2 y2 y2 x2 2.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)以及双曲线 2- 2=1 的渐近线将第一象限三等分,则双 a b a b x2 y2 曲线 2- 2=1 的离心率为( a b 2 3 A.2 或 3 C.2 或 3 答案 A x2 y2 b 3 解析 由题意,可知双曲线 2- 2=1 的渐近线的倾斜角为 30° 或 60° ,则 = 或 3. a b a 3 c 则 e= = a 故选 A. x2 y2 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛物线 y2 a b =24x 的准线上,则双曲线的方程为( x y A. - =1 36 108 x2 y2 C. - =1 108 36 答案 B x2 y2 解析 由双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,可设双曲线的方程为 x2 a b
2 2 2 2

)

3 C. 2

D. 3

) B. 6或 2 3 3

D. 3或 6

c2 = a2

b 2 3 1+? ?2= 或 2. a 3

)

x y B. - =1 9 27 x2 y2 D. - =1 27 9

y2 - =λ(λ>0). 3 x2 y2 因为双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上, 所以 F(-6,0)是双曲 a b x2 y2 线的左焦点,即 λ+3λ=36,λ=9,所以双曲线的方程为 - =1.故选 B. 9 27 y2 x2 → → 4.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0),A(4,0)为长轴的一个端点,弦 BC 过椭圆的中心 O,且AC· BC a b → → → → =0,|OB-OC|=2|BC-BA|,则其焦距为( 4 6 A. 3 8 6 C. 3 答案 C → → 1→ 解析 由题意,可知|OC|=|OB|= |BC|,且 a=4, 2 → → → → 又|OB-OC|=2|BC-BA|, → → → → 所以,|BC|=2|AC|.故|OC|=|AC|. → → → → 又AC· BC=0,所以AC⊥BC. → → 故△OAC 为等腰直角三角形,|OC|=|AC|=2 2. 22 22 16 不妨设点 C 在第一象限,则点 C 的坐标为(2,2),代入椭圆的方程,得 2+ 2=1,解得 b2= . 4 b 3 16 32 4 6 所以 c2=a2-b2=42- = ,c= . 3 3 3 8 6 故其焦距为 2c= . 3 5.设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为( 3 3 A. 4 9 3 B. 8 63 9 C. D. 32 4 ) 4 3 B. 3 2 3 D. 3 )

答案 D 3 解析 由已知得焦点坐标为 F( ,0), 4 因此直线 AB 的方程为 y= 即 4x-4 3y-3=0. 方法一 联立抛物线方程,化简得 4y2-12 3y-9=0, 故|yA-yB|= ?yA+yB?2-4yAyB=6. 3 3 (x- ), 3 4

1 1 3 9 因此 S△OAB= |OF||yA-yB|= × ×6= . 2 2 4 4 21 9 方法二 联立方程得 x2- x+ =0, 2 16 21 故 xA+xB= . 2 21 3 根据抛物线的定义有|AB|=xA+xB+p= + =12, 2 2 同时原点到直线 AB 的距离为 h= 1 9 因此 S△OAB= |AB|· h= . 2 4 x2 y2 6.椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆 M 上任一点,且 a b → → PF1· PF2 的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中 c= a2-b2,则椭圆 M 的离心率 e 的取值范围 是( ) 1 2 B.[ , ] 2 2 1 D.[ ,1) 2 3 = , 4 +?-4 3? 8
2 2

|-3|

1 1 A.[ , ] 4 2 C.( 2 ,1) 2

答案 B 解析 设 P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0), → → 则PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y), → → PF1· PF2=x2+y2-c2. 又 x2+y2 可看作 P(x,y)到原点的距离的平方, → → 所以(x2+y2)max=a2,所以(PF1· PF2)max=b2, 1 1 所以 c2≤b2=a2-c2≤3c2,即 ≤e2≤ , 4 2 1 2 所以 ≤e≤ .故选 B. 2 2 二、填空题 y2 2 7.(2014· 北京)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 -x =1 具有相同渐近线,则 C 的方程为 4 ________;渐近线方程为________. 答案 x2 y2 - =1 3 12 y=± 2x

y2 解析 设双曲线 C 的方程为 -x2=λ, 4

将点(2,2)代入上式,得 λ=-3, x2 y2 ∴C 的方程为 - =1, 3 12 其渐近线方程为 y=± 2x. 8.已知点 P(0,2),抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,线段 PF 与抛物线 C 的交点为 M,过 M 作抛物线准线的垂线,垂足为 Q,若∠PQF=90° ,则 p=________. 答案 2

p 解析 由抛物线的定义可得|MQ|=|MF|,F( ,0),又 PQ⊥QF,故 M 为线段 PF 的中点,所 2 p p p 以 M( ,1),把 M( ,1),代入抛物线 y2=2px(p>0)得,1=2p× , 4 4 4 解得 p= 2,故答案为 2. x2 y2 9.抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 与双曲线 - =1 的右焦点重合,过点 P(2,0)且斜率为 3 6 1 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,则弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为________. 答案 11 x2 y2 解析 因为双曲线 - =1 的右焦点坐标是(3,0). 3 6 p 所以 =3,所以 p=6. 2 即抛物线的标准方程为 y2=12x. 设过点 P(2,0)且斜率为 1 的直线 l 的方程为 y=x-2, 联立 y2=12x 消去 y 可得 x2-16x+4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=16, 所以弦 AB 的中点到抛物线准线的距离为 x1+x2+p 16+6 = =11.故填 11. 2 2 x2 y2 10.已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,点 P 在双曲线上且不与顶点重 a b 合, 过 F2 作∠F1PF2 的角平分线的垂线, 垂足为 A.若|OA|= b, 则该双曲线的离心率为_______. 答案 2

解析 延长 F2A 交 PF1 于 B 点,则|PB|=|PF2|, 依题意可得|BF1|=|PF1|-|PF2|=2a. 又因为点 A 是 BF2 的中点. 1 所以得到|OA|= |BF1|,所以 b=a. 2 所以 c= 2a.所以离心率为 2. 三、解答题 11. 已知曲线 C 上的动点 P(x, y)满足到定点 A(-1,0)的距离与到定点 B(1,0)的距离之比为 2.

(1)求曲线 C 的方程; (2)过点 M(1,2)的直线 l 与曲线 C 交于两点 M、N,若|MN|=4,求直线 l 的方程. 解 (1)由题意得|PA|= 2|PB| 故 ?x+1?2+y2= 2 ?x-1?2+y2 化简得:x2+y2-6x+1=0(或(x-3)2+y2=8)即为所求. (2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1. 将 x=1 代入方程 x2+y2-6x+1=0 得 y=± 2, 所以|MN|=4,满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx-k+2, 由圆心到直线的距离 d=2= |3k-k+2| , 1+k2

解得 k=0,此时直线 l 的方程为 y=2. 综上所述,满足题意的直线 l 的方程为 x=1 或 y=2. x2 y2 12.设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,过 F1 且斜率为 1 的直线 l 与 a b E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 解 (1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a, 4 因为 2|AB|=|AF2|+|BF2|,所以|AB|= a. 3 l 的方程为 y=x+c,其中 c= a2-b2. y=x+c, ? ? 2 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组?x y ?a2+b2=1, ? 化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0, -2a2c a2?c2-b2? 则 x1+x2= 2 . 2 ,x1x2= a +b a2+b2 因为直线 AB 的斜率为 1, 所以|AB|= 2|x2-x1|= 2[?x1+x2?2-4x1x2]. 4 4ab2 故 a= 2 2,得 a2=2b2, 3 a +b a2-b2 c 2 所以 E 的离心率 e= = = . a a 2 (2)设 AB 的中点为 N(x0,y0),由(1)知

x1+x2 -a2c 2 c x0= = 2 2=- c,y0=x0+c= . 2 3 3 a +b 由|PA|=|PB|,得 kPN=-1, 即 y0+1 =-1, x0

得 c=3,从而 a=3 2,b=3. x2 y2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 18 9 x2 13.(2013· 北京)已知 A,B,C 是椭圆 W: +y2=1 上的三个点,O 是坐标原点. 4 (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. x2 解 (1)由椭圆 W: +y2=1,知 B(2,0) 4 ∴线段 OB 的垂直平分线 x=1. 在菱形 OABC 中,AC⊥OB, x2 3 将 x=1 代入 +y2=1,得 y=± . 4 2 ∴|AC|=|yA-yC|= 3. 1 1 ∴菱形的面积 S= |OB|· |AC|= ×2× 3= 3. 2 2 (2)假设四边形 OABC 为菱形. ∵点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点, ∴可设 AC 的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0).
?x2+4y2=4, ? 由? ?y=kx+m ?

消 y 并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m =- , =k· +m= . 2 2 2 1+4k2 1+4k2 4km m ∴线段 AC 中点 M?-1+4k2,1+4k2?,

?

?

1 ∵M 为 AC 和 OB 交点,∴kOB=- . 4k

?- 1 ?=-1≠-1, 又 k· ? 4k? 4
∴AC 与 OB 不垂直. ∴OABC 不是菱形,这与假设矛盾.

综上,四边形 OABC 不是菱形.


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