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版高中数学第一章解三角形13正弦定理余弦定理的应用二学案苏教版必修5(数学教案)


1.3 正弦定理、余弦定理的应用(二) 学习目标 1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体的高度测量问题.2. 会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识. 知识点一 测量仰角(或俯角)求高度问题 思考 如图,AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,如果能测出点 C,D 间的距离 m 和由 C 点,D 点观察 A 的仰角,怎样求建筑物的高度 AB(已知测角仪器的高是 h)? 梳理 问题的本质用 α 、β 、m 表示 AE 的长,所得结果再加上 h. 知识点二 测量方向角求高度问题 思考 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧远处一山顶 D 在西偏北 15°的方向上,行驶 5 km 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 25°的方向上,仰 角为 8°,怎样求此山的高度 CD? 梳理 问题本质是:如图,已知三棱锥 D-ABC,DC⊥平面 ABC,AB=m,用 α 、β 、m、γ 表示 DC 的长. 1 类型一 测量仰角(或俯角)求高度问题 命题角度 1 仰角问题 例 1 如图所示,D,C,B 在地平面同一直线上,DC=10 m,从 D,C 两地测得 A 点的仰角分 别为 30°和 45°,求 A 点离地面的高 AB. 引申探究 如图所示, 在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的坡度为 15°, 向山顶前进 100 m 到达 B 处,又测得 C 对于山坡的斜度为 45°,若 CD=50 m,山坡对于地平 面的坡度为 θ ,求 cos θ . 命题角度 2 俯角问题 例 2 在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是 30°、60°,则塔高 为________ m. 反思与感悟 利用正弦、余弦定理来解决实际问题时,要对所给的实际背景进行加工、提炼, 抓住本质,抽象出数学模型,使之转化为解三角形问题. 跟踪训练 1 江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮 台顶部测得俯角分别为 45°和 30°,而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船相距 ________ m. 2 类型二 测量方位角求高度问题 例 3 如图所示,A、B 是水平面上的两个点,相距 800 m,在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45°, ∠BAD=120°,又在 B 点测得∠ABD=45°,其中 D 点是点 C 到水平面的垂足,求山高 CD. 反思与感悟 此类问题特点:底部不可到达,且涉及与地面垂直的平面,观测者两次观测点 所在直线不经过“目标物”.解决办法是把目标高度转化为地平面内某量,从而把空间问题 转化为平面内解三角形问题. 跟踪训练 2 如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方 向上,测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 m 到位置 D,测得∠BDC= 45°,则塔 AB 的高是________ m. 3 1.一架飞机在海拔 8 000 m 的高空飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是 30° 和 45°,则这个海岛的宽度为________ m.(精确到 0.1 m) 2. 甲、 乙两楼相距 20 米, 从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°, 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°, 则甲、乙两楼的高分别是________________ 米. 3. 如图所示, 在地面上共线的三点

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