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2011年全国高中数学联赛江苏赛区模拟试题


2011 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛模拟试题
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) 1. 不等式 log2 x ? 1 ?

1 log 1 x 3 ? 2 >0 的解集是 2 2

.

2. 已知函数 f

? x ? ? ?a cos 2x ? 2

? ?? 值域为 [-5, 3a sin x cos x ? 2a ? b 的定义域为 ?0 , ? , 2? ?
.

1 ],求常数 a、b 的值.
2 2 3.设实数 m, n, x, y 满足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b ,则 mx ? ny 的最大值为

2 4. 设 a ? b ? 0 , 那么 a ?

1 的最小值是 b( a ? b)

.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? O 为坐标原点, 5. 在平面直角坐标系中, 设向量 OA ? (1,2) , 若O OB ? (2, ?1) , P x O ? A y O B?
且 1 ? x ? y ? 2 ,则点 P 所有可能的位置所构成的区域面积是 .

6. 设 f ( x) ? ax ? b ,其中 a , b 为实数, f1 ( x) ? f ( x) , fn?1 ( x) ? f ( f n ( x)) , n ? 1, 2,3,? ,若 ,则 a ? b ? f7 ( x) ? 128x ? 381 .

7. 两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体,可放 棱长为 1 的正方体内,使正四棱锥的底面 ABCD 与正 方体的某一个平面平行, 且各顶点 均在正方体的面上, ... 则这样的几何体体积的可能值有
2

.

8. 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y ? 2 x 焦点为

F .设 M 是抛物线上的动点,则

MO 的最大值为 MF

.

9. 一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a ,则这个球的体积为______. 10. 设 结 合 ? ? {( x, y) x, y ? R} , 规 定 : 0 ? (0,0) ; 当 且 仅 当 x1 ? x2 , y1 ? y 2 时 , :( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? x1 x2 ? y1 y 2 ,且当 ? ? R ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) .在 ? 上定义运算“ ? ” 时, ? ( x, y) ? (?x, ?y) .设 a, b, c ? ? ,有下列四个命题: ⑴a ?b ? b?a; ⑵ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ; ⑶若 a ? b ? 0 ,则 a , b 中至少有一个为 0;

1

⑷若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; 其中真命题个数为 . 二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) 11. 设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a 2 b2

x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , 使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率.

12. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

13. 如图,O、H 分别是锐角△ABC 的外心和垂心,D 是 BC 边的中点, 由 H 向∠A 及其外角平分线作垂线, 垂足分 别是 E 是 F.证明:D、E、F 三点共线.
O B D E

A F

H

C

14.求满足 abc ? (a ? b ? c) 3 的所有三位数 abc.

2

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛模拟试题参考答案
一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分)

3 3 1 ? ? log 2 x ? 1 ? log 2 x ? ? ? 0 1. [2,4]解:原不等式等价于 ? 2 2 2 ? ?log 2 x ? 1 ? 0
? 3 2 1 ?t ? t ? ? 0 设 log 2 x ? 1 ? t , 则有 ? 2 2 ? t ? 0 ?
即 0 ? log2 x ?1 ? 1, ? 2 ? x ? 4 . 2. ? 解得 0 ? t ? 1 .

?a ? 2 ?b ? ?5

或 ?

解:∵ f

? x ? ? ?a cos 2x ?

?a ? ?2 ?b ? 1

3a sin 2x ? 2a ? b ,

?? ? ? ?2a cos? 2 x ? ? ? 2a ? b . 3? ? 1 ?? ? ? ? 2? ? ∵ 0 ? x ? ,∴ ? ? 2 x ? ? ,∴ ? ? cos? 2 x ? ? ? 1 . 2 3? 2 3 3 3 ? 当 a > 0 时,b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b, ?3a ? b ? 1 , ?a ? 2 , ∴ ? 解得 ? ?b ? ?5 . ?b ? ?5 . 当 a < 0 时,3a + b ≤ f ( x ) ≤ b . ?3a ? b ? ?5 , ? a ? ?2 , ∴ ? 解得 ? ?b ? 1 . ?b ? 1 .
故 a、b 的值为 ? 3.

?a ? 2 ?b ? ?5

或 ?

?a ? ?2 ?b ? 1

ab
法1 设m ?

a cos? , n ? a sin ? , x ? b cos ? , y ? b sin ? ,

则 mx ? ny ? 即

ab cos? cos ? ? ab sin ? sin ? ? ab cos(? ? ? ) ? ab,

(m x ? ny) max= ab .
法2

(mx ? ny)2 ? m2 x2 ? 2mxny ? n2 y2 ? m2 x2 ? m2 y2 ? n2 x2 ? n2 y 2

x 取等号,故 ? ? m 2 ? n 2 ?? x 2 ? y 2 ? ? ab, ?mx ? ny ? ab , 当 且 仅 当 m y? n 时

3

? mx ? ny ?max ?

ab .

法 3 设 z1 ? m ? ni, z2 ? x ? yi ,则 z1z2 ? ? m ? ni ? ? ? x ? yi ? ? ? mx ? ny ? ? ? nx ? my ? i,?

z1 ? z2 ?

? mx ? ny ? ? ? nx ? my ?
2

2

?

? mx ? ny ?

2

? mx ? ny ? mx ? ny,? mx ? ny ? z1z2

? z1 ? z2

? m 2 ? n 2 ? x 2 ? y 2 ? ab , 当 且 仅 当 m y ?

n时 x 取 等 号 , 故

?m

x ?

n y? ? m a x

.a b

4.4 由 a ? b ? 0 , 可知 0 ? b(a ? b) ?

a2 a 1 ? (b ? ) 2 ? a 2 4 2 4

所以, a ?
2

1 4 ? a2 ? 2 ? 4 . b( a ? b) a

???? ??? ? ??? ? ??? ? 5. 解:作 OG ? 2OA , OE ? 2OB ??? ? ??? ? ??? ? OF ? 2OA ? 2OB M , N 为 OF , EF 中点,则 P 在 ?MNF 内, 5 面积为 2 6.5

解:由题意知 fn ( x) ? an x ? (an?1 ? an?2 ??? a ?1)b ? a n x ? 由 f7 ( x) ? 128x ? 381 得 a 7 ? 128 , 7.无穷多个

an ?1 ?b , a ?1

a7 ?1 ? b ? 381 ,因此 a ? 2 , b ? 3 , a ? b ? 5 . a ?1

解:由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 ABCD 中心, 有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半, 影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方 形 ABCD 的面积,问题转化为边长为 1 的正方形的内接正方形有多少种. 8.

2 3 解:设 M 点 ( x, y ) 3

(

MO 2 x 2 ? y 2 4 x 2 ? 8x 4x ? 1 ) ? ? 2 ? 1? 2 . 1 2 4x ? 4x ? 1 MF 4x ? 4x ? 1 (x ? ) 2
MO 2 MO ) ? 1? ? 1 .当 t ? 0 时, 则( MF MF 4 9 t ?6? t ? 1? 1 4 ? 3 3

令 4x ? 1 ? t , 当 t ? 0 时, 显然

4

且当 t ? 3 ,即 x ? 1 时,等号成立. 9.

2 3 ?a 24

提示:可把正四面体变为正方体的内接正四面体,此时正方体的棱长为

2 a. 2

是球的半径为

2 2 3 a ,V ? ?a 4 24

10.1 “ ? ”运算和向量点乘运算(矩阵)相似,所以可类似点乘运算法则(矩阵). 二、解答题(本题满分 80 分,每小题 20 分) y 11. 解:如图, 设线段 PQ 的中点为 M . 过点 P 、
R Q

M 、 Q 分别作准线的垂线, 垂足分别为 P ' 、 M ' 、

M‘ P’ P F

M O

Q', 则

x

| MM ' |?

1 1 | PF | | QF | | PQ | (| PP ' | ? | QQ ' |) ? ( ? )? 2 2 e e 2e

假设存在点 R ,则 | RM |?

3 | PQ | , 且 | MM ' | ? | RM | , 即 2

| PQ | 3 3 . ? | PQ | ,所以, e ? 2e 2 3
于是, cos?RMM ' ?

1 | MM ' | | PQ | 2 1 , 故 cot ?RMM ' ? . ? ? ? | RM | 2e 3 | PQ | 3e 3e2 ? 1

若 | PF | ? | QF | (如图),则

k PQ ? tan?QFx ? tan?FMM ' ? cot ?RMM ' ?
3 时, 过点 F 作斜率为 3 1 3e 2 ? 1

1 3e 2 ? 1

.

当 e?

的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线

于 R , 由上述运算知, | RM |?

3 | PQ | . 故 ?PQR 为正三角形. 2 1 3e2 ? 1


若 | PF | ? | QF | ,则由对称性得 kPQ ? ?

5

又 e ? 1 , 所以,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e 的取值范围是 a 2 b2

e?(

3 1 . ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ? 3 3e 2 ? 1

12. (I)解:

? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ), ?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), ? an ? 1 ? 2n.


??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.
an ? 22 ?1(n ? N * ).

(II)证明:

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, ? ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2 an a1 a2 n ? ? ? ... ? ? . a2 a3 an?1 2

?

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2 a a a n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? 1 ? 2 ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2
A F G

13. 证明:连结 OA,OD,并延长 OD 交△ABC 的外接圆于 M ︿ ︿ 则 OD⊥BC,BM=MC ∴A、E、M 三点共线 ∵AE、AF 分别是△ABC 的∠A 及其外角平分线, ∴AE⊥AF 又∵HE⊥AE,HF⊥AF ∴四边形 AEHF 为矩形. 因此 AH 与 EF 互相平分,设其交点为 G 1 1 于是:AG= AH= EF=EG 2 2 而 OA=OM,且 OD∥AH ∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GEA 故 EG∥OA (1)
6
M B D E O

H

C

∵O、H 分别是△ABC 的外心和垂心,且 OD⊥BC 1 ∴OD= AH=AG,因此,若连结 DG,则四边形 AODG 为平行四边形 2 从而 DG∥OA (2)

由(1)和(2)知,D、E、G 三点共线,但 F 在 EG 上 故 D、E、F 三点共线. 14.解:由于 100 ? abc ? 999 ,则 100 ? (a ? b ? c) 3 ? 999 ,从而 5 ? a ? b ? c ? 9 ; 当 a ? b ? c ? 5 时, 53 ? 125 ? (1 ? 2 ? 5) 3 ; 当 a ? b ? c ? 6 时, 63 ? 216 ? (2 ? 1 ? 6) 3 ; 当 a ? b ? c ? 7 时, 7 3 ? 343 ? (3 ? 4 ? 3) 3 ; 当 a ? b ? c ? 8 时, 83 ? 512 ? (5 ? 1 ? 2) 3 ; 当 a ? b ? c ? 9 时, 93 ? 729 ? (7 ? 2 ? 9) 3 ; 于是所求的三位数只有 512.

7


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