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河北省衡水中学2013届高三第一次调研考试数学(文)试题


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共2页。 共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(每 小题 5 分,共 60 分。每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂 在答题卡上) 1 命题“若 p 则 q”的否定是( A 若q则p B ) C 若 ?q 则 ?p ) D. R ) . D.12 D 若 p 则 ?q

若?p 则? q

2 若集合 A ? x x ? 0 ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是( A. ?1, 2? B. x x ? 1

?

?

?

?

C. ??1,0,1 ?

3 等差数列 {a n } 中,已知前 15 项的和 S15 ? 90 ,则 a 8 等于( A.

45 2

B.

6

C.

45 4

2 4 已知 f ( x ) 在 R 上是奇函数,且 f (x (? ?)4) ? ff (x ),当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x , 则f (7) ? f x 2 ? ? x)

(

) A. ? 2 B.2 C. ? 98 ,则不等式 f (x ) ? 0 的解集为( C. {x | ?1 ? x ? 1} D.98 ) D. {x | x ? ?1}

5 已知函数 f ( x ) ? ? A. {x | 0 ? x ? 1} 6 下列命题错误的是(

?? log 2 x ( x ? 0)
2 ?1 ? x ( x ? 0)

B {x | ?1 ? x ? 0} )
2

A 命题“若 m ? 0 则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题为: “若方程 x ? x ? m ? 0 无实根则 m ? 0 ”
2

B 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 C “ x ? 1 ”是 “ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2
[来源:学科网]

2 2 D 对 于命题 p : “ ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”,则 ?p : “ ?? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”

7. 不等式 3x

2

? 2x ? 1 ? 0 成立的一个必要不充分条件是(

)

A. (? ,1) 8.函数 y ? ln

1 3

B. (?? ,? ) ? (1,?? )

1 3

C. (? ,0)

1 3

D. (?1,1)

e x ? e? x 的图象大致为( e x ? e? x



A.

B.

C.

D.

9 设 函数 f ( x ) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对于任意的 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则不等式 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为( A. (?1,1) ) B. ? ?1, ?? ?
2 x

C. (??, ?1)

D. (??, ??)

10 已知 a ? 0且a ? 1, f ( x) ? x ? a , 当x ? (?1,1)时,均有 f ( x) ? A. ? 0, ? ? ?2,??? 2

1 , 则a 的取值范围是( 2
D. ? 0, ? ? ?4,??? 4



? ?

1? ?

B. ? ,1? ? ?1,4?

?1 ? ?4 ?

C. ? ,1? ? (1,2] ?2 ?
x

?1 ?

? ?

1? ?

1 x ?1? 11 设函数 f (x ) ? log 4 x ? ( ) 、 g ( x ) ? log 1 x ? ? ? 的零点分别为 x 1 , x 2 ,则( 4 ?4? 4
A. 0 ? x 1x 2 ? 1 12. 已知 f (x ) ? x ? 6x
3 2

)

B. x 1 x 2 ? 1

C. 1 ? x 1x 2 ? 2

D. x 1x 2 ? 2

? 9x ? abc , a ? b ? c ,且 f (a) ? f (b ) ? f (c ) ? 0 .现给出如下结论:

① f (0)f (1) ? 0 ; f (0)f (1) ? 0 ; f (0)f (3) ? 0 ; f (0)f (3) ? 0 ; abc ? 4 ; abc ? 4 ② ③ ④. ⑤ ⑥ 其中正确结论的序号是( A. ①③⑤ ) B. ①④⑥ C . ②③⑤ D. ②④⑥

卷Ⅱ(非选择题

共 90 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸的相应位置上) 13.若幂函数 f ( x ) 的图象过点 (?8, 4) ,则该幂函数的解析式为 14 某同学为研究函数 f ( x) =
D C P F

1 + x 2 + 1 + (1- x) 2 (0 #x ?1)) 的性质,构造 0?x 1
A B E

了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个

动点, CP = x , AP + PF = f ( x ) . 请你参考这些信息, 设 则 推知函数的极值点是 的值域是

; 函数 f ( x )

.

15 关于函数 f (x ) ? ?2 sin 2 x ? sin 2x ? 1 ,给出下列四个命题: ① f (x ) 在区间 [

? 5

? 个单位得到; 4 ? ? ④若 x ? [0, ] ,则 f ( x ) 的值域是 [0, 2 ] ⑤函数 f ( x ) 关于 ( ,0) 对称 2 4
③函数 f ( x ) 的图象可由函数 y ?

, ? ] 上是减函数;②直线 x ? 是函数图象的一条对称轴; 8 8 8

?

2 sin 2x 的图象向左平移

其中正确命题的序号是______

[来源:学科网]

16 已知函数 f (x ) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 的对称中心为 M (x 0 , y 0 ) ,记函数 f (x ) 的导函数为

f / (x ) , f / (x ) 的导函数为 f // (x ) , 则有 f // (x 0 ) ? 0 。若函数
? 1 ? f ? x ? ? x3 ? 3x2 ,则可求得: f ? ?? ? 2012 ? ? 2 ? f? ? ? ... ? ? 2012 ? ? 4022 ? ? 4023 ? f? ? ?f ? ?? ? 2012 ? ? 2012 ?
.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本题 10 分)已知 A ? x | x 2 ? 5x ? 4 ? 0 , B ? x | x 2 ? ax ? (a ? 1) ? 0 ,

[来源:Zxxk.Com]

?

?

?

?

C ? x | x 2 ? mx ? 4 ? 0 ,若 A ? B ? A, A ? C ? C ,求实数 a, m 的值.

?

?

18 (本题 12 分)已知函数 f ( x ) 是 定义在 (?1,1) 上的奇函数,当 x ? ?0,1? 时, f ?x ? ? 2 x , (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知 f ?x ? ? 2a 恒成立,求常数 a 的取值范围.

19(本题12分)已知函数 f

?x ? ? ln x ? ax ? a 2 x 2 ?a ? 0? .

(1)若 x ? 1 是函数 y ? f ?x ? 的极值点,求 a 的值; (2)求函数 y ? f ?x ? 的单调区间.

20(本题12分)

如图所示,将一矩形花坛 ABC D 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上, 对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米,且受地理条件限制, AN 长不超过 8 米。 设 AN ? x (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什么范围内? (2)若|AN| ? [3, 4) (单位:米) ,则当 AM、AN 的长度是多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最大? 并求出最大面积. N P

D
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

C

A

B

M

21(本题 12 分 )已知函数对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是 f ( x ) 的 一个不 动点,已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? (b ?1)(a ? 0) , (1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的不动点;
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

(2)对任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x ) 的不动点,且 A, B 两点 关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

22(本题 12 分) 设函数 f (x ) ? x ? 3ax ? 3b x
3 2 2

(a, b ? R )

(1)若 a ? 1, b ? 0 ,求曲线 y ? f (x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 0 ? a ? b ,不等式 f (

1 ? ln x k ) ? f ( ) 对任意 x ? (1,??) 恒成立,求整数 k 的最大值. x ?1 x

高三年级数学试卷(文科)答案

18. 解: (1)因为函数 f ( x ) 是定义在 ?- 1,1? 上的奇函数,所以当 x ? 0 时, f ( x ) =0;

f ' ?x ? ?

? 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ………………3 分 x

20.解:设 AN 的长为 x 米( 2 ? x ? 8 ) ∵

|DN| |DC| ? |AN| |AM|





|AM|



3x x?2

∴ SAMPN

3x2 = |AN|?|AM| = x?2

-

------------------------------------

4



2 21.(1) f ( x) ? x ? x ? 3 , x0 是 f ( x ) 的不动点,则 f ( x) ? x0 ? x0 ? 3 ? x0 ,得 x0 ? ?1 或 x0 ? 3 ,

2

函数 f ( x ) 的不动点为 ?1 和 3 .…………………………….3 分

( 2 ) ∵ 函 数 f ( x ) 恒 有 两 个 相 异 的 不 动 点 , ∴ f ( x) ? x ? ax2 ? bx ? (b ?1) ? 0 恒 有 两

22.解:(Ⅰ)当
因为 所以切线方程为 (2) 所以

时,

所以

即切点为



所以

,

所以

,所以



递减

,所以



递增

所以,

结合

得到


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