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高中数学空间几何体习题及解析


空间几何体 1.在球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA、PB、PC 两两垂直且 PA=PB=PC=a,求 这个球的体积. 解 ∵PA、PB、PC 两两垂直,PA=PB=PC=a. ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体. 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点, ∴球是正方体的外接球,正方体的对角线是球的直径. 3 ∴2R= 3a,R= a, 2 4 4 3 3 ∴V= πR3= π( a)3= πa3. 3 3 2 2 2.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球, 并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. 解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.

根据切线性质知,当球在容器内时,水深为 3r,水面的半径为 3r,则容器内水的体积 1 4 5 为 V=V 圆锥-V 球= π·( 3r)2· 3r- πr3= πr3, 3 3 3 而将球取出后,设容器内水的深度为 h, 3 则水面圆的半径为 h, 3 从而容器内水的体积是 1 3 1 V′= π· ( h)2· h= πh3, 3 3 9 3 由 V=V′,得 h= 15r. 3 即容器中水的深度为 15r. 3.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这 个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 解 设正方体的棱长为 a.如图所示. (1)中正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切 点及球心作截面, 所以有 2r1=a, a r1= , 2
2 所以 S1=4πr2 1=πa .

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空间几何体

(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点, 过球心作正方体的对角面得截面, 2 2r2= 2a,r2= a, 2
2 所以 S2=4πr2 2=2πa .

(3)中正方体的各个顶点在球面上, 过球心作正方体的对角面得截面, 3 所以有 2r3= 3a,r3= a, 2
2 所以 S3=4πr2 3=3πa .

综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 4.有一塔形几何体由 3 个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点 是下层正方体上底面各边的中点. 已知最底层正方体的棱长为 2, 求该塔形的表面积(含 最底层正方体的底面面积).



易知由下向上三个正方体的棱长依次为 2, 2,1.

考虑该几何体在水平面的投影, 可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面 面积的二倍. ∴S 表=2S 下+S 侧 =2×22+4×[22+( 2)2+12]=36. ∴该几何体的表面积为 36. 5.有一根长为 3π cm,底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈,并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,求铁丝的最短长度. 解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形 ABCD(如图所示),由题意 知 BC=3π cm,AB=4π cm,点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置,故线段 AC 的长度 即为铁丝的最短长度. AC= AB2+BC2=5π cm, 故铁丝的最短长度为 5π cm. 6.用小立方体搭成一个几何体,使它的正视图和俯视图如图所示,搭建这样的几何体,最
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空间几何体 多要几个小立方体?最少要几个小立方体?

解 由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字, 因此, 用的立方块数最多的情 况是每个方框都用该列的最大数字,即如图①所示,此种情况共用小立方块 17 块.

而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字, 其他方框内的 数字可减少到最少的 1,即如图②所示,这样的摆法只需小立方块 11 块. 7.根据下列对于几何体结构特征的描述,说出几何体的名称. (1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其它各面都是矩形; (2)由五个面围成,其中一个面是正方形,其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形. 8.在水平放置的平面 α 内有一个边长为 1 的正方形 A′B′C′D′, 如图,其中的对角线 A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边 形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出 其面积. 解 (1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形,可满足 每相邻两个面的公共边都相互平行,故该几何体是六棱柱. (2)该几何体的其中一个面是四边形,其余各面都是三角形,并且这些三角形有一个公 共顶点,因此该几何体是四棱锥. 解 四边形 ABCD 的真实图形如图所示, ∵A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形, ∴∠D′A′C′=∠A′C′B′ =45° , ∴在原四边形 ABCD 中, DA⊥AC,AC⊥BC, ∵DA=2D′A′=2, AC=A′C′= 2, ∴S 四边形 ABCD=AC· AD=2 2. 9.如图所示,圆台母线 AB 长为 20 cm,上、下底面半径分别为 5 cm 和 10 cm,从母线 AB 的中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到 B 点,求这条绳长的最小值.

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空间几何体

OA 解 作出圆台的侧面展开图, 如图所示, 由其轴截面中 Rt△OPA 与 Rt△OQB 相似, 得 OA+AB 5 = , 可求得 OA=20 cm.设∠BOB′=α, 由于扇形弧 BB′ 的长与底面圆 Q 的周长相 10 等,而底面圆 Q 的周长为 2π×10 cm.扇形 OBB′的半径为 OA+AB=20+20=40 cm, 扇形 OBB′所在圆的周长为 2π×40=80π cm.所以扇形弧 BB′ 的长度 20π 为所在圆周 1 长的 .所以 OB⊥OB′.所以在 Rt△B′OM 中,B′M2=402+302, 4 所以 B′M=50 cm,即所求绳长的最小值为 50 cm.

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