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2017版高中人教A版数学必修1本册综合微评 Word版含解析

本册综合微评
(时间:120 分钟 分值:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则?UA=( A.{1,3} C.{3,5,9} B.{3,7,9} D.{3,9} )

答案:D 解析:∵U={1,3,5,7,9},A={1,5,7}, ∴?UA={3,9}. 2.已知函数 f(x)= x-2· x+5,则函数的定义域为( A.{x|x≥-2} C.{x|x≤5} 答案:D B.{x|x≥-5} D.{x|x≥2} )

?x-2≥0, 解析:由已知,得? ?x+5≥0,

?x≥2, 即? ?x≥-5,

∴x≥2.故选 D. 3.函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象的交点 个数为( )

A.3 B.2 C.1 D.0 答案:B 解析:由图象易知,交点个数为 2 个,故选 B.

4.若 log2a<log2b<0,则( A.0<b<a<1 C.b>a>1 答案: B 0<a<b<1. 故选 B.

) B.0<a<b<1 D.a>b>1

解析: 由 log2a<log2b<0 ,得 log2a<log2b<log21 ,得

5.与函数 y=10lg(x-1)相等的函数是( A.y=x-1
? x- 1 ? ?2 C.y=? ? x-1? ? ?

)

B.y=|x-1| x2-1 D.y= x+1

答案:C 解析:y=10lg(x-1)=x-1(x>1),故选 C. 6.方程 x3-x-3=0 的实数解落在的区间是( A.[-1,0] C.[1,2] B.[0,1] D.[2,3] )

答案:C 解析:方程 x3-x-3=0 的实数解,可看成函数 f(x) =x3-x-3 的零点. ∵f(1)=-3<0,f(2)=3>0, ∴f(1)· f(2)<0,由零点存在性定理,可得函数 f(x)=x3-x-3 的零

点所在的区间为[1,2].故选 C.

?log2x,x>0, 7.若函数 f(x)=?log1 ?-x?,x<0, ? 2
的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

若 f(a)>f(-a),则实数 a

答案: C 解析: 当 a>0 时, -a<0, 若 f(a)>f(-a), 则 log2a>log1
2

[-(-a)],即 log2a>log1 a,此时 a>1;当 a<0 时,-a>0,若 f(a)>f(-
2

a),则 log1 (-a)>log2(-a),此时 0<-a<1,-1<a<0.
2

8.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是 ( ) A.y=x3 C.y=-x2+1 B.y=|x|+1 D.y=2-|x|

答案:B 解析:选项 A 中 y=x3 是奇函数;选项 C 中 y=-x2 +1 在(0,+∞)上单调递减;选项 D 中 y=2-|x|在(0,+∞)上单调递 减.故选 B. 9.函数 f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )

答案:B 解析:由 f(x)=lg(|x|-1),知 x>1 或 x<-1. 排除 C,D.当 x>1 时,f(x)=lg(x-1)在(1,+∞)上为增函数. 故选 B.
? ?a,a≤b, 10.定义运算 a*b 为 a*b=? 如 1]( ?b,a>b, ?

)

A.R C.(0,+∞) 答案:B 解析:f(x)=2 *2
x -x

B.(0,1] D.[1,+∞)

?2x,x≤0, =? x ?2- ,x>0,

∴f(x)在(-∞,0]上是增函数,在(0,+∞)上是减函数, ∴0<f(x)≤1. 11.函数 y=log1 (6+x-x2)的单调增区间是(
2

)

1? ? A.?-∞,2?
? ?

1? ? B.?-2,2?
? ?

?1 ? C.?2,+∞? ? ?

?1 ? D.?2,3? ? ?

答案:D 解析:要使函数有意义,需 6+x-x2>0,解得-2<x <3,故函数的定义域是(-2,3). 1? 25 ? ?1 ? 令 t=-x2+x+6=-?x-2?2+ 4 , 则函数 t 在?2,3?上单调递减,
? ? ? ? ?1 ? 所以函数 y=log1 (6+x-x2)在?2,3?上单调递增.
2

?

?

1+2x+?1-a?3x 12. 若不等式 lg ≥(x-1)lg 3 对任意的 x∈(-∞, 3 1]恒成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,0] C.[0,+∞) ) B.(-∞,1] D.[1,+∞)

1+2x+?1-a?3x 答案:B 解析:由 lg ≥lg 3(x-1),得 3 1+2x+?1-a?3x (x 1) ≥3 - , 3 即 1+2x+(1-a)3x≥3x,∴1+2x≥a· 3x,
?1? ?2? 即?3?x+?3?x≥a 对任意的 x∈(-∞,1]恒成立. ? ? ? ? ?1? ?2? 设 f(x)=?3?x+?3?x,x∈(-∞,1], ? ? ? ?

1 2 则 f(x)min=f(1)=3+3=1,∴a≤1. 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.请把正确答 案填在题中的横线上) 13. 已知 A={y|y=3x}, B={x|y=ln(2-x)}, 则 A∩B=________.

答案:(0,2)

解析:A={y|y=3x}=(0,+∞),B={x|y=ln(2-

x)}=(-∞,2),则 A∩B=(0,2).
x ? ?2 ,x<0, 14.已知函数 f(x)=? 则 f(f(1))=_______. ? ? x-4,x≥0,

1 1 答案:8 解析:由题意知,f(f(1))=f(-3)=2-3=8. 2x+1 15.已知函数 y=loga 的图象恒过点 P,则点 P 的坐标为 x-1 ________. 2x+1 答案:(-2,0) 解析:当 =1 时,x=-2, x-1 所以恒过点(-2,0). 16. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x), f(x+1)=f(1-x), 6 且 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+5,则 f(log220)=________. 答案:-2 解析:由 f(x+1)=f(1-x)及 f(-x)=-f(x), 得 f(-x)=f(2+x)=-f(x), 则 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 由 log224<log220<log225, 得 4<log220<5, 则 4-log220∈(-1,0), 所以 f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)

log25 ? log24 ? ? 4-log 20 6? ? ? 5 6 2 ? ? +5 =-?2 =- 2 +5?=-2. ? ? ? ? 三、 解答题(本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 1-2x 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)= x . 2 +1 (1)判断函数 f(x)的奇偶性并证明; (2)当 x∈(1,+∞)时,求函数 f(x)的值域. 解:(1)函数 f(x)是奇函数,证明如下:∵x∈R, 1-2 2x-1 f(-x)= -x = 1 = =-f(x), 2 +1 1+2x 2x+1 ∴f(x)是奇函数. (2)令 2x=t,则 g(t)= 1-t 2 =-1+ . t+1 t+1
-x

4

1 1-2x

2 2 ∵x∈(1,+∞),∴t>2,∴t+1>3,0< < , t+1 3 1 ∴-1<g(t)<-3, 1? ? 所以 f(x)的值域是?-1,-3?.
? ?

1-x 18. (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=loga (a>0 且 a≠1)的图 1+x
? 4 ? 象经过点 P?-5,2?. ? ?

(1)求函数 y=f(x)的解析式; 1-x (2)设 g(x)= ,用函数单调性的定义证明:函数 y=g(x)在区 1 +x

间(-1,1)上单调递减. 4? ?1-? ?- ?? ? 4? ? ? 5??=2,解得 a2=9. 解:(1)f?-5?=loga 4? ? ? ?1+? ?- ?? ? ? 5?? 1-x ∵a>0 且 a≠1,∴a=3,∴f(x)=log3 . 1+x (2)任取 x1, x2∈(-1,1), 且 x1<x2, 则 x1+1>0, x2+1>0, x2-x1>0, 1-x1 1-x2 2?x2-x1? ∵g(x1)-g(x2)= - = >0, 1+x1 1+x2 ?1+x1??1+x2? ∴g(x1)-g(x2)>0,∴g(x1)>g(x2), 1 -x ∴g(x)= 在区间(-1,1)上单调递减. 1 +x 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=-9x+3x+1+4. (1)求函数 f(x)的零点; (2)当 x∈[0,1]时,求函数 f(x)的值域. 解:f(x)=-9x+3x+1+4=-(3x)2+3· 3x+4, 令 t=3x(t>0),则 y=-t2+3t+4, (1)由-t2+3t+4=0,得 t=4 或 t=-1(舍去), 所以 3x=4,x=log34,所以函数的零点是 log34. (2)当 x∈[0,1]时,t∈[1,3], 3 因为函数 y=-t2+3t+4 的对称轴是 t=2, 25? 25? ? ? 所以 y∈?4, 4 ?,即函数 f(x)的值域为?4, 4 ?.
? ? ? ?

20. (本小题满分 12 分)某民营企业生产 A,B 两种产品,根据市 场调查和预测,A 产品的利润与投资的函数模型为 y=k1x,B 产品的 利润与投资的函数模型为 y=k2xα, 其关系分别为图①、 图②所示. (利

润和投资的单位为百万元)

(1)分别求出 A,B 两产品的利润与投资的函数关系式; (2)该企业已筹集到 1 千万元,并准备全部投入到 A,B 两种产品 的生产,问怎样分配这 1 千万元投资,才能使企业获得最大利润,其 最大利润为多少?(精确到万元) 解:(1)利用图象上的点的坐标,代入得, 1 5 A:y=4x,B:y=4 x(x≥0). (2)设投资 B 产品 x(百万元),则投资 A 产品(10-x)(百万元). 1 5 总利润 y=4(10-x)+4 x 5? 65 1? =-4? x-2?2+16(0≤x≤10). ? ? ∴当 x=2.5,x=6.25 时,ymax=4.06(百万元). 即投资 A 产品 375 万元,投资 B 产品 625 万元时,总利润最大, 最大值约为 406 万元. a 2 21. (本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=2+ x 是奇函数. 2 +1 (1)求 a 的值; (2)判断 f(x)的单调性,并用定义加以证明; (3)求 f(x)的值域. 解:(1)由题意知,f(x)的定义域为 R,

因为 f(x)是奇函数, a 2 所以 f(0)=0,即 f(0)=2+ 0 =0, 2 +1 解得 a=-2. 经验证可知 f(x)是奇函数, 所以 a=-2. (2)f(x)在定义域上是减函数.证明如下: 由(1)知,f(x)=-1+ 2 , 2 +1
x

任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 2 ? ? 2 ? ? 所以 f(x1)-f(x2)=?-1+2 x1+1?-?-1+2 x2+1?
? ? ? ?

2?2 x2+1?-2?2 x1+1? 2 2 = x1 - x2 = 2 +1 2 +1 ?2 x1+1??2 x2+1? = . ?2 x1+1??2 x2+1? 2 x2+1-2 x1+1

因为 x1<x2, 所以 x1+1<x2+1, 所以 2 x2+1>2 x1+1, 所以 2 x2+1-2 x1
+1

>0,又(2 x1+1)(2 x2+1)>0, 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 所以 f(x)在定义域上是减函数. 2 (3)f(x)=-1+ x , 2 +1 因为 2x>0,则 2x+1>1,则 2 2 0< x <2,得-1<-1+ x <1, 2 +1 2 +1 所以-1<y<1,即 f(x)的值域为(-1,1).

22. (本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=log1
2

1-kx 为奇函数. x-1

(1)求常数 k 的值; 1-kx (2)设 h(x)= ,证明函数 y=h(x)在(1,+∞)上是减函数; x -1
?1? (3)若函数 g(x)=f(x)-?2?x+m,且 g(x)在区间[3,4]上没有零点, ? ?

求实数 m 的取值范围. (1)解:∵f(x)=log1
2

1-kx 为奇函数, x-1

∴f(-x)=-f(x), 即 log1
2

1+kx 1-kx x-1 =-log1 =log1 , -x-1 x-1 1-kx 2 2



1+kx x-1 = ,即 1-k2x2=1-x2,整理得 k2=1. -x-1 1-kx

∴k=-1(k=1 使 f(x)无意义而舍去). 1+x x-1+2 2 (2)证明:由(1)得,k=-1,h(x)= = =1+ ,任 x-1 x-1 x-1 取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2,
? 2 ? ? 2 ? 则 h(x2)-h(x1)=?1+x -1?-?1+x -1? 2 1 ? ? ? ?

= =

2 2 - x2-1 x1-1 2?x1-1?-2?x2-1? 2?x1-x2? = . ?x2-1??x1-1? ?x2-1??x1-1?

∵x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, ∴x1-x2<0,x1-1>0,x2-1>0, 2?x1-x2? ∴h(x2)-h(x1)= <0, ?x2-1??x1-1?

∴h(x1)>h(x2), ∴函数 y=h(x)在(1,+∞)是减函数. (3)解:由(2)知,f(x)在(1,+∞)上递增,
?1? 所以 g(x)=f(x)-?2?x+m 在[3,4]递增. ? ?

∵g(x)在区间[3,4]上没有零点. ∴g(3)=log1
2

1+3 ?1?3 1+4 ?1?4 9 -?2? +m=-8+m>0 或 g(4)=log1 -?2? ? ? 3-1 ? ? 4 - 1 2

5 1 +m=log1 3-16+m<0, 2 9 1 5 ∴m>8或 m<16-log1 3. 2


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