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【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修5双基限时练11]


双基限时练(十一)
一、选择题 1. 某工厂的生产总值月平均增长率为 p, 则年平均增长率为( A.12p C.(1+p)12 B.p D.(1+p)12-1 )

解析 设该厂去年年产值为 a, 则今年年产值为 a(1+p)12, 故年平 a?1+p?12-a 均增长率为 =(1+p)12-1. a 答案 D

2.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3
?1? =S6,则数列?a ?的前 5 项和为( ? n?

) 31 B.16或 5 15 D. 8

15 A. 8 或 5 31 C.16 解析 ∵9S3=S6,显然 q≠1,

9a1?1-q3? a1?1-q6? ∴ = ?1+q3=9?q=2. 1-q 1-q
?1? 1 ∴?a ?是首项为 1, 公比为2的等比数列, 前 5 项和 T5= ? n?

1? ? ?1- 5? 2? ?

31 = 1 16. 1-2

答案

C

3.某村办企业在 2008 年中,前三季度的赢利成等差数列,后三 季度的赢利成等比数列,已知二、三季度共赢利 4 万元,全年共赢利 12 万元,则该企业第四季度赢利为( A.7 万元 ) B.8 万元

C.9 万元

D.10 万元

?a+d?2 解析 设这四季度的赢利分别为 a-d,a,a+d, a ,由题意

?2a+d=4, 得? ?a+d?2 ?3a+ a =12,
?a+d?2 ∴ a =9. 答案 C

? ?a=1, 得? ? ?d=2.

4.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂.第 1 天,它飞出去找回了 5 个伙伴; 第 2 天,6 只蜜蜂飞出去,各自找回了 5 个伙伴??如果这个找伙伴的 过程继续下去,第 6 天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中共有蜜蜂的只数 是( ) A.55986 C.216 B.46656 D.36

解析 第一天:a1=1+5=6,第二天:a2=6+6×5=6×6,第三 天:a3=6+6×5+a2×5=a2×6=63,?,第 6 天,a6=66=46656. 答案 B

5.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为 p%、q%,则 这两年的平均增长率是( p%+q% A. 2 B.p%· q% C. ?1+p%??1+q%? D. ?1+p%??1+q%?-1 解析 设第一年的产值为 a, 平均增长率为 x, 则 a(1+p%)(1+q%) =a(1+x)2, )

∴x= ?1+p%??1+q%?-1. 答案 D

6.如果一对兔子每月能生产一对(一雌一雄)小兔子,而每一对小 兔子在它出生的第三个月里,又能生产一对小兔子.假定在不发生死 亡的情况下,由一对初生的小兔子从第一个月开始,如果用 a1 表示初 生小兔子的对数, an 表示第 n 个月的兔子总对数, 那么 a5 的值为( A.3 C.6 B.5 D.8 )

解析 a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5. 答案 B

二、填空题 7.在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用同 样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层, 就一个球;第 2,3,4,?堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆 放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f(n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f(3) = ________;f(5)=________.

解析 f(3)=1+3+6=10, f(5)=1+3+6+10+15=35. 答案 10 35 8.某企业 2009 年 12 月份产值是这年 1 月份产值的 p 倍,则该企 业 2009 年度的产值月平均增长率为________.

解析 设月平均增长率为 r,由 a(1+r)11=pa,得 r= 答案 11 p -1

11

p-1.

9.某林场年初有森林、木材存量 S 立方米,木材以 25%的增长率 生长,而每年末要砍伐固定的木材量 x 立方米,为实现两年砍伐后的 木材存量增加 50%,则 x=________. 解析 第一次砍伐木材后的存量为 S(1+25%)-x,第二次砍伐后
?5? 5 的木材存量为[S(1+25%)-x](1+25%)-x, 由题意得?4?2S-4x-x=S(1 ? ?

S +50%),得 x=36. S 答案 36 三、解答题 10.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 2 kB,然后 每 3 分钟自身复制一次,复制所占内存是原来的 2 倍,则经过多少分 钟,该病毒将占据内存 64 MB(1 MB=210kB)? 解 由题知这是一个首项为 2,公比为 2 的等比数列;设为{an}(an

为第 n-1 次复制后占据的内存大小), ∴an=2n.由 an=64×210 得 n=16. 因此复制了 15 次,所需时间为 45 分钟. ∴经过 45 分钟,该病毒占据内存 64 MB. 11.一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放 1 支铅笔,往上每一 层都比下面一层多放 1 支,最上面一层放了 120 支,求这个 V 形架上 共放了多少支铅笔?



由题可知,该 V 形架中每层所放的铅笔数由下向上依次成等

差数列,其中 a1=1,d=1,an=120,又 an=a1+(n-1)d=n,∴n= 120,∴Sn= ?a1+an?n ?1+120?×120 = =7260.∴这个 V 形架上共放了 2 2

7260 支铅笔.

12.某厂生产计算机,原计划第一季度每月增加台数相同,在生 产过程中,实际上二月份比原计划多生产 10 台,三月份比原计划多生 产 25 台,这样三个月产量成等比数列.且第三个月的产量比原计划第 一季度总产量的一半少 10 台.问该厂第一季度实际生产计算机多少 台? 解 根据已知,可设该厂第一季度原计划 3 个月生产计算机台数

分别为 x-d,x,x+d(d>0),则实际上 3 个月生产计算机分别为 x-d, x+10,x+d+25.

??x+10? =?x-d??x+d+25?, 由题意得? 3x x + d + 25 = ? 2 -10,
解得 x=90,d=10. 故 有 (x - d) + (x + 10) + (x + d + 25) = 3x + 35 = 3×90 + 35 = 305(台).

2

∴该厂第一季度实际生产计算机 305 台. 思 维 探 究 13.某公司经销一种数码产品,第 1 年获利 200 万元,从第 2 年 起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少 20 万元,按照 这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起, 该公司经销这一产品将亏损? 解 由题意可知,设第 1 年获利为 a1,第 n 年获利为 an,则 an-

an-1=-20,(n≥2,n∈N+),每年获利构成等差数列{an},且首项 a1 =200,公差 d=-20,所以 an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)= -20n+220.若 an<0,则该公司经销这一产品将亏损,由 an=-20n+ 220<0,解得 n>11,即从第 12 年起,该公司经销这一产品将亏损.


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