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高中数学基础知识与典型例题复习_图文


映 射

函 数

数学基础知识与典型例题复习第二章函数 例 1.若 A ? {1,2,3,4},B ? {a, b, c} ,则 A 到 B 映射:设非空数集 A,B,若 对集合 A 中任一元素 a, 在集 的映射有 个, B 到 A 的映射有 个; 合 B 中有唯一元素 b 与之对 若 A ? {1,2,3} , B ? {a, b, c} , 则 A 到 B 的一一映 应,则称从 A 到 B 的对应为 射有 个。 映射,记为 f:A→B,f 表示 例 2. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集合 对应法则,b=f(a)。若 A 中不 N,映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素 n 映射到 同元素的象也不同, 且 B 中每 集合 B 中的元素 2 n ? n ,则在映射 f 下,象 20 一个元素都有原象与之对应 , 的原象是 ( ) 则称从 A 到 B 的映射为一一 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 映射。 例 3.已知扇形的周长为 20,半径为 r ,扇 1.函数定义:函数就是定 ;定义域 义在非空数集 A, B 上的映射, 形面积为 S ,则 S ? f (r ) ? 此时称数集 A 为定义域, 象集 为 。 C={f(x)|x∈A}为值域。 x 2 ? 3x ? 4 f ( x ) ? 例 4. 求 函 数 的定义 2.函数的三要素: 定义域, x ?1 ? 2 值域, 对应法则. 从逻辑上讲, 域. 定义域,对应法则决定了值 例 5. 若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1,1], 域,是两个最基本的因素。 1 1 3. 函数定义域的求法: 列 求函数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域。 4 4 出使函数有意义的自变量的 不等关系式, 求解即可求得函 数的定义域 . 常涉及到的依据 为:①分母不为 0;②偶次根 式中被开方数不小于 0;③对 数的真数大于 0,底数大于零 且不等于 1;④零指数幂的底 数不等于零; ⑤实际问题要考 虑实际意义等. 注 : 求函数定义域是通过 解关于自变量的不等式(组) 来实现的。 函数定义域是研究 函数性质的基础和前提。 函数 对应法则通常表现为表格, 解 析式和图象。

中常见问题, 在初等数学范围 内,直接法的途径有单调性, 基本不等式及几何意义, 间接 法的途径为函数与方程的思 想, 表现为△法, 反函数法等, 在高等数学范围内, 用导数法 求某些函数最值(极值)更加 方便. ⑵常用函数的值域, 这是 求其他复杂函数值域的基础。 ①函 数 y ? kx ? b(k ? 0, x ? R) 的 值 域 为 R; ② 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) 当 a ? 0 时值 域是 [ 4ac ? b , ??) , 当 a ? 0 时值
2

?1? (A) y ? 5 2? x (B) y ? ? ? ? 3?
x

1

1? x

?1? (C) y ? ? ? ? 1 (D) y ? 1 ? 2 x ?2?

4a

域是 ( ??,

4ac ? b 2 4a
x

] ;③反比

例函数 y ? k (k ? 0, x ? 0) 的值域 为 { y | y ? 0} ; ④ 指 数 函 数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1, x ? R) 的 值 域 为 R ? ;⑤对数函数 y ? loga x (a ? 0, 且a ? 1, x ? 0) 的 值 域 为 R ; ⑥ 函 数 y ? sin x, y ? cos x( x ? R) 的 值 域 为 [-1 , 1] ; 函 数
y ? tan x, x ? k? ?

? 2

,

y ? cot x

R; 单 函数的单调区间可以是整个 调 定义域, 也可以是定义域的一 性 部分. 对于具体的函数来说可 能有单调区间, 也可能没有单 调区间,如果函数在区间(0, 1)上为减函数,在区间(1, 2)上为减函数,就不能说函

( x ? k? , k ? Z ) 的值域为

例 9.讨论函数 f ( x) ? 1 ? x 2 的单调性。

函 4.函数值域的求法:①配 1 ? x2 例 6. 已 知 g ( x) ? 1 ? 2 x, f ? g ( x) ? ? 2 数 方法(二次或四次);②判别式 x 法;③反函数法(反解法) ; 1 (x?0), 求 f ( ) . ④换元法(代数换元法) ;⑤ 2 不等式法;⑥单调函数法. 例 7. 求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域. 注 : ⑴求函数值域是函数 ? ?? 的是( ) 例 8. 下列函数中值域为 ?0 ,

(0, 1 )( ? 1, 2) 数在 上为减函 数. 1 单 单调性: 研究函数的单调 x ?1 例 10. 函数 y ? 2 在定义域上的单调性 调 性应结合函数单调区间, 单调 为( ) 性 区间应是定义域的子集。 (A)在 ?? ?,1? 上是增函数,在 ?1,??? 上是 判断函数单调性的方法: ①定义法 (作差比较和作商比 增函数;(B)减函数;(C)在 ?? ?,1? 上是减函

较) ;②图象法;③单调性的 数,在 ?1,??? 上是减函数;(D)增函数 运算性质 (实质上是不等式性 例 11.已知函数 f (x), g (x)在 R 上是增函 质) ; 数,求证:f [g (x)]在 R 上也是增函数。 ④复合函数单调性判断 法则 ; ⑤导数法(适用于多项 式函数) 函数单调性是函数性质 中最活跃的性质, 它的运用主 要体现在不等式方面, 如比较 大小,解抽象函数不等式等。 奇 1.⑴偶函数:f (? x) ? f ( x) . 例 12.判断下列函数的奇偶性: 偶 设( a , b )为偶函数上一点, 1? x ① f ( x) ? ( x ? 1) , 性 则( ? a, b )也是图象上一点. 1? x ⑵偶函数的判定: 两个条 ② f ( x) ? x 2 ? 1 1 ? x 2 , 件同时满足①定义域一定要 2 ? ? x ? x ( x ? 0) 关于 y 轴对称, 例如:y ? x 2 ? 1 ③ f ( x) ? ? 2 ? ? x ? x ( x ? 0) 在 [1,?1) 上不是偶函数 . ②满足 f ( ? x) ? f ( x) , 或 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 , 若 f ( x) ? 0 时,
f ( x) ? 1. f (? x)

数 . 函数 y ? f ( x) 的反函数记 为
x? f
?1
?1

与 y ? f ?1 ( x ? 1) 的图象关于直线 y= x 对称,求 g(11)的值。

( y)

,习惯上记为

y? f

( x) .

2. 求反函数的步骤 : ①将
y ? f ( x)

看成关于 x 的方程 , 解出
x ? f ?1 ( y) ,

若有两解, 要注意解的选 择 ; ② 将 x, y 互 换 , 得

y ? f ?1 ( x) ;③写出反函数的
定义域(即 y ? f ( x) 的值域) 。 3. 在 同 一 坐 标 系 , 函 数
y ? f ( x) 与 它 的 反 函 数

2. ⑴ 奇 函 数 : f (? x) ? ? f ( x) .设( a , b )为奇函 数上一点,则( ? a,?b )也是 图象上一点. ⑵奇函数的判定: 两个条 件同时满足①定义域一定要 关于原点对称, 例如:y ? x 3 在 [1,?1) 上 不 是 奇 函 数 . ② 满 足 f (? x) ? ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 , 若 f ( x) ? 0 时,
f ( x) ? ?1 . f (? x)

y? f

?1

( x) 的图象关于 y ? x 对

称. [注]: 一般地, f ?1 ( x ? 3) ? f ( x ? 3) 的反函数. f ?1 ( x ? 3) 是先 f ( x) 的 反函数, 在左移三个单位.
f ( x ? 3) 是先左移三个单

注:函数定义域关于原点对称 是判断函数奇偶性的必要条件, 在 利用定义判断时, 应在化简解析式 后进行, 同时灵活运用定义域的变 f (? x) 形, 如 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 , (f(x) ? ?1
f ( x)

位,在 f ( x) 的反函数.
4.⑴单调函数必有反函数,但 反 例 15. 若函数 y ? f ( x) 的图象经过 (0,?1) , 函 并非反函数存在时一定是单调的 . 那么 y ? f ( x ? 4) 的反函数图象经过点( ) 数 因此,所有偶函数不存在反函数. (A) (4,?1) (B) (?1,?4) ⑵如果一个函数有反函数且 (C) (?4,?1) (D) (1,?4) 为奇函数, 那么它的反函数也为奇 例 16. 设 f ?x ? ? 4 x ? 2 x ?1 , 则 函数. f ?1 ?0? ? ________. ⑶设函数 y = f(x)定义域, 例 17. 函 数 y ? mx ? 1( x ? R), 与 值域分别为 X、Y. 如果 y = f(x)

≠0)

反 函 数

例 13.求函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 (?1≤ x < 0) x ??? ? y ,函数 y ? f ( x) 才有 的反函数 唯一 2x ? 3 例 14.已知 f ( x ) ? ,函数 y=g(x)图象 x ?1 反函数 . 例如: y ? x2 无反函

1.反函数定义:只有满足

在 X 上是增(减)函数,那么反 函数 y ? f ?1 ( x) 在 Y 上一定是增 (减) 函数, 即互为反函数的两个 函数增减性相同. ⑷一般地,如果函数 y ? f ( x) 有 反 函 数 , 且 f (a) ? b , 那 么
f ?1 (b) ? a .

y?

x ? n( n ? R ) 互 为 反 函 数 的 充 要 条 件 是 2

N 叫真数. ⑴对数运算:
① log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N M ? log a M ? log a N N ③ log a M n ? n log a M ② log a 1 ④ log a n M ? log a M ? n log a N ⑤a ?N ⑥换底公式: log a N ? log b N log b a

例 23.求函数 y ? log1 ( x 2 ? 3x ? 18) 的单调
2

___________.

1 例 18. 若点 (2, ) 既在函数 y ? 2 ax ?b 的图象 4 b =___ 上, 又在它的反函数的图象上, 则 a =__,
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减区间,并用单调定义给予证明。 例 24. 求下列函数的定义域、值域: ①

y ? 2?x

2

?1

?

1 4

;



这就是说点( a , b )在

y ? log1 (? x 2 ? 4x ? 5)
3

函 数 y ? f ( x) 图 象 上 , 那 么 点 ( b, a )在函数 y ? f ?1 ( x) 的图象 上. 注:1.函数 f(x)的反函数 f-1(x) 的性质与 f(x)性质紧密相连,如定 义域、 值域互换, 具有相同的单调 性等,把反函数 f-1(x) 的问题化归为函数 f(x)的问题 是处理反函数问题的重要思想。 2.设函数 f(x)定义域为 A,值 域为 C,则① f [f(x)]=x,(x?A) ② f[f-1(x)]=x,(x?C)
-1

⑦推论: log a b ? log b c ? log c a ? 1 ? log a1 a2 ? log a2 a3 ? ... ? log an?1 an ? log a1 an (以上M ? 0, N ? 0, a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1, a1 , a2 ,..., an ? 0且 ? 1)







loga x 2 ? 2log a x(? 2log a x 中 x >

指 数 函 数 与 对 数 函 数

1. 指 数 函 数 : y ? a x 例 19.函数 y ? a x?2 ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的 ( a ? 0, a ? 1 ) ,定义域 R,值 图象必经过点( ) 域为( 0,?? ).⑴①当 a ? 1 ,指 (A)(0,1) (B)(1,1) x (C) (2, 0) (D) (2,2) 数函数: y ? a 在定义域上为 3 增函数;②当 0 ? a ? 1 ,指数 3 log 2 ? log 9 ? 2 log ( ) 例 20. 7 7 7 函数: y ? a x 在定义域上为减 2 2 函数.⑵当 a ? 1 时, y ? a x 的 a 值越大,越靠近 y 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反.

0 而 loga x 2 中 x∈R). ⑵ y ? a x ( a ? 0, a ? 1 )与 y ? loga x 互为反函数. 当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反. 3x ? 7 1 图 ① y = f ( x ) 例 25.讨论函数 y ? 的图象与 y ? 的图 y轴对称 象 ??? x?2 x ?? y ? f(? x) 变 ② y =f ( x ) 象的关系。 x 轴对称 换 ??? ?? y ? ? f(x) ③
原点对称

y

=f



x



??? ?? y ? ? f(? x)

指 2. 对 数 函 数 : 如 果 a 例 21.设 x, y, z ? (0,??) 且 3 x ? 4 y ? 6 z , 数 ( a ? 0, a ? 1 )的 b 次幂等于 函 1 1 1 ? ; ⑵比较 3x,4 y,6 z 的大 ⑴ 求证 : ? b 数 N, x 2y z 就是 a ? N , 数 b 就叫做以 与 a 为 底 的 N 的 对 数 , 记 作 小. 对 例 22. 已 知 f ( x) ? 1 ? logx 3 , 数 log a N ? b( a ? 0, a ? 1 ,负数和 g ( x) ? 2 log 2 , x 函 零没有对数) ;其中 a 叫底数, 试比较 f ( x)和g ( x) 的大小。 数

④ y=f(x)→y=f(|x|), 把x 轴上方的图象保留, x轴下方 的图象关于x轴对称 ⑤ y=f(x)→y=|f(x)| 把 y 轴右边的图象保留, 然后将y 轴右边部分关于y轴对称。 (注意:它是一个偶函数) ⑥ 伸 缩 变 换 : y=f(x)→y=f( ω x), y=f(x)→y=Af( ω x+ φ ) 具体参

照三角函数的图象变换。 注:一个重要结论: 若 f(a -x)=f(a+x),则函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=a 对称; 一 1.一元一次函数: y ? ax ? b(a ? 0) ,当 a ? 0 时,是增函数;当 a ? 0 时, 次 是减函数; 函 b 2.一元二次函数:一般式: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;对称轴方程是 x ? ? ;顶 数 2a 与 点为 b 4ac ? b2 ;两点式: y ? a( x ? x )(x ? x ) ;对称轴方程是 ;与 x (? , ) 1 2 2a 4a 二 ;顶点式: y ? a( x ? k ) 2 ? h ;对称轴方程是 ; 次 轴的交点为 函 顶点为 ; 数 ⑴一元二次函数的单调性: 当 a ? 0 时: 为增函数; 为减函 数;当 a ? 0 时: 为增函数; 为减函数; ⑵二次函数求最值问题: 首先要采用配方法, 化为 y ? a( x ? k ) 2 ? h 的形式, (Ⅰ)、若顶点的横坐标在给定的区间上,则当 a ? 0 时:在顶点处取得最小 值, 最大值在距离对称轴较远的端点处取得; 当 a ? 0 时: 在顶点处取得最大值, 最小值在距离对称轴较远的端点处取得; (Ⅱ)若顶点的横坐标不在给定的区间上,则当 a ? 0 时:最小值在距离对称 轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得;当 a ? 0 时:最 大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取 得; 一 次 函 数 与 二 次 函 数 ⑶二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x 2 ;则:
根的情 况 等价命 题

一 次 函 数 与 二 次 函 数

间 (m, n) 上实根分布的情况,得出结果,在令 x ? n 和 x ? m 检查端点的情况。 注:常见的初等函数一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函 数。 特别指出,分段函数也是重要的函数模型。 例 26. 当 0≤x≤1 时,函数 y=ax+a-1 的值有正值也有负值,则实数 a 的 取值范围是( ) 1 1 1 (A)a< (B)a>1 (C)a< 或 a>1 (D) <a<1 2 2 2 2 3 例 27.已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? a) x ? 1 在 (??,?1] 上递增,则 a 的取值范 围是( ) (A) a ≤ 3 (B) ? 3 ≤ a ≤ 3 (C) 0 ? a ≤ 3 (D) ? 3 ≤ a ? 0 例 28. 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? (a 2 ? b) x ? c 的 图 像 开 口 向 上 , 且 ) f (0) ? 1 , f (1) ? 0 ,则实数 b 取值范围是( 3 3 (A) ( ?? ,? ] (B) [ ? ,0) (C) [0,??) (D) (??,?1) 4 4 x?0 ?1, ? x ? 0 , 则 方 程 x ? 1 ? (2 x ? 1) f ( x ) 的 解 例 29. 设 函 数 f ( x ) ? ?0, ?? 1, x?0 ? 为
.

数学基础知识与典型例题(第二章函数)答案 例 1. 34 , 43 ,6; 例 2. C 例 3. (10 ? r )r , (0,10) 对于实际问题,在求出函数解析式后,此时的定义域要根据 实际意义来确定。 例 4. 解:∵解析式有意义的充要条件是:
? x 2 ? 3 x ? 4 ≥ 0 ? x ≥ ?4或x ≤ ?1 ? ? x ? ?3或 ? 3 ? x ≤ ?1或x ≥ 4 ?? ? x ? 1 ? 2 ? 0 x ? ? 3 且 x ? 1 ? ? ?

x1 ≥ x2 ? k
在区间 ( k ,??) 上 有两根

x1 ≤ x2 ? k
在区间 (??, k ) 上 有两根
Δ ≥0 ? ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? a ? f (k ) ? 0。

x1 ? k ? x2
在区间 ( k ,??) 或

(??, k ) 上有一根

充要条 件

Δ ≥0 ? ? b ? ?k ?? ? 2a ? ?a ? f (k ) ? 0。

a·f(k)<0

∴函数 f ( x) ?

?a ? f ( p ) ? 0 另外:①二次方程 f(x)=0 的一根小于 p, 另一根大于 q(p<q) ? ? ?a ? f (q) ? 0。 ? f ( p) ? 0 ②二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)· f(q)<0, 或? ?a ? f (q) ? 0 ? f (q) ? 0 (检验)或 ? (检验) 。 ?a ? f ( p) ? 0 ③若在闭区间 [m, n] 讨论方程 f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区

x 2 ? 3x ? 4 的定义域为{ x| x ? ?3或 ? 3 ? x ≤ ?1或x ≥ 4 } x ?1 ? 2

1 3 ? ? 5 ?1 ≤ x ? ≤ 1 ?? ≤ x ≤ ? 3 3 ? ? 4 4 4 ?? ? ? ≤ x≤ 例 5. 解:要使函数有意义, 必须: ? 4 4 ??1 ≤ x ? 1 ≤ 1 ?? 3 ≤ x ≤ 5 ? ? ? 4 ? 4 4

1 1 ? 3 3? ∴ y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域是 ? ? , ? . 4 4 ? 4 4?
(1 ? t )2 1 3 ?1? 2 例 6.解一: 令 t ? 1 ? 2 x , 则 x ? 1 ? t , ∴ f (t ) ? 4 ? 3 ? 2t ? t ∴ f ( 1 ) ? 4 ? 15 2 (1 ? t )2 2 1 ?1 ? 1 1 ? 2t ? t 2 4 4 1 2 1 1? ( ) 解二:令 1 ? 2 x ? 1 则 x ? ∴ f ( 1 ) ? 4 ? 15 4 2 1 2 2 ( ) 4 1?

? 1? x ? 0 ? 例 12①解:定义域: ?1 ? x ? ?1 ≤ x ? 1 ,关于原点非对称区间 ≥0 ? ?1 ? x ∴此函数为非奇非偶函数. 2 ? ? x ? 1≥ 0 ? x ≥ 1或x ≤ ?1 ②解:定义域: ? ?? 2 ?1 ? x ≥ 0 ? ?1 ≤ x ≤ 1 ?
∴定义域为 x =±1,∵f (±1) = 0, ∴此函数为即奇且偶函数. ③解:显然定义域关于原点对称, ∵当 x>0 时, ?x<0 有 f (?x) = x2?x = ?(x?x2); ?? ( x 2 ? x) ( x ? 0) 2 2 当 x<0 时, ?x>0 有 f (?x) = ?x?x = ?(x +x)∴ f (? x) ? ? ? ? f ( x) 2 ?? ( x ? x ) ( x ? 0) ∴此函数为奇函数. 例 13.解:∵ ?1≤x < 0,∴0 < x2 ≤ 1 ,∴0≤1 ? x2 < 1,∴ 0 ≤ 1 ? x 2 < 1 , ∴0 < y ≤1 由: y ? 1 ? 1 ? x 2 解得: x ? ? 2 y ? y 2 (∵ ?1≤x < 0 ) ∴ y ? 1 ? 1 ? x 2 (?1≤ x < 0)的反函数是: y ? ? 2 x ? x 2 ( 0 < x ≤1 ) 例 14.解:利用数形对应的关系,可知 y=g(x)是 y=f-1(x+1)的反函数, 从而化 g(x)问题为已知 f(x)。∵ y ? f ?1 ( x ? 1) ∴ x ? 1 ? f ( y) ∴ x ? f ( y) ? 1 ∴ y ? f ?1 ( x ? 1) 的反函数为 y ? f ( x) ? 1 即 g ( x) ? f ( x) ?1 ∴ g(11)=f(11)-1= 评注:函数与反函数的关系是互为逆运算的关系, 当 f(x)存在反函数时,若 b=f(a),则 a=f-1(b). 例 15. B 例 16. 1 1 例 17. m=2,n= 2 12 10 例 18. a = ? , b = 7 7 1 1 解:由已知 (2, ) 在反函数的图象上,则 ( ,2) 必在原函数的图象上 4 4
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例 7. 解:设 t ? 1 ? x 则 t≥0 ∴x=1?t2 代入得 y=f (t )=2×(1?t2)+4t=?2t2+4t+2=?2(t?1)2+4 ∵t≥0∴y≤4∴所求值域为 ? ??, 4? 例 8. B 例 9. 解:定义域 {x|?1≤x≤1},在[?1,1]上任取 x1,x2 且 x1<x2 则 f ( x1 ) ? 1 ? x12 , f ( x2 ) ? 1 ? x2 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ? x12 ? 1 ? x2 2 =
x ?x
2 2 2 1

2 (1 ? x12 ) ? (1 ? x2 ) 2 1 ? x12 ? 1 ? x2

3 2

=

2 1 ? x12 ? 1 ? x2

?

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 )
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

2 ?0 ∵ x1 ? x2 ∴ x2 ? x1 ? 0 ,另外,恒有 1 ? x12 ? 1 ? x2

∴若?1≤x1<x2≤0 则 x1+x2<0 若 x1<x2≤1 则 x1+x2>0

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) < f ( x2 )

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) > f ( x2 )

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∴ 在[?1,0]上 f(x)为增函数,在[0,1]上为减函数。 例 10. C 例 11. 证:任取 x1, x2 ? R 且 x1 < x2 ∵g (x) 在 R 上是增函数,∴g (x1) <g (x2),

又∵f (x) 在 R 上是增函数,∴f [g (x1)] < f [g (x2)]而且 x1 < x2 , ∴ f [g (x)] 在 R 上是增函数 同理可以推广: 若 f (x)、g (x) 均是 R 上的减函数,则 f [g (x)] 是 R 上的增函数 若 f (x).g (x) 是 R 上的一增、一减函数,则 f [g (x)] 是 R 上的减函数

12 ? ?1 2 a ?b a?? ?2a ? b ? ?2 ? 2 ? ? 1 1 ? ? 7 所以原函数经过点 (2, ) 和 ( ,2) 则 ? 4 , 所以 ? 1 , 解得 ? 1 4 4 a ?b ?1 a ?b ?b ? 10 ? ? 4 4 ? 2 ? 2 ? ? 7 ?
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例 19.D
23 ? ( 3 2 2 9 )2 ? log7 1 ? 0

例 20.解:原式 ? log7

例 21.⑴证明:设 3x ? 4 y ? 6 z ? k ,

lg k lg k lg k ∵ x, y, z ? (0, ??) ,∴ k ? 1 取对数得: x ? ,y? ,z ? , lg 3 lg 4 lg 6
1 1 lg 3 lg 4 2lg 3 ? lg 4 2lg 3 ? 2lg 2 lg 6 1 ∴ ? ? ? ? ? ? ? x 2 y lg k 2lg k 2lg k 2lg k lg k z

2 1 1 ∵ ?1 ≤ x ≤1 ,∴ ?1 ≤ ? x 2 ≤ 0 从而 ?2 ≤ ? x2 ? 1≤ ?1 ,∴ ≤ 2? x ?1 ≤ , 4 2 2 1 1 1 1 ∴ 0 ≤ 2? x ?1 ? ≤ ,∴ 0 ≤ y ≤ ,∴定义域为[-1,1],值域为 [ 0, ] 2 4 4 2
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②要使函数有意义,则须: ? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? ?1 ? x ? 5 由 ? 1 ? x ? 5 ,∴在此区间内 (? x 2 ? 4x ? 5) max ? 9 , ∴ 0 ≤ ? x 2 ? 4 x ? 5 ≤ 9 从而 log 1 (? x2 ? 4 x ? 5) ≥ log 1 9 ? ?2 即:值域为 y ≥ ?2 ,
3 3
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64 lg k lg 3 4 lg 64 ? lg 81 81 ? 0 ,∴ 3x ? 4 y , ? ) ? lg k ? ? ⑵ 3 x ? 4 y ? lg k ( lg 3 lg 4 lg 3lg 4 lg 3lg 4
9 lg k ? lg 4 6 lg 36 ? lg 64 16 ? 0 , ? ) ? lg k ? ? 又∵ 4 y ? 6 z ? lg k ( lg 4 lg 6 lg 2 lg 6 lg 2 lg 6 ∴ 4 y ? 6 z ,∴ 3x ? 4 y ? 6 z 3x 例 22. 解: f ( x) ? g ( x) ? log x 4 ? x ?1 ? 0 ? x ?1 4 ? ? ?x? 或 ? ? 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? g ( x) ①当 ? 3x 3x 3 ?1 0? ?1 ? ? ?4 ? 4

∴定义域为[-1,5],值域为 [?2,??) 例 25.解:∵ y ?

王新敞
奎屯

新疆

3x 4 ? 1即x ? 时 f ( x)? g ( x) 4 3 x ? 0 ? ?0 ? x ? 1 4 ? ? ? 1 ? x ? 或 ? 3x ? x ? ? 时 f ( x) ? g ( x) ③当 ? 3x 3 0 ? ? 1 ? 1 ? ? ? 4 ? 4 4 综上所述: x ? (0,1) ? ( , ??) 时 f ( x) ? g ( x) ; 3 4 4 x ? 时 f ( x) ? g ( x) ; x ? (1, )时 f ( x) ? g ( x) 3 3

②当

1 3 x ? 7 3x ? 6 ? 1 1 ? ? 3? ∴可由 y ? 的图象向左平移两个单 x x?2 x?2 x?2 1 1 ? 3 的图象。 位得 y ? 的图象,再向上平移三个单位得 y ? x?2 x?2 例 26.D 例 27. D 例 28. D

例 29. x=0,2 或-

1 ? 17 4

例 23. 解:∵定义域 x2 ? 3x ? 18 ? 0 ? x ? 6或x ? ?3 ,∴单调减区间是 (6,??) . 设 x1, x2 ? (6, ??)且x1 ? x2 则 y1 ? log 1 ( x12 ? 3x1 ?18) , y2 ? log 1 ( x22 ? 3x2 ?18)
2 2

∵ ( x12 ? 3x1 ?18) ? ( x22 ? 3x2 ?18) = ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 3) ,又∵ x2 ? x1 ? 6 , ∴ x2 ? x1 ? 0 , x2 ? x1 ? 3 ? 0 ∴ x22 ? 3x2 ?18 ? x12 ? 3x1 ?18 , 又∵底数 0 ?
1 ? 1 ,∴ y2 ? y1 ? 0 , y2 ? y1 2
2

∴函数 y ? log1 ( x 2 ? 3x ? 18) 在 (6, ??) 上是减函数. 例 24①解:要使函数有意义,则须: 2? x
2

?1

1 ? ≥ 0 即: ? x2 ? 1≥ ?2 ? ?1≤ x ≤1 4


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