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1.6 三角函数模型的简单应用 教案4


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教学设计:三角函数模型的简单应用(1)
嘉善高级中学 王书朝 教学目标: (1)情感目标: 通过丰富多彩的“周期世界” ,诱导激发学生的兴趣和情感投入,通过问题的探究、 合作学习努力使学生学会学习与思考; (2)过程目标: 通过几例具体的三角函数问题的分析探究,使学生掌握在给出具体待定模型的情况 下,解决一些实际应用问题,并能够建立简单的精确三角函数模型; (3)能力目标: 通过具体问题的分析和探究,培养学生分析问题和解决问题的能力,通过对三角函 数模型的建模过程的领悟,使学生能够学会一些数学地思考、分析和解决问题的方法。 提升学生的数学思维能力,使学生学会数学地思考问题,数学地解决问题; 教学重点: 三角函数简单模型的应用. 教学难点: 精确的三角函数模型的建立。 教学过程: 一、问题的呈现 1、给出待定的三角函数模型,解决实际问题 问题【Ⅰ】 :如图, 某地一天变化曲线近似满足: y ? A sin(?x ? ? ) ? b (1)求这一天从 6 时到 14 时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式。 【问题的解决】 : 解: (1)由图可知:这段时间的最大温差是 20 C ; (2) 从图可以看出: 6~14 是 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的 从 半个周期的图象, T ∴ ? 14 ? 6 ? 8 ∴ T ? 16 2 ∵T ?
20
?

y
30

10

2?

?

,∴ ? ?

?
8
? A ? 10 ∴? ?b ? 20
O 6

30 ? 10 ? ? 10 ?A ? ? 2 又∵ ? ?b ? 30 ? 10 ? 20 ? 2 ?

10

14

x

∴ y ? 10 sin(

?
8

x ? ? ) ? 20
1

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将点 ( 6,10) 代入得: sin( ∴ ? ? 2k? ?

3? 3? 3? ? ? ? 2k? ? ,k?Z , ? ? ) ? ?1 ,∴ 4 2 4

3? 3? ? 3? ,∴ y ? 10 sin( x ? , k ? Z ,取 ? ? ) ? 20, (6 ? x ? 14) 。 4 8 4 4

【问题的思辩】 :① A ? 0 ? A ? 0 ? ②得到 y ? 10 sin(

?
8

x ? ? ) ? 20 后,代入点 (10,20) 结果

会怎样?代入点 (14,30) 结果又会怎样? 【问题的反思】 :如何根据 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 图像求解析式中的戴待定参数 A, b; ?; ? ? 2、借助三角函数模型研究的思想方法研究一些较复杂的三角函数。 问题【Ⅱ】 :画出函数 y ? sin x 的图像并观察其周期。 【问题的解决】 : 图象如下:
? 2?

y

1
? 3? 2

??

?

? 2

O

? 2

?

3? 2

2?

x

观察得:周期 T ? ? 【问题的思辩】 :从解析式的角度如何对你的观察加以解释? 【问题的反思与深化】 :根据图像写出 y ? sin x 的单调增减区间。

3、利用问题的实际背景建立三角函数模型 问题【Ⅲ】 :国际大都市上海继东方明珠电视塔、金茂大厦之后,黄浦江畔的又一座景观 性、标志性、文化游乐性建筑是座落于虹口区北外滩汇山码头的“上海梦幻世界摩天轮 城” 占地 3.46 公顷总投资超过 20 亿元人民币,内有世界最大的摩天轮。其中摩天轮 , 中心 O 距离地面 200 米高, 直径 170 米。 摩天轮上将安装 36 个太空舱, 可同时容纳 1100 多人一览上海风光。 (如图) ,摩天轮沿逆时针方向做匀速转动,每 8 分钟转一圈,若摩 天轮的轮周上的点 P 的起始位置在最低点处(即时刻 t ? 0 分钟时的位置) .已知在时刻 t 分钟时点 P 距离地面的高度 f (t ) (Ⅰ )求 20 分钟时,点 P 距离地面的高度; (Ⅱ )求 f (t ) 的函数解析式。

2

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O
? 85

Q
200

P
f (t )

H

地面

【问题的解决】 :设过摩天轮的中心 O 与地面垂直的直线为 l , l 垂直于地面于点 H , PQ ? l 于点 Q , (1)∵旋转的周期 T ? 8 ∴ 20 分钟后点 P 在最高点,距地面高度是 285 米。 (2) t 分钟时 ?HOP ? ∴ f (t ) ? ?85 cos 二、小结:
y ?(1)待定模型: ? A sin(?x ? ? ) ? b ? ( )图象模型 三角函数精确模型: ? 2 ? 2 ( 数模型 ? )实际问题中的三角函

? ? t ,∴ f (t ) ? 200 ? 85 cos ?HOP ? ?85 cos t ? 200, (t ? 0). 4 4

?
4

t ? 200, (t ? 0).

y
3

备用练习: 1、 f ( x ) ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内 的图象如图所示,求 f ( x ) 的解析式;
?

2、做出 y ? sin 2 x 的图象,并根据图象写出其周期。
y 1

? 8

O

? 8

x

??

?

3? 4

?

?
2

?

?
4

O

?
4

?
2

3? 4

?

x

?1

3

y(单位:万度)

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50

3、如图,目地的夏天从 8—14 时用电量变 化曲线近似满足: y ? A sin(?x ? ? ) ? b , 求这段曲线的函数解析式。

40

30

O

8

11

14

x(单位:小时)

4、如图:半径为 4 米的水轮,中心距水面 2 米 已知水轮自点 A 开始逆时针每 60 秒钟转 4 圈,水轮上点 P 到水面的距离 为 y 米, y 与时间 x 秒之间满足关系:当 0 ? x ? 10 时 y ? A sin(?x ? ? ) ? 2 , 求该函数的解析式 三、作业: P73 练习 1; P73 习题 1.6 :1,2,3。
O

P

A

4


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