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2013届致远中学高三下第四周综合模拟一


2013 届致远中学高三下第四周综合模拟一 一、选择题: (本大题共 0 小题,每小题 5 分,共 50 分, ) 1、若 a+ bi=

5 (i 是虚数单位,a,b ? R),则 ab= 1 ? 2i
(D) 2





(A) -2 (B) -i (C) i

2、 一次数学测验后,从甲、乙两班各抽取 9 名同学的成绩进行统计分析,绘成茎叶图如右图.据此估计 两个班成绩的中位数的差的绝对值为 (A) 8 3、若 sin ? A. ?
7 9





(B) 5

(C) 4

(D) 2 (
1 3
2

? π ? ? ? ? 1 ,则 cos ? 2π ? 2? ? ? ? ? ? ?6 ? 3 ? 3 ?
B.1 3


7 9

C.

D.

4、 已知正项等差数列{an}满足:a n ?1 ? a n ?1 ? a n (n ? 2) 等比数列{bn}满足:bn ?1bn ?1 ? 2bn (n ? 2) , 则 log 2 (a 2 +b 2 )= (A) -1 或 2 (B) 0 或 2 ( (C) 2 ) (D) 1

5、右图是寻找“徽数”的程序框图.其中“S mod l0 表示自然 数 S 被 10 除 所得的余数,“S \ 10”表示自然数 S 被 10 除所 得的商.则根据上述程 序框图,输出的“徽数 S”为 (A) 18
9

( (C) 14

) (D) 12
2 9

(B) 16

6、若 ( x ? 2 ? m) ? a 0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) ? ... ? a9 ( x ? 1) ,且 (a1+a3+...+a9)2-(a0+a2+...+a8 )2=39,则实数 m 的值为( (A) 1 或-3 (B) -1 或 3 (C) 1 (D) -3 )

7、如图,ΔABC 中, ?A 且

= 600, ?A 的平分线交 BC 于 D,若 AB = 4, )则 AD 的长为( )

(A) 5 3 (B) 4 3 (C)

3 3 (D) 2 3

8、若直角坐标系中有两点 P, Q 满足条件: (1) P, Q 分别在函数 y ? f ( x ) 、 y ? g ( x ) 的图象上, (2) P, Q 关于点(1,0)对称,则对称点对( P, Q )是一个“和谐点对” 。函数 y ?
y ? 2 sin πx ( ?2 ? x ? 4) 的图象中“和谐点对”的个数是

1 1? x

的图象与函数



) D.8
2 2

A.2
x
2

B.4
y
2

C.6

a2 9、过双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F ( ? c, 0)( c ? 0) ,作圆 x ? y ? 的切线,切点为 E,延 4 a b

长 FE 交双曲线右支于点 P,若 OP ? 2OE ? OF ,则双曲线的离心率为 A. 10 B.
10 5

??? ?

??? ?

??? ?

( D.


2

C.

10 2

10、已知函数, 时, (A) 2
π π 3

, 恒成立,则 b-a 的最大值为 (B) 3 (C) 4 (

,若 )

,且当

(D) 5

二、填空题: (本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分.) 11、由直线 x ? ? , x ?
3 , y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为

.根号 3

12、 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为 2 的正方形), 则该几何体外接球的体积为_______. 4 3?

?x ? 0 ? 13、设动点 P(x,y)在区域Ω : ? y ? x 上(含边界),过点 P 任作直线 l, ?x ? y ? 4 ?
设直线 l 与区域Ω 的公共部分为线段 AB,则以 AB 为直径的圆的面积的 最大值为______. 4? 14、在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数, 那么就称它们 为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数.如排列 1,3,5,4,2 中,3,2 ; 5,4 ; 5,2 ; 4,2 为逆序,逆序数是 4.现有从 1?101 这 101 个自然数的排列:1,3,5, C 7,?,99 ,101 ,100 ,98,?,6,4,2 ,则此排 列的逆序数是______.2500 A 15、如图,在⊙ O 中, AB 是弦, AC 是⊙O 的切线, A 是切点,过 B 作 BD⊥AC 于 D, BD 交⊙ O 于 E 点,若 AE 平分∠BAD,则∠BAD= D E O B

16、在极坐标系中,直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 与圆 ? ? 2 sin ? 的位置关系是______ 三、解答题:本大颶共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、将函数:y= sin:C 的图像向右平移

? 个单位,再将所得的图像上各点的横坐标不变,纵坐标伸长到 3

原来的 4 倍,这样就得到函数/(X)的图像,若 g ( x) ? f ( x) cos x ? 3 (I)将函数 g(x)化成. A sin(?x ? ? ) ? B (其中 A, ? ? 0, ? ? [?

? ?

, ] )的形式; 2 2

(II)若函数 g(x)在区间 解: (Ⅰ)? g ( x) ? 4 sin( x ? (Ⅱ)故 ? 0 的最小值为

上的最大值为 2,试求θ 0的最小值.

?
3

) cos x ? 3

5? 12

? 2 sin( 2 x ? ) 3

?



18、某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了 n 位校友(n>8 且 n ? N * ),其中女校友 6 位,组委会对 这 n 位校友登记制作了一份校友名单, 现随机 从中选出 2 位校友代表, 若选出的 2 位校友是一男一 女,则称为“最佳组合 (I )若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于

1 ,求 n 的最大值; 2

(II)当 n =12 时,设选出的 2 位校友中女校友人数为 ? ,求 ? 的分布列和 E? 解: (Ⅰ)由题可知,所选两人为“最佳组合”的概率 ? 得 9 ? n ? 16 ,故 n 的最大值为 16
1 1 Cn ? 6C6 12(n ? 6) ? 2 Cn n(n ? 1)

………3 分

…………… 6 分

2 2 1 1 C6 C6 5 5 C6C6 6 (Ⅱ)则 P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? 2 ? , P(? ? 2) ? 2 ? C12 11 C12 22 C12 22

? E? ? 0 ?

5 6 5 ? 1? ? 2 ? ? 1 …………………………………………………12 分 22 11 22

19、如图,直角梯形 ABCD 中, ?A ? ?B ? 90 0 ,AD = AB = 2, BC = 3, F分别是 AD,BC 上的两点,且AE =BF= E, 1,G 为 AB 中点,将四边形 ABFE 五沿 EF 折起到(如 图 2)所示的位置,使得 EG 丄 GC,连接 AD、B C、AC 得(图 2)所示六面体. (I )求证:EG 丄平面 CFG; (II)求二面角 A —CD-E 的余弦值. 方法一:得 n1 ? (2,2,1) …………………9 分 又 n2 ? (1,0,0) 为平面 CDEF 的法向量, 设二面角 A ? CD ? E 为 ? ,则 cos n1 , n2 ?

2 2 2 ? ,即 cos ? ? 3 4 ? 4 ?1 3

20、已知数列 {a n } 满足: a1 ? 1, an ? an ?1 ? 4n, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和.数列 {bn } 前 n 项的积为 Tn ,且
n ( n ?1)

T ?2
n

2

(1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; (2)是否存在常数 a,使得 {Sn ? a} 成等差数列?若存在,求出 a,若不存在,说明理由. (3)是否存在 m ? N ,满足对任意自然数 n ? m 时, bn ? Sn 恒成立,若存在,求出 m 的值;若不存在, 说明理由. 20.解: (Ⅰ) ? n ? N ? , an ? 2n ? 1 ? n ? N ? , bn ? 2 解(2)? 常数 a 不存在 (3)存在 m=4 证明 2 ? n (用数学归纳法)
n 2
n
*

21、已知椭圆

x2 y2 x2 y2 与双曲线 2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 1(0 ? m 2 ? 3) 有公共的焦点,过椭圆 E 2 2 a b m 3?n
2

的右顶点及任意作直线 l,设直线 l 交抛物线:y =2x 于 M、N两点,且 OM 丄 ON. (I) 求双曲线的焦点坐标和椭圆 E 的方程; (II)设 P 是椭圆 E 上第一象限内的点,点 P 关于原点 0 的对称点为 A、关于 x 轴的对 称点为 Q,线段 PQ 与 x 轴相交于点 C,点 D 为 CQ 的中点,若直线 AD 与椭圆 E 的另一个交点为 B,试判断直线 PA、PB 是 否相互垂直?并证明你的结论. 解:(Ⅰ)解得 a ? 2

x2 ? y2 ? 1 …由(1)得 c ? 3 ,所以椭圆 E 的方程为 4

解法 3:判断结果: PA ? PB 恒成立................7 分
2 2 x12 x0 y12 ? y0 1 2 2 ? y1 ? 1, ? y0 ? 1 ,两式相减得 2 证明:设 B( x1 , y1 )、P( x0 , y0 ) ,则 A(? x0 ,? y0 ) , ?? , 2 4 4 x1 ? x0 4

故 k BA ? k BP ?

2 y1 ? y0 y1 ? y0 y12 ? y0 1 ? ? 2 ?? 2 x1 ? x0 x1 ? x0 x1 ? x0 4

……………………10 分

又 k AB ? k AD ? 所以 k PAk PB ?

?

1 y0 ? y0 y 1 y x 2 ? 0 ,代入上式可得 k PB ? ? ? 0 ? ? 0 x0 ? x0 4 x0 4 4 x0 y0

…12 分

y0 x0 (? ) ? ?1 ,即 PA? PB ………………………………………13 分 x0 y0

22、已知函数 f ( x) ? ax ?

2 ? 3 ln x ,其中 a 为常数. x 2 3 2 3 3 2

(I )当函数 f(x)图象在点 ( , f ( )) 处的切线的斜率为 1 时,求函数 f(x)在 [ ,3] 上的最小值; (II)若函数 f(x)在区间(0, ? )上既有极大值又有极小值,求 a 的取值范围; (III)在(I)的条件下,过点 P(1,-4)作函数 F(x)=x [f(x)+3lnx-3]图象的切线,试问这样的切线有几 条?并求出这些切线方程. 解:(Ⅰ)于是可得: f ( x)小 ? f (2) ? 1 ? 3ln 2 解(Ⅱ)? f ?( x) ? a ?
2
2

2 3 ax2 ? 3x ? 2 ? ? ( x ? 0) ………5 分 x2 x x2

由 题 可 得 方 程 ax ? 3x ? 2 ? 0 有 两 个 不 等 的 正 实 根 , 不 妨 设 这 两 个 根 为 x1、x2 , 并 令

h( x) ? ax2 ? 3x ? 2
? ?? ? 9 ? 8a ? 0 ?? ? 9 ? 8a ? 0 ? ? ?3 3 ? ? 则 ? x1 ? x 2 ? ? 0 (也可以 ?? ?0? a ?0) 2a a ? ? 2 ? ?h(0) ? 0 ? ? x1 x 2 ? a ? 0 ?
解 ( Ⅲ ) 由 ( Ⅰ )

解得 0 ? a ?

9 ………8 分 8

f ( x) ? x ?

2 ? 3 ln x x





F ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2x( x ? 0)



F ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 2( x ? 0) …………9 分
设切点为 T ( x0 , y0 ) ,由于点 P 在函数 F (x) 的图像上, (1)当切点 T 不与点 P(1,?4) 重合,即当 x0 ? 1时. 由于切线过点 P(1,?4) ,则

y0 ? 4 2 ? 3 x0 ? 6 x0 ? 2 x0 ? 1

3 2 2 所以 x0 ? 3x0 ? 2x0 ? 4 ? ( x0 ? 1)(3x0 ? 6x0 ? 2) , 3 2 化简得 x0 ? 3x0 ? 3x0 ? 1 ? 0 ,即 ( x0 ? 1) 3 ? 0 ,解得 x0 ? 1 (舍去)……12 分

(2)当切点 T 与点 P(1,?4) 重合,即 x0 ? 1时. 则切线的斜率 k ? F ?(1) ? ?5 ,于是切线方程为 5x ? y ? 1 ? 0 综上所述,满足条件的切线只有一条,其方程为 5x ? y ? 1 ? 0 ……………13 分


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