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丰台区2017届高三二模数学(理)试题及答案

丰台区 2017 年高三年级第二学期综合练习(二)

4. 下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ? ?
2 (A) x ?

1 2

x 的是


注意事项:

学(理科)
2017. 05

y

2

4

?1

(B)

x

2

4

? y ?1

2

(C)

y

2

4

? x ?1

2

2 (D) y ?

x

2

4

?1

(本试卷满分共 150 分,考试时间 120 分钟) 1. 答题前,考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字 迹签字笔填写清楚,并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区” 贴好条形码。 2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式 将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须 使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。 3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效, 在试卷、草稿纸上答题无效。 4. 请保持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损。

5. 已知向量 a ? ( (A) (C)
π 4
π 2

3 1 , ) , b ? ( 3, b 的夹角为 ? 1) ,则 a , 2 2

(B) (D)

π 3
2π 3
1 1 1 1 2

6. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为 正方形,则该几何体最大的侧面的面积为 (A) 1 (C) 3 (B) 2 (D)2

正视图

侧视图

俯视图

第一部分

(选择题 共 40 分)

7. S ( A) 表示集合 A 中所有元素的和,且 A ? ?1,2,3,4,5? ,若 S ( A) 能被 3 整除,则符 合条件的非空集合 A 的个数是 (A)10 (B)11 (C)12 (D)13

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1. 已知集合 A ? ?x 1 ? x ? 4?, B ? ?x x ? 2? ,那么 A U B ? (A) (2,4) (B) (2,4 ] (C)[ 1,+ ? ) (D) (2,+?)

8. 血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体 内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间. 已知成人单次服用 1 单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:

2. 下列函数中,既是偶函数又是 (0,+?) 上的增函数的是 (A) y ? ? x 3 (C) y ? x 2
? 4
1

(B) y ? 2

x

(D) y ? log3 (? x)

3. 在极坐标系中,点 ( 2, ) 到直线 ? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的距离等于 (A)
2 2

(B) 2

(C)

3 2 2

(D)2 根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,不正确 的个数是 ... ①首次服用该药物 1 单位约 10 分钟后,药物发挥治疗作用

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②每次服用该药物 1 单位,两次服药间隔小于 2 小时,一定会产生药物中毒 ③每间隔 5.5 小时服用该药物 1 单位,可使药物持续发挥治疗作用 ④首次服用该药物 1 单位 3 小时后,再次服用该药物 1 单位,不会发生药物中毒 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个
(非选择题 共 110 分)

(D)4 个 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分)

第二部分

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在复平面内,复数 3 ? 4i 对应的点的坐标为
i



在锐角 △ ABC 中, 2 a sin B ? b . (Ⅰ)求∠A 的大小; (Ⅱ)求 3 sin B ? cos(C ? ) 的最大值.
6 ?

?6 10. 执行右图所示的程序框图,若输入 x 的值为 6,则输出的 x 值





11. 点 A 从 (1,0) 出发,沿单位圆按逆时针方向运动到点 B ,若点

B 的坐标是 (? , ) ,记 ?AOB ? ? ,则 sin 2? =

3 4 5 5



16.(本小题共 13 分) 某社区超市购进了 A,B,C,D 四种新产品,为了解新产品的销售情况,该超市随
?, 15 ) 机调查了 15 位顾客 (记为 ai ,i ? 1,2,3, 购买这四种新产品的情况, 记录如下 (单

? y ? 1, ? 12. 若 x,y 满足 ? y ? x ? 1,且 z ? x 2 ? y 2 的最大值为 10, ?x ? y ? m, ?
则m? .

位:件) :
顾 客 产 品 A B C D 1 1

13. 已知函数 f (x)的定义域为 R . 当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x) ? x ;当 ?e ? x ? e 时,
f (? x) ? ? f ( x) ;当 x ? 1 时, f ( x ? 2) ? f ( x) ,则 f (8) ?

a1
1

a2

a3

a4
1

a5

a6

a7

a8
1

a9

a10

a11
1

a12

a13

a14
1

a15



14. 已知 O 为 △ ABC 的外心,且 BO ? ? BA ? ? BC .
? ①若 ?C ? 90 ,则 ? ? ? ? ?

uu r

uu r

uu r

1

1 1 1 1

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

; .

②若 ?ABC ? 60 ,则 ? ? ? 的最大值为

(Ⅰ)若该超市每天的客流量约为 300 人次,一个月按 30 天计算,试估计产品 A 的月销售量(单位:件) ; (Ⅱ)为推广新产品,超市向购买两种以上(含两种)新产品的顾客赠送 2 元电 子红包 .现有甲、乙、丙三人在该超市购物,记他们获得的电子红包的总金额为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ) 若某顾客已选中产品 B, 为提高超市销售业绩, 应该向其推荐哪种新产品?

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(结果不需要证明)

17.(本小题共 14 分) 如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为等腰梯形, AB ∥ CD , AB ? 2AD ? 2 ,
?DAB ? 60 60? ,四边形 CDEF 为正方形,平面 CDEF ? 平面 ABCD .
?

19.(本小题共 14 分)

3 已知椭圆 E 的右焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,点 M (1, ) 在椭圆 E 上. 2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 P(?4,0) ,直线 y ? kx ? 1 与椭圆 E 交于 A,B 两点,若直线 PA,PB 均与圆

(Ⅰ)若点 G 是棱 AB 的中点,求证: EG ∥平面 BDF ; (Ⅱ)求直线 AE 与平面 BDF 所成角的正弦值; (Ⅲ)在线段 FC 上是否存在点 H ,使平面 BDF ? 平面 HAD ?若存在,求 值;若不存在,说明理由.
E F

FH 的 HC

x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,求 k 的值 .

20.(本小题共 13 分)
D

若无穷数列 ?an ? 满足: ?k ? N* ,对于 ?n ? n0 (n0 ? N* ) ,都有 an ?k ? an ? d (其中 d
C

为常数) ,则称 ?an ? 具有性质“ P(k ,n0 ,d ) ”.
A G B

(Ⅰ)若 ?an ? 具有性质“ P(3,2,0) ” ,且 a2 ? 3 , a4 ? 5 , a6 ? a7 ? a8 ? 18 ,求 a 3 ; (Ⅱ)若无穷数列 ?bn ? 是等差数列,无穷数列 ?cn ? 是公比为正数的等比数列,
b1 ? c3 ? 2 , b3 ? c1 ? 8 , an ? bn ? cn ,判断 ?an ? 是否具有性质“ P(2, 1,0) ” ,并说明理由;

18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? a ln x ? a . (Ⅰ)当 a ? e 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
a (Ⅱ)证明:对于 ?a ? (0,e) , f ( x ) 在区间 ( ,1) 上有极小值,且极小值大于 0. e
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x

(Ⅲ)设 ?an ? 既具有性质“ P(i,2,d1 ) ” ,又具有性质“ P ( j,2,d 2 ) ” ,其中 i,j ? N* ,
i ? j , i, j 互质,求证: ?an ? 具有性质“ P( j ? i, i ? 2,

j ?i d1 ) ”. i

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(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

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