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排列组合期末复习(学生版)


排列组合常见题型及解法
1 重复排列“求幂运算”
例1 8 名同学争夺 3 项冠军,获得冠军的可能性有( )

2. 特殊元素(位置)用优先法 例 1. 6 人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法?
例 2(2000 年全国高考题)乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名参加比赛,3 名主力队员要安排在第一、 三、五位置,其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_________种(用数字作答) 。 例 3 5 个“1”与 2 个“2”可以组成多少个不同的数列?

3. 相邻问题用捆绑法
例 1.(1996 年上海高考题)有 8 本不同的书,其中数学书 3 本,外文书 2 本,其他书 3 本,若将这些书排成一列放 在书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有____________种(结果用数字表示) 。

4. 相离问题用插空法 例. 7 人排成一排,甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法? 5. 定序(顺序一定)问题用除法 例. 由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的六位数有多 少个? 6. 多排问题用直排法 例. 9 个人坐成三排,第一排 2 人,第二排 3 人,第三排 4 人,则不同的坐法共有多少种? 7. 至少问题正难则反“排除法” 例 1. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点,取其中 4 个不共面的点,则不同的取法共有( ) A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 8.错位排列问题:错位排列问题是一个古老的问题,最先由贝努利(Bernoulli)提出,其通常提法是:n 个有序元素,
全部改变其位置的排列数是多少?所以称之为“错位”问题。 例 1.五个编号为 1、2、3、4、5 的小球放进 5 个编号为 1、2、3、4、5 的小盒里面,全错位排列(即 1 不放 1, 2 不放 2,3 不放 3,4 不放 4,5 不放 5,也就是说 5 个全部放错)一共有多少种放法? 例 2.五个瓶子都贴了标签,其中恰好贴错了三个,则错的可能情况共有多少种?

9. “隔板法”
例:为构建和谐社会出一份力,一文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有 4 个歌舞节目,如果保持这些节 目的相对顺序不变,拟再添 2 个小品节目,则不同的排列方法有多少种?

例. 有 10 个三好学生名额,分配到 6 个班,每班至少 1 个名额,共有多少种不同的分配方案? 10.分球入盒问题
例将 5 个小球放到 3 个盒子中,在下列条件下,各有多少种投放方法? ① 小球不同,盒子不同,盒子不空
3 1 2 2 解: 将小球分成 3 份, 每份 1, 1, 3 或 1, 2, 2。 再放在 3 个不同的盒子中, 即先分堆, 后分配。 有 ( C5C2 + C5 C3 ) ? A3 3 A2 A2 2 2

②小球不同,盒子不同,盒子可空 ③小球不同,盒子相同,盒子不空

解: 35 种
3 1 2 2

解:只要将 5 个不同小球分成 3 份,分法为:1,1,3;1,2,2。共有 C5C2 + C5C3 =25 种 2 2
A2 A2
3

④小球不同,盒子相同,盒子可空 本题即是将 5 个不同小球分成 1 份,2 份,3 份的问题。共有 C 5 ? (C 4 ? C 3 ) ? ( C5C2 + C5C3 ) ? 41 种 5 5 5 2 2
A2 A2
1 2 2

⑤小球相同,盒子不同,盒子不空 解: (隔板法) 。0 \ 00 \ 00 ,有 C4 种方法
2

⑥小球相同,盒子不同,盒子可空 把 5 个小球及插入的 2 个隔板都设为小球(7 个球) 。7 个球中任选两个变为隔板(可以相邻) 。那么 2 块隔板分成
2 3 份的小球数对应于 相应的 3 个不同盒子。故有 C7 =21

解:分步插板法。 ⑦小球相同,盒子相同,盒子不空 解:5 个相同的小球分成 3 份即可,有 3,1,1;2,2,1。 共 2 种 ⑧小球相同,盒子相同,盒子可空 解:只要将将 5 个相同小球分成 1 份,2 份,3 份即可。分法如下:5,0,0; 4,1,0;3,2,0; 3,1,1; 2,2,1。 例、有 4 个不同的小球,放入 4 个不同的盒子内,球全部放入盒子内 (1)共有几种放法?(答: 44 )
2 3 (2)恰有 1 个空盒,有几种放法?(答: C4 A4 ? 144 )

2 3 (3)恰有 1 个盒子内有 2 个球,有几种放法?(答:同上 C4 A4 ? 144 )

3 2 2 2 (4)恰有 2 个盒子不放球,有几种放法?(答: C4 A4 ? C4 C4 ? 84 )

11.分组问题与分配问题
①分组问题:均匀分组,除法处理;非均匀分组,组合处理 例。有 9 个不同的文具盒: (1)将其平均分成三组; (2)将其分成三组,每组个数 2,3,4。上述问题各有多少 种不同的分法? 练习:12 个学生平均分成 3 组,参加制作航空模型活动,3 个教师各参加一组进行指导,问有多少种分组方法? ②分配问题: 定额分配,组合处理; 随机分配,先组后排。 例。有 9 本不同的书: (1)分给甲 2 本,乙 3 本,丙 4 本; (2)分给三个人,分别得 2 本,3 本,4 本。上述问题 各有多少种不同的分法?

概率
Ⅰ、随机事件的概率 例 1 某商业银行为储户提供的密码有 0,1,2,?,9 中的 6 个数字组成. (1)某人随意按下 6 个数字,按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少? (2)某人忘记了自己储蓄卡的第 6 位数字,随意按下一个数字进行试验,按对自己的密码的概率是多少? 例 2 一个口袋内有 m 个白球和 n 个黑球,从中任取 3 个球,这 3 个球恰好是 2 白 1 黑的概率是多少?(用组合数表 示) Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率 例 3 在 20 件产品中有 15 件正品,5 件次品,从中任取 3 件,求: (1)恰有 1 件次品的概率; (2)至少有 1 件次品的概率. 例 4、 1 副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块 4 种花色,每种 13 张,共 52 张,从 1 副洗好的牌中任取 4 张,求 4 张中至少有 3 张黑桃的概率. Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率
[来源:学+科+网]

例 5 猎人在距离 100 米处射击一野兔,其命中率为 0.5,如果第一次射击未中,则猎人进行第二次射击,但距离 150 米. 如果第二次射击又未中, 则猎人进行第三次射击, 并且在发射瞬间距离为 200 米. 已知猎人的命中概率与距 离的平方成反比,求猎人命中野兔的概率. 例 6 要制造一种机器零件,甲 机床废品率为 0.05,而乙机床废品率为 0.1,而它们的生产是独立的,从它们制造的 产品中,分别任意抽取一件,求: (1)其中至少有一件废品的概率; (2)其中至多有一件废品的概率. Ⅳ、概率内容的新概念较多,本课时就学生易犯错误作如下归纳总结: 类型一 “非等可能”与“等可能”混同

例 1 掷两枚骰子,求所得的点数之和为 6 的概率. 类型二 “互斥”与“对立”混同 例 2 把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人,每个人分得 1 张,事件“甲分得红牌”与“乙 分得红牌”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.以上均不对 类型三 “互斥”与“独立”混同 例 3 甲投篮命中率为 O.8,乙投篮命中率为 0.7,每人投 3 次,两人恰好都命中 2 次的概率是多少?

几何概型
1、 【2012 高考真题辽宁理 10】在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,领边长分别等于线段 AC,CB 的 长,则该矩形面积小于 32cm2 的概率为 (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

2、 【2012 高考真题湖北理 8】如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB

内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 A. 1 ? C.

2 π

2 π

1 1 ? 2 π 1 D. π
B.

3、 【2012 高考真题北京理 2】设不等式组 ? 标原点的距离大于 2 的概率是 (A)

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 ?0 ? y ? 2
4 ?? 4

? 4

(B)

? ?2
2

(C)

? 6

(D)

练习: 一、从 10 位同学(其中 6 女,4 男)中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为 通过测验的概率均为

4 ,每位男同学能 5

3 .试求: 5

(Ⅰ)选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率; (Ⅱ)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率. 二、 已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组,每组 4 支.求: (Ⅰ)A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率. (2004 年全 国卷Ⅱ)

三、为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措 施后此突发事件不发生的 概率(记为 P)和所需费用如下: 预防措施 P 费用(万元) 甲 0.9 90 乙 0.8 60 丙 0.7 30 丁 0.6 10

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过 120 万元的前 提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大.(2004 年湖北卷)
[来源:学|科|网]

作业 1、给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色 方案如下图所示:

n=1 n =2

n=3

n=4

由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 黑色正方形相邻的着色方案共有 种.(结果用数值表示)

种,至少有两个

2、设整数 n ? 4 , P (a, b) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,其 中 a, b ?{1, 2,3, (1)记 An 为满足 a ? b ? 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 ( a ? b) 是整数的点 P 的个数, 求 Bn [来源:Zxxk.Com]

, n}, a ? b

1 3


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