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2015年安庆市高考“二模”理科数学答案

2015 年安庆市高三模拟考试(二模) 数学试题(理科) 参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 A 8 B 9 C 10 B

1.A【解析】 z ? (2 ? i)(-i)=1-2i ,选 A .

1 1 ? m 4 ? 2, 2.D【解析】显然 m ? 0 且 m ? 4 .当 0 ? m ? 4 时,椭圆长轴在 x 轴上,则 2 1 m 1 1 ? 4 m ? 2 ,解得 m ? 8 ,选 D . 解得 m ? 2 ;当 m ? 4 时,椭圆长轴在 y 轴上,则 2 1 4
2 3.B【解析】因为 ? 服从正态分布 N (3, ? ) ,所以 P(? ? 0) ? P (? ? 6) ? 1? 0.8? 0.2,

? P(0 ? ? ? 6) ? 0.6 ,所以 P(0 ? ? ? 3) ? 0.3 .选 B .
4.B【解析】设公比为 q ,由已知 a2 q ? 2a2 ? 2 , 10a4 ? 12a3 ? 2a5 得 q ? 5q ? 6 ? 0 解
2

得 q ? 2 或 q ? 3 ,但 q ? 2 不符合.选 B .

5.C 【解析】A 、B 两点的极坐标分别为 ( 3,

2? ? 3 3 ) 、( 3, ) , , ) 、 化为直角坐标为 (? 3 3 2 2

(

3 3 , ) ,故 AB ? 3 ,选 C . 2 2

6.D【解析】设 AB ? a , AD ? b , PF ? ? a , PE ? ? b ( ? , ? ? R ) ,根据题意可知

a ? 1 , b ? 1 , a ? b ? 0 , ? ? 0 , ? ? 0 , 且 ?? ? ? ? 1 . 所 以 EF ? ? a ? ?b ,
数学试题(理科)答案第 1 页(共 9 页)

2

2

AP ? AE ? PE ? (1 ? ? )a ? ?b , PD ? AD ? AP ? (? ?1)a ? (? ? 1)b ,故
? PD ? EF ? ? ?(? ? 1)a ? ( ? ? 1)b ? ? a ? ? b ? (? ? 1)? ? ? ( ? ? 1) ? (? ? ? )(? ? ? ? 1) ? 0
.选 D .(注:也可用坐标法或特殊位置法求解.) 7. A【解析】该几何体的直观图如图所示.

?

?

1 1 1 1 V ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 .选 A . 3 2 3 2
8.B【解析】2000 ?1.1 ? 3000 ? 1.1 ? 1.5 . 因为 1.1 ? 1.46 ? 1.5 ,1.1 ? 1.61 ? 1.5 ,
m m 4 5

所以 m 的最小正整数值为 5.选 B . 9.C【解析】因为

1 1 4m n ? 1 1? ? ? 1 ,所以 4m ? n ? (4m ? n) ? ? ? ? 5 ? ? . m n n m ?m n? 4m n 4m ? n ? ? ≤ 5 ? 4 ?1. ? ? ? ? ≥ 4 ,故 5 ? n m n ? m?

又 m ? 0 , n ? 0 ,所以 ? 当且仅当 m ?

1 , n ? ?1 时取等号. 选 C . 2
2

10.B【解析】 ax ? 2(2a ? 1) x ? 4a ? 7 ? 0 ? a ?

2x ? 7 ( x ? ?2) . 因为 a ? N * , ( x ? 2)2

所以

2x ? 7 ≥ 1 ,解得 ?3 ≤ x≤1 ( x ? ?2) .由 x0 ? Z 知 x0 ? ?3 ,?1 ,0 ,1 .当 x0 ? ?3 ( x ? 2) 2
7 ? N ? ;当 x0 ? 1 时, a ? 1 . 4

时, a ? 1 ;当 x0 ? ?1 时, a ? 5 ;当 x0 ? 0 时, a ? 故,符合条件的 a 的值有 2 个.选 B .

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上)

11.

1 a r r 6?r r r r 【解析】 Tr ?1 ? C6 ( x ) (? ) ? (?1) C6 a x 2, x
得r ? 2,a ?

3 3? r 2

? 3 ?3 ? 2 r ? 0 ? ,由 ? , ?(?1) r C r a r ? 15 6 ? 4 ?

1 . 2

12. 1 ? u ? 4 ,【解析】由题意,可行域如图所示,
数学试题(理科)答案第 2 页(共 9 页)

则 ?1 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 ,所以 u ? x ? 1 ? 2 y ? x ? 2 y ? 1 ,故 1 ? u ? 4 . 13. (??, ?2] [2, ??) , 【解析】函数 y ?

x2 ? ax ? 1 的值域为

[0 , ? ?) ? ? ? a2 ? 4 ≥ 0 ? a ≥ 2 ;对任意的 x ? R ,不等式 x ? x ? a ≤1 恒成立 ? a ≤1 ,所以若命题 p ? ? ?q ? 为真命题,则 a ≥ 2 ; a 的范围为 (??, ?2] [2, ??) .
14.

1 2? 3 , 【解析】由图可知, A ? 1 , sin ? ? ? , 2 2

由? ?

?
2

6 1 2? 得 ? ? 6k ? 1, k ? Z ,由图知 ? ? ,? ? 3 , 6 4 ?

得? ? ?

?
6

,又 sin(

?
6

? ?? ) ?0,

?

由 ? ? 0 ,得 ? ? 1 所以 f ( x ) ? sin( x ?

?

6

),

阴影部分面积 S ?

?

?

6 0

f ( x)dx ?

?

?

6 0

sin( x ? )dx ? cos( x ? ) ? 6 0 6

?

?

?
6

2? 3 . 2

15.(1) , (2) , (3) , 【解析】 (1)因为转轴变换仅仅是坐标轴旋转,而直线并不随着旋转,

1) 在新坐标系中的坐标应为 P( 2 , 错误; (2)点 P(1 , (3) ? ? ? 0) ,错误;
y? 1 2 2 的图象经过转轴后的标准方程是 y' ? x' ? 2 ,错误; x

?
4

时,函数

(4)直角坐标系 Oxy 中的直线 x ? 2 ,在坐标系 Ox?y ? 中倾斜

角为

? 4 3 ,0) ,故转轴后的直线方程是 ,且经过点 ( 3 3

(5)证明如下:设 ?POx? ? ? , OP ? r , 3x'? y'?4 ? 0 ,正确; 则 x ? r cos(? ? ? ) ? r cos ? cos ? ? r sin ? sin ? ? x? cos ? ? y? sin ? ,

y ? r sin(? ? ? ) ? r sin ? cos ? ? r cos ? sin ? ? x? sin ? ? y? cos ? ,正确.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分)
数学试题(理科)答案第 3 页(共 9 页)

【解析】 (Ⅰ)在△ ABD 中, AB ? 4 , AD ? 2 ,

?DAB ? 60? ,根据余弦定理可得

BD ? 22 ? 42 ? 2 ? 2 ? 4 ?

1 ? 2 3. 2

………2 分

在△ BCD 中,因为 ?BCD ? 120 ° ,所以当 BC ? CD 时, ?CBD ? ?CDB ? 30? , 根据正弦定理可得 BC ?

BD ? sin 30? ? 2 , CD ? 2 . sin120?

? ?BCD 的面积 S ?

1 1 3 BC ? CD ? sin ?BCD ? ? 2 ? 2 ? ? 3 . ……… 5 分 2 2 2
DC BC BD ? ? ? 4 ,得 DC ? 4sin ? , sin ? sin(60? ? ? ) sin120?
……… 7 分

(Ⅱ)在△ BCD 中,由

BC ? 4sin(60? ? ? ) ,
所以 f (? ) ? AB ? AD ? BC ? CD ? 6 ? 4 sin ? ? 4 sin(60? ? ? )

? 4 sin? ? 2 3 cos? ? 2 sin? ? 6 ? 6 ? 2sin ? ? 2 3 cos? ? 6 ? 4sin(? ? 60?) …9 分
因为 0? ? ? ? 60? ,所以当且仅当 ? ? 30? 时, sin(? ? 60?) 有最大值 1 . 从而 f (? ) 的最大值为 10 . 17. (本题满分 12 分)
1 2 2 【解析】 (Ⅰ) C 2 ( ) ? a ,

……… 12 分

1 2

a?

2 2

………4 分

(Ⅱ) X 可取 0、1、2、3、4

1 0 1 2 0 p ( X ? 0) ? C2 ( ) ? C2 (1 ? a) 2 ? (1 ? a ) 2 2 4 1 1 1 0 0 1 2 1 p( X ? 1) ? C2 ( ) 2 ? C2 (1 ? a) 2 ? C2 ( ) ? C2 a(1 ? a) ? (1 ? a) 2 2 2 1 1 2 0 2 1 1 2 1 0 1 2 2 2 P( X ? 2) ? C2 (1 ? 2a ? 2a 2 ) 2 ( ) C2 (1 ? a ) ? C2 ( ) ? C2 a (1 ? a ) ? C2 ( ) ? C2 a = 2 2 2 4 a 2 1 2 1 1 1 2 2 2 P( X ? 3) ? C2 ( ) ? C2 a(1 ? a) ? C2 ( ) C2 a ? 2 2 2
数学试题(理科)答案第 4 页(共 9 页)

1 2 2 2 a2 P( X ? 4) ? C ( ) ? C2 a ? 2 4
2 2

………7 分

∴ X 的分布列为

x
P

0

1

2

3

4

1 (1 ? a) 2 4

1 (1 ? a ) 2

1 (1 ? 2a ? 2a 2 ) 4

a 2

a2 4

………9 分

a2 1 1 a ? 1 ? 2a EX ? 1 ? (1 ? a ) ? 2 ? (1 ? 2a ? 2a 2 ) ?3 ? + 4 ? 2 4 2 4
∴ EX ? 1 ? 2a . 18.(本小题满分 12 分) 【解析】解一: (Ⅰ)因为侧面 ABB1 A 1 ,又 ?DAB ? ?DAA1 , 1 为菱形,所以 AB ? AA 所以 ………12 分

A1B ? AD ? A1 A ? AB ? AD ? A1 A ? A D? A B ? AD

?

?

? A1 A ? AD cos(? ? ?DAA1 ) ? AB ? AD cos ?DAB ? ? AB ? AD cos ?DAA1 ? AB ? AD cos ?DAA1 ? 0 ,
从而 A1B ? AD . ………5 分

(Ⅱ)设线段 A 1B 的中点为 O ,连接 DO 、 AB1 ,由题意知 DO ? 平面 ABB 1A 1 .因为侧面

ABB1 A1 为菱形,所以 AB1 ? A1B ,故可分别以射线 OB 、射线 OB1 、射线 OD 为 x 轴、 y
轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图 1 所示. 设 AD ? AB ? 2 BC ? 2a ,由 ?A 1 AB ? 60? 可知 OB ? a , OA ? OB 1 ? 3a ,所以

OD ?

0, 0) , B1 (0 , 3a , AD ? OA ? a , 从 而 A(0 , ? 3a , 0) , B(a , 0) ,

2

2

D(0 ,, 0 a) . 所以 CC1 ? BB1 ? (?a , 3a , 0) .
数学试题(理科)答案第 5 页(共 9 页)

由 BC ?

1 3 1 3 1 AD 可得 C (a , a , a) ,所以 DC ? (a , a , ? a) . 2 2 2 2 2

………7 分

设平面 DCC1D1 的一个法向量为 m ? ( x0 , y0 , z0 ) ,由 m ? CC1 ? 0 , m ? DC ? 0 ,

?? ax0 ? 3ay0 ? 0 , ? 得 ? 取 y0 ? 1 ,则 x0 ? 3 , z0 ? 3 3 ,所以 3 1 ay0 ? az0 ? 0. ? ax0 ? ? 2 2

m ? ( 3 ,, 1 3 3) .
又平面 ABB1 A 的法向量为 OD ? (0 ,, 0 a) ,所以 1

………9 分

cos?OD , m? =

OD ? m OD m

=

3 3a 3 ? 93 . 31a 31
………12 分

3 93 . 31 O, 解二: (Ⅰ)连接 AB1 、 A1D 、 BD ,设 AB1 交 A 1B 于点 连 OD ,如图 2 所示.
故平面 DCC1D1 与平面 ABB1 A 1 所成锐二面角的余弦值为

ABD , 由 AA 1 ? AB , ?DAB ? ?DAA 1 可得△ AA 1D ≌△
所以 A1D ? BD .由于 O 是线段 A 1B 的中点,所以 DO ? A 1B , 又根据菱形的性质 AO ? A1B ,所以 A1B ? 平面 ADO , 从而 A1B ? AD . ………5 分 (Ⅱ)因为 AD / / BC , AD ? 2 BC ,所以延长 AB 、 DC 交于点 E ,
图2

EF , 延长 A1B1 、 D1C1 交于点 F ,且 BE ? AB , B1F ? A 1B 1 .连接
则 EF / /BB1 .过点 O 作 BB1 的垂线交 BB1 于点 G ,交 EF 于点 H , 连接 DH ,如图 3 所示.因为 EF / / BB1 ,所以 OH ? EF .

DH ? EF , 由题意知 DO ? 平面 ABB1 A 1 ,所以由三垂线定理得
故 ?DHO 是平面 DCC1D1 与平面 ABB1 A 1 所成二面角的平面角. ………8 分

3 3 3 a , GH ? 3a ,所以 OH ? a .在 Rt △ DOH 中, 易知 OG ? 2 2

图3

3 3 2 a ? ? OH 3 3 31 2 2 ? 3 93 . cos ? DOH ? ? ,所以 DH ? OH 2 ? OD2 ? ? a ? a ? a ? 2 ? ? DH 31 2 31 ? ? a 2
数学试题(理科)答案第 6 页(共 9 页)

故平面 DCC1D1 与平面 ABB1 A 1 所成锐二面角的余弦值为 19. (本题满分 13 分)

3 93 . 31

………12 分

【解析】 (Ⅰ) 证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 )

? k1 ?

y1 ? y2 x1 ? x2

y12 ? 2 px1 , y22 ? 2 px2 ? k1 ?

2p y1 ? y2
第 19 题图

2p 1 1 y1 ? y2 +y3 ? y4 同理: k2 ? ,故 ? ? y3 ? y4 k1 k2 2p
同理:

………4 分

1 1 y ? y2 ? y3 ? y4 从而得证. ? ? 1 2p k3 k4 ,

………6 分

(Ⅱ) 证明:由 AC ? x轴 ,有 x1 ? x3 , y1 ? ? y3 ,设以 C 为切点的切线斜率为 k ,则其 方程为 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ,代入 y ?2px ,得 k 2 x2 ? 2(k 2 x1 ? ky1 ? p) x ? (kx1 ? y1 )2 ? 0
2

? ? ? 4(k 2 x1 ? ky1 ? p)2 ? 4k 2 (kx1 ? y1 )2 ? 0 得 k 2 x1 ? ky1 ? ?k ??
p ; y1

p ? 0 ,而 y12 ? 2 px1 2
………9 分

由若直线 AB 、 AD 的斜率互为相反数,则有

2p 2p ? ?0 y1 ? y2 y1 ? y4

? 2 y1 ? y2 ? y4 ? 0 , kBD ?

2p 2p p ? ? ? ,? kBD ? k y2 ? y4 ?2 y1 y1
………13 分

而点 C 不在 BD 上,所以,直线 BD 平行于点 C 处的切线. 20. (本题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ)由已知, f ' ( x) ? ?

x ? (1 ? a) ,由已知 f ' ( x) ? 0 对 x ? (??,2) 恒成立, ex

故, x ? 1 ? a 对 x ? (??,2) 恒成立,得 1 ? a ? 2 ,∴ a ? ?1 为所求. ………4 分 (Ⅱ)证明: a ? 0 ,则 f ( x ) ?

x ex

数学试题(理科)答案第 7 页(共 9 页)

函数 f ( x) 在 x ? x0 处的切线方程为 y ? g ( x) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) 当 x ? x0 时, f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? x0 时,要证 f ( x) ? g ( x) ; 即证

f ( x)? g ( x< )0

………6 分

令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 )

1 ? x 1 ? x0 (1 ? x)e x0 ? (1 ? x0 )e x h '( x) ? f '( x) ? f '( x0 ) ? x ? x0 ? e e e x ? x0
设 ? ( x) ? (1 ? x)e 则 ? ' ( x) ? ?e
x0 x0

? (1 ? x0 )ex , x ? R

? (1 ? x0 )ex ,∵ x0 ? 1 ,∴? ' ( x) ? 0
………10 分

∴? ( x) 在 R 上单调递减,而 ? ( x0 ) ? 0 ∴ 当 x ? x0 时, ? ( x) ? 0 ,当 x ? x0 时, ? ( x) ? 0 即当 x ? x0 时, h '( x) ? 0 ,当 x ? x0 时 h '( x) ? 0 ∴h( x) 在区间 (??, x0 ) 上为增函数,在区间 ( x0 ,??) 上为减函数 ∴x ? x0 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ,即有 f ( x) ? g ( x) 综上, f ( x) ? g ( x) 21.(本题满分 13 分) 【解析】(Ⅰ)先用数学归纳法证明: an ? 2 ( n ? N ).
*

………13 分

① 当 n ? 1 时, a1 ? a ? 2 ,结论正确; ② 假设 n ? k (k ? 1) 时结论成立,即 ak ? 2 ,

数学试题(理科)答案第 8 页(共 9 页)

则 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ak ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,所以 n ? k ? 1 时,结论正确. 故,由①、②及数学归纳法原理,对一切的 n ? N ,都有 an ? 2 成立. ………4 分
*

(Ⅱ) {an } 是单调递减的数列.
2 2 2 因为 an ?1 ? an ? an ? 2 ? an ? ?(an ? 2)(an ? 1) ,又 an ? 2 , 2 2 所以 an ?1 ? an ? 0 , ? an?1 ? an . 这说明 {an } 是单调递减的数列.

………8 分

(Ⅲ)由 an ?1 ?

2 2 an ? 2 ,得 an ?1 ? an ? 2 ,所以 an?1 ? 4 ? an ? 2 .

根据(Ⅰ) an ? 2 ( n ? N ) ,所以
*

an?1 ? 2 1 1 ? ? , an ? 2 an?1 ? 2 4

1 ?1? 所以 an?1 ? 2 ? ? an ? 2 ? ? ? ? ? an?1 ? 2 ? ? 4 ?4?
n

2

?1? ? ? ? ? a1 ? 2 ? . ? 4?
n

n

?1? ?1? 所以,当 a ? 3 时, an?1 ? 2 ? ? ? ,即 an?1 ? ? ? ? 2 . ?4? ?4?
当 n ? 1 时, S1 ? 3 ? 2 ?

4 ,当 n ≥ 2 时, 3

Sn ? 3 ? a2 ? a3 ?

2 ? ?? 1 ? ? ?? 1 ? ? an ? 3 ? ?? ? ? 2 ? ? ?? ? ? 2 ? ? ?? 4 ? ? ? ?? 4 ? ? ?

?? 1 ?n ?1 ? ? ?? ? ? 2 ? ?? 4 ? ? ? ?
………13 分

1 n ?1 ? ? 1 ?n ?1 ? 1? ?1? ? 4 4 ? 3 ? 2(n ? 1) ? ?1 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? 2n ? . 1 ? ?4? ? 3? 3 ? ?4? ? ? ? 1? ? 4

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