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新课标高中数学必修+选修知识点精华归纳-08-排列组合与概率统计(精心排版校正)

排列组合 & 概率统计
统计(必修 3 第二章)
1、抽样方法:简单随机抽样(总体个数较少)、系统抽 样(总体个数较多)、分层抽样(总体中差异明显) * 在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本,每 个个体被抽到的机会(概率)均为 n / N . 2、总体分布的估计: ⑴ 一表二图:①频率分布表—数据详实;②频率分布 直方图—分布直观; ③频率分布折线图—便于观察总体 分布趋势 * 总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵ 茎叶图: ① 适用于数据较少的情况, 从中便于看出数据的分布, 以及中位数、众位数等。 ② 个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大 书写,相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计: x ? x ? x ? ?? xn ⑴ 平均数: x ? 1 2 3 n 取值为 x1 , x 2 , ? , x n 的频率分别为 p1 , p 2 , ? , p n , 则其平 均数为 x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ; * 频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵ 方差 & 标准差:一组样本数据 x1 , x 2 , ? , x n
n 1 n 1 2 方差:s ? ? ( xi ? x) ; 标准差:s ? ( x i ? x) n? n i ?1 i ?1

⑴ 基本事件: 一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵ 古典概型的特点:① 所有的基本事件只有有限个; ② 每个基本事件都是等可能发生。 ⑶ 古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事 件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事件,则 事件 A 发生的概率 P( A) ?
m . n

3、几何概型: ⑴ 几何概型的特点:① 所有的基本事件是无限个;② 每个基本事件都是等可能发生。 ⑵ 几何概型概率计算公式: P( A) ?
d的测度 D的测度

测度根据题目确定, 一般为线段、 角度、 面积、 体积等。 4、互斥事件: ⑴ 不可能同时发生的两个事件称为互斥事件; ⑵ 若事件 A1 , A2 , ? , An 任意两个都是互斥事件, 则称事 件 A1 , A2 , ???, An 彼此互斥。 ⑶ 若事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥,则
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

⑷ 对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称 这两个事件为对立事件。 ① 事件 A 的对立事件记作 A :
P( A) ? P( A) ? 1, P( A) ? 1 ? P( A)

2

2

② 对立事件一定是互斥事件, 反之未必. “互
斥”是“对立”的必要但不充分的条件.

* 方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。平均数反 映数据总体水平;方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶ 线性回归方程 ① 变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ② 制作散点图,判断线性相关关系 ③ 线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
?

计数原理 (选修 2-3 第一章)
1、基本计数原理 ⑴ 分类加法计数原理:(分类相加) 完成一件事有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种 不同的方法, 在第二类办法中有 m2 种不同的方法??, 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,则完成这件事情 共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理:(分步相乘) 完成一件事需要 n 个步骤,做第一个步骤有 m1 种 不同的方法,做第二个步骤有 m2 种不同的方法??, 做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法,则完成这件事情共 有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法. 2、排列与组合 ⑴ 排列定义: n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元 从 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同的元素 中任取 m 个元素的一个排列. ⑵ 组合定义: n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元 从 素并成一组,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素 的一个组合.

? ? xi yi ? nx y ? ? b ? i ?1n ? 2 ? ? xi2 ? nx ? i ?1 ? ?a ? y ? bx ?
n

*

线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。

概率(必修 3 第三章)
1、随机事件及其概率: ⑴ 事件:试验的每一种可能结果,大写英文字母表示; ⑵ 必然事件、不可能事件、随机事件的特点; ⑶ 随机事件 A 的概率: P( A) ? 2、古典概型:
m ,0 ? P( A) ? 1 . n

⑶ 排列数: n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元素 从 的所有排列的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的排列数,记作 An .
m

⑴ 二项展开式:

? a ? b?

n

0 1 2 r ? Cn a n ? Cn a n ?1b ? Cn a n ?2b 2 ? ? ? Cn a n ?r b r n ? ? ? Cn b n ? n ? N ? ?

⑷ 组合数: n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个元素 从 的所有组合的个数,叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn . ⑸ 排列数公式:
m ① An ? n ? n ? 1?? n ? 2 ??? n ? m ? 1? ?

⑵ 二项展开式的通项公式:主要用来求指定项
r Tr ?1 ? Cn an?r br ?0 ? r ? n, r ? N , n ? N? ?.

m

n ! ? n ? m ?!

⑶ 项的系数与二项式系数: ① 二者是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系 数都为 1 时,系数就是二项式系数.如:在 (ax ? b)n 的 展开式中, r ? 1 项的二项式系数为 Cn ,第 r ? 1 项的 第
r

② 全排列: A ? n!,规定 0! ? 1 .
n n

⑹ 组合数公式: ① Cn ?
m

n ? n ? 1?? n ? 2??? n ? m ? 1? n ! ? m! m!? n ? m ?!
n?m

系数为 Cn a

r

n ?r r

而 b ; ( x ? ) n 的展开式中的系数等于二

1 x

项式系数; ② 二项式系数一定为正,而项的系数不一定为正. ⑷ ?1 ? x ? 的展开式:
n

② Cn ? Cn
m

,规定 Cn ? 1 .
0 m m m

⑺ 排列与组合的区别:排列有顺序,组合无顺序. ⑻ 排列与组合的联系: An ? Cn ? Am ,即排列就是先 组合再全排列.
m Cn ? m n m m

1 ?1? x?n ? Cn0 xn ? Cn xn?1 ? Cn2 xn?2 ??? Cnn x0 ,

若令 x ? 1 ,则有:

A n ? (n ? 1) ?? ? (n ? m ? 1) n! ? ? (m ? n) 二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数 A m ? (m ? 1) ?? ? 2 ?1 m!? n ? m ?! 0 2 1 3 n?1

1 ?1?1?n ? 2n ? Cn0 ? Cn ? Cn2 ??? Cnn .

的和: Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2

⑼ 常用公式与性质:
n n?1 n n ? n! ? ? n ? 1?!? n!( nAn ? An?1 ? An );

⑸ 二项式系数的性质: ① 对称性:与首末两端“等距离”的二项式系数相等, 即 Cn ? Cn
m n ?m

m m An?1 ? An ? mAm?1 ; n m m m Cn?1 ? Cn ? Cn ?1 ;



r ?1 r Cn?1 ? Crr ? Crr?1 ????? Cn ?1 ? r ? n?

② 增减性与最大值: r ? 当 值逐渐增大;当 r ?

⑽ 解排列组合问题的方法 ① 特殊元素/位置优先法(元素优先法:先考虑有限制 条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先 考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置). ② 间接扣除法(对有限制条件的问题,先从总体考虑, 再把不符合条件的所有情况去掉). ③ 相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑” 为一个大元素,然后再与其余“普通元素”全排列,最 后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置上全排列). ④ 不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某 些元素要在某特殊位置时可采用插空法, 即先安排好没 有限制条件的元素, 然后再把有限制条件的元素按要求 插入排好的元素之间). ⑤ 有序问题组合法. ⑥ 选取问题先选后排法. ⑦ 至多至少问题间接法. ⑧ 相同元素分组可采用隔板法. ⑨ 分组问题: 要注意区分是平均分组还是非平均分组, 平均分成 n 组问题别忘除以 n ! . 3、二项式定理

n ?1 r 时, Cn 的值逐渐减小,且在 2 n 中间取得最大值.当 n 为偶数时, 中间一项 (第 ? 1 项) 2
n

n ?1 r 时, 二项式系数 Cn 的 2

的二项式系数 Cn2 取得最大值.当 n 为奇数时, 中间两项 (第
n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 ? 1 项)的二项式系数 Cn 2 ? Cn 2 相 和 2 2

等并同时取最大值. ⑹ 系数最大项的求法: 设第 r 项的系数 Ar 最大,由 ? ⑺ 赋值法: 设 f ( x) ? (ax ? b) ? a0 ? a1x ? a2 x ? ... ? an x ,
n 2 n

? Ar ? Ar ?1 ?r. ? Ar ? Ar ?1

则有:① a0 ? f (0); ② a0 ? a1 ? a2 ? ... ? an ? f (1); ③ a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? (?1) an ? f (?1);
n

f (1) ? f (?1) ; 2 f (1) ? f (?1) . ⑤ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ... ? 2
④ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? ... ?

随机变量及其分布(选修 2-3 第二章)

3、离散型随机变量的分布列 ⑴ 概率分布(分布列) 设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 ?, ?, X x1 , x2 , xi , xn , 的每一个值 x( i ? 1, 2,?, n ) i 的概率 P( X ? xi ) ? pi ,则称表

X
P

x1
p1

x2
p2

? ?

xi

? ?

xn

pi
n

pn

为随机变量 X 的概率分布,简称 X 的分布列. 性质:① pi ? 0, i ? 1,2,...n; ② 1、基本概念 ⑴ 相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A ) 发生的概率没有影响 (即其中一个事件是否发 生对另一个事件发生的概率没有影响).这样的两个事 件叫做相互独立事件. 当 A、B 是相互独立事件时,那么事件 A ? B 发生 (即 A、B 同时发生)的概率,等于事件 A、B 分别发 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 生的概率的积.即 若 A、B 两事件相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. ⑷ 独立重复试验 ① 一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. ② 独立重复试验的概率公式 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p , 那么在

?p
i ?1

i

? 1.

⑵ 两点分布 若随机变量 X 的分布列如右表所示, X 0 1 则称 X 服从两点分布,称 p ? P( X ? 1) 为成功概率. P 1? p p ⑶ 二项分布 若在一次试验中某事件发生的概率是 p ,则在 n 次 独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率:
k P( X ? k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k 其中 k ? 0,1, 2,...,n ; q ? 1? p ,于是得到随机变量 X

的概率分布如下:

X

0

1
1 Cn p1qn?1

? ?
k

k

?
n?k

n

P

Cn0 p 0 q n

Cn p q

k

?

Cn p q

n

n

0

我们称这样的随机变量 X 服从二项分布,记作 X ~ B?n, p ? ,并称 p 为成功概率. 判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点: ① 对立性: 即一次试验中事件发生与否二者必居其一; ② 重复性:即试验是独立重复地进行了 n 次; ③ 等概率性:在每次试验中事件发生的概率均相等. 注:⑴ 二项分布的模型是有放回抽样; ⑵ 二项分布中的参数是 p, k , n. ⑷ 超几何分布 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发生的概率
k n CM CN?kM ? 为 P( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2,..., m) ,于是得到 n CN 随机变量 X 的概率分布如下: m 0 1 ? X 0 n 1 n m n CM CN?0M CM CN?1M CM CN?m ? ? ?M ? P n n n CN CN CN

n 次独立重复试验中这个试验恰好发生 k 次的概率: k P (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k ? k ? 0,1, 2,?n? . n
⑸ 条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率.记作 P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.

P( B A) ?

P( AB) , P( A) ? 0. P( A)

2、离散型随机变量 ⑴ 随机变量:若随机试验的结果可以用一个变量来表 示,则称之为随机变量,常用字母 X , Y , ? ,? 等表示. ⑵ 离散型随机变量:随机变量可能取值,可按一定次 序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ⑶ 连续型随机变量:随机变量可能取值,可取某一区 间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量. ⑷ 离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 二者均是用变量表示随机试验的结果; 但是离散型随机 变量的结果可以按一定次序一一列出, 而连续性随机变 量的结果不可以一一列出. Y 若 X 是随机变量, ? aX ? b(a, b 是常数) Y 也 则 是随机变量 并且不改变其属性(离散型、连续型).
王新敞
奎屯 新疆

m ? min ?M , n? , n ? N .这样的随机变量 X 的分布列
称之为超几何分布列,且称 X 服从超几何分布. 注:⑴ 超几何分布的模型是不放回抽样; ⑵ 超几何分布中的参数 M , N , n 意义分别是: 总体中的个体总数、 中一类的总数、 N 样本容量.

4、离散型随机变量的均值与方差 ⑴ 离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

统计案例(选修 2-3 第三章)
1、回归分析 ? 回归直线方程 y ? a ? bx ,其中
n n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? nx y ? ?b ? i ?1 n ? i ?1n 2 ? ? ? xi ? x ? ? xi 2 ? nx 2 ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx

X
P

x1

x2

? ?

xi
pi

? ?

xn
pn

p1

p2

? 则 称 E ? X ? ? x p ? x p ? ? i x ip ? ? nx np 离 为 1 1 2 2 ?
散型随机变量 X 的均值或(数学)期望.它反映了离散 型随机变量取值的平均水平. 性质:① E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b. ③若 X ~ B?n, p ? ,则 E ( X ) ? np. ⑵ 离散型随机变量的方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 ②若 X 服从两点分布,则 E ( X ) ? p.

相关系数: r

?

?? x
i ?1 n i ?1

n

i

? x ?? yi ? y ?
2

? ? xi ? x ?
n

?? y
i ?1

n

i

? y?

2

X
P
则称 D( X ) ?

x1

x2
p2
i

? ?
2

xi

? ?

xn

?

? x y ? nxy
i ?1 i i

p1
n

pi
i

pn

? n 2 ?? n ? xi ? nx 2 ?? ? yi2 ? ny 2 ? ?? ? i ?1 ?? i ?1 ?

? ( x ? E ( X )) p 为离散型随机变量 X
i ?1

2、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y ,它们的值域分别为

的方差,并称其算术平方根 D( X ) 为随机变量 X 的 标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动, 集中与离散的程度. D( X ) 越小, X 的稳定性越高,波 动越小,取值越集中; D( X ) 越大, X 的稳定性越差, 波动越大,取值越分散. 性质:① D(aX ? b) ? a2 D( X ). ②若 X 服从两点分布,则 D( X ) ? p(1 ? P). ③若 X ~ B?n, p ? ,则 D( X ) ? np(1 ? P). 5、正态分布 正态变量概率密度曲线函数表达式:

?x1, x2? 和 ? y1, y2? ,其样本频数 2 ? 2 列联表为:

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利 用独立性检验来考察两个变量是否有关系, 并且能较精 确地给出这种判断的可靠程度. 具体的做法:由表中的数据算出随机变量 K 的值:
2

f ? x? ?
其中

?,? 是 参 数 , 且 ? ? 0,?? ? ? ? ?? . 记 作 N (? ,? 2 ) 如下图: .

? 1 e 2??

? x ? ? ?2
2?
2

? x ? R?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 2 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量,K 的值越大, 说明 K2 ?
“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大. 随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强; 反之,越弱。K ? 3.841 时,X 与 Y 无关;K ? 3.841
2 2

2

时,X 与 Y 有 95%可能性有关; K ? 6.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关.
2


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