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2011—2012学年度第一学期期末教学质量检查高一数学B答案


2011—2012 学年度第一学期期末教学质量检查 高一数学(B 卷)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. x (或 三、解答题 15.(本小题满分12分) 解: (1)∵ A ? x ? 2 ? x ? 5 , B ? x x ? 1或x ? 3 , ∴ A ? B = x ? 2 ? x ? 5 ? x x ? 1或x ? 3 = x ? 2 ? x ? 1或3 ? x ? 5 .…………4 分 (2)∵ B ? x x ? 1或x ? 3 , ∴ CU B ? x 1 ? x ? 3 ,
1 2

1 C

2 D

3 D

4 D

5 A

6 B

7 D

8 C

9 A

10 B

x)

12. ? ?2,3

?

13. ? 3

14. 3

?

?

?

?

?

? ?

??

?

?

?

?

?

……………………6 分

∴ A ? (CU B) = x ? 2 ? x ? 5 ? x 1 ? x ? 3 = x 1 ? x ? 3 . ……………………8 分 (3)∵ A ? x ? 2 ? x ? 5 , ∴ CU A ? x x ? ?2或x ? 5 ,

?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

……………………10 分

1 ? x ? 3或x ? 5 . ∴ (CU A) ? (CU B) = x x ? ?2或x ? 5 ? x 1 ? x ? 3 = x x ? ?2或
………………………12 分

?

? ?

??

?

16.(本小题满分 13 分) 解:由 ?

? y ? 2x , 2? . ,解得点 P?1 ?x ? y ? 3

………………………2 分

(1)∵ l ∥ l0 ,所以直线 l 的斜率 kl ? kl0 ? ?2 ,

………………………4 分

, 2? ,故直线 l 的方程为: y ? 2 ? ?2 ? x ?1? ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 .…6 分 又直线 l 过点 P?1

1

(2)因为直线 m 过点 P?1 , 2? ,当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? 2 ? k ? x ?1? , 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 . …………………………7 分

所以原点 O 到直线 l 的距离 d ?

?k ? 2 k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

3 . 4

…………………………9 分

因此直线 l 的方程为:

3 3 x ? y ? ? 2 ? 0 ,即 3x ? 4 y ? 5 ? 0 .………………………10 分 4 4

当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,验证可知符合题意. ………………12 分 综上所述,所求直线 l 的方程为 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . ………………………13 分

17. (本小题满分 13 分) 解:设酒店将房费提高到 x 元,每天的客房的总收入为 y 元. 则每天入住的客房间数为 (300 ? 由 300 ? ……………………1 分 ……………………3 分 ……………………4 分 ……………………5 分

x ? 200 ?10 ? 0 及 x ? 0 , 20

x ? 200 ? 10) 间, 20

得: 0 ? x ? 800 . 依题意知: y ? x(300 ? =?

x ? 200 ? 10) 20

……………………8 分

1 2 x ? 400 x 2 1 2 = ? ( x ? 400 ) ? 80000 . 2
因为 0 ? x ? 800 ,所以当 x ? 400 时, y 有最大值为 80000 元. 答:酒店将房费提高到 400 元时,每天客房的总收入最高.

……………………10 分 ……………………12 分 ……………………13 分

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:取 PD 中点 Q ,连结 AQ 、 EQ .……………1 分

? E 为 PC 的中点,

1 CD .………………2 分 2 1 又? AB // CD 且 AB ? CD , 2
? EQ // CD 且 EQ ? ? EQ // AB 且 EQ ? AB .…………………3 分

2

?四边形 ABED 是平行四边形,
? BE // AQ .
又? BE ? 平面 PAD , AQ ? 平面 PAD , …………………………4 分

? BE // 平面 PAD .
(2)证明:? PA ? 底面 ABCD ,

…………………………5 分

? PA ? CD .
又? CD ? AD ,且 PA ? AD ? A ,

…………………………6 分

? CD ? 平面 PAD ,
? CD ? AQ .
? PA ? AD , Q 为 PD 的中点,
…………………………7 分

? AQ ? PD ,

…………………………8 分

? CD ? PD ? D,
? AQ ? 平面 PDC . ? BE // AQ ,
…………………………9 分

? BE ? 平面 PDC .
(3)? PA ? 底面 ABCD , E 为 PC 的中点, ∴点 E 到面 BCD 的距离 d ?

…………………………10 分

1 1 PA ? . 2 2

…………………………12 分 …………………………13 分 …………………………14 分

1 1 ? S?BCD ? CD ? AD ? ? 2 ?1 ? 1 . 2 2 1 1 1 1 VE ? BCD ? S?BCD ? d ? ?1? ? . 3 3 2 6

19. (本小题满分 14 分) 解:(1)由 2 ? 1 ? 0 ? x ? 0 ,
x

……………………2分 ……………………3分

?函数 f ( x) 的定义域是 {x | x ? 0} .
(2)? f ( x) 为奇函数,定义域是 {x | x ? 0} ,

? f (?1) ? ? f (1) ,
3

……………………4分

即 a ? 4 ? ?a ? 2 , 解得 a ? ?1 . 当 a ? ?1 时, f ( x) ? ?1 ?

……………………5分 ……………………6分

2 1 ? 2x , ? 2x ? 1 1 ? 2x
……………………7分

1 ? 2? x 2 x ? 1 f ( ? x) ? ? ? ? f ( x) , 1 ? 2? x 2 x ? 1
此时 f ( x ) 为奇函数,满足题意. (3) f ( x) 在 (0,??) 上单调递增.证明如下: 证明:在 (0,??) 内任取 x1 , x 2 ,设 x1 ? x 2 ,则

……………………8分 ……………………9分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?

2 2 ) ? (a ? x2 ) 2 ?1 2 ?1 2 2 ? x2 ? x1 2 ?1 2 ?1
x1

……………………10分

?

2(2 x1 ? 2 x2 ) . (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1)

……………………12分

? 0 ? x1 ? x2 ,
? 2 x2 ? 1 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0 , 2 x1 ? 2 x2 ? 0 ,

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
? f ( x) 在 (0,??) 上单调递增.

……………………13 分 ……………………14 分

20. (本小题满分 14 分) 证明:(1)两条直线可化为: l1 : mx ? y ? 1 ? 0, l2 : x ? my ?1 ? 0 ∵ m ?1 ? (?1) ? m ? 0,?l1 ? l2 . 解:(2)由 ? ……………………1 分 ……………………3 分

1? m 1? m ? y ? mx ? 1 , ). 可求得 P 点坐标为 ( 2 m ? 1 m2 ? 1 ? x ? ?my ? 1

……………………4 分

? AP ? (

1? m 1? m 1? m 2 1? m , ……………………5 分 ) ?( 2 ?1)2 ? , BP ? 2 m ?1 m ?1 m2 ? 1 m2 ? 1
1 1 | 1 ? m | | 1 ? m | 1 1 | 1 ? m2 | ? ? ? 2 ? S?APB ? ? ? .…………………7 分 2 2 m2 ? 1 m2 ? 1 2 2 m ? 1
4

∴S ? S?AOB

又∵ ? 1 ? m ? 1 ,即 m2 ? 1 ∴S ?

1 1 1 ? m2 1 , ? ? 2 ? 2 2 2 m ?1 m ?1

……………………8 分

显然,当 m ? 0 时, Smax ? 1 . (3)由 log 2 (tS ? 2) ? 2 得 ? ∵S ?

……………………9 分

?tS ? 2 ? 0 2 6 ,解得: ? t ? . S S ?tS ? 2 ? 4

……………………10 分

1 , ? 1 ? m ? 1 , 0 ? m2 ? 1 , m ?1
2

∴ ? S ?1.

1 2

……………………11 分

1 ? 2. S 2 6 因此 2 ? ? 4 ,6 ? ? 12 . S S
∴1 ? 要使得 log2 (tS ? 2) ? 2 恒成立,必须 ∴4 ? t ? 6 . 故实数 t 的取值范围是 [4,6) .

……………………12 分

2 6 ? t ? 恒成立, S S
……………………13 分 ……………………14 分

5


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