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函数的性质3-周期性与对称性


函数对称性与周期性
杨少辉

知识点一:对称性的代数表达式;
1、函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? a对称 ?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; 当 x1 ? x2 ? 2a 时,

如:f (a ? x) ? f (a ? x) 、 f (2a ? x) ? f ( x)

f (3a ? x) ? f ( x ? a) 等;

2、函数 f ( x) 的图像关于点 ( a, b) 对称

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2b ; 当 x1 ? x2 ? 2a 时,
如:f (a ? x) ?

f (a ? x) ? 2b
等;

f (2a ? x) ? f ( x) ? 2b

注意:若 f (a ) 有意义,则 f (a) ? b ;

总结:若函数方程中含有 f (式1),f (式2) 且

式1与式2中x 的系数相反,则函数 f ( x)具有
对称性;若 f (式1) ? f (式2) 则有对称轴;若
f (式1) ? f (式2) ? 常数 则有对称中心;

知识点二:简单的复合函数的奇偶性;
基本思想:转化成 f ( x) 的对称性来研究; (1)f ( x ? a)为奇函数 ? f (a ? x) ? ? f (a ? x)

(2) f ( x ? a) 为偶函数 ?f (a ? x) ? f (a ? x)

知识点三:函数对称性的一个应用;
(1)若 f ( x) 的图像关于 x ? a 对称,且在区 间 [a, ??) 上为增(减)函数;若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 则: | x1 ? a |?| x2 ? a | ( | x1 ? a |?| x2 ? a |) ;

f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 例1、已知 f ( x) 满足:

[1, ??) 上为增函数;若不等式 f (ax ? 1) ? f ( x2 ? 2)
对 ?x ? R 恒成立,求a的取值范围?

f ( x ? 1) 例2、函数 f ( x) 为定义在R上的减函数,
的图像关于点 (1, 0) 对称,若实数 x, y 满足:

f ( x ? 2x) ? f (2 y ? y ) ? 0 ;点 M (1, 2), N ( x, y)
2 2

???? ? ???? O 为原点,当 1 ? x ? 4 时, OM ? ON 的取值范围

是_______;

例3、已知等差数列 {an }同时满足:

2011? (1)(a2 ? 1) ? 2011(a2 ? 1) ? sin 3 2011? 3 (a2010 ? 1) ? 2011(a2010 ? 1) ? cos (2) 6
3

则 {an } 的前2011项和 S2011= _______;

知识点四:函数的周期性;
1、定义:对于定义域内的任意的 x 都存在
非零常数 T 使得 f ( x ? T ) ? f ( x) ,则称T 为函 数 f ( x) 的一个周期,函数 f ( x)为周期函数;

(注意:如无特殊说明所说周期为最小正周
期;)

2、常见的周期表达式:

(1)f ( x ? a) ? f ( x ? b);(a ? b) ? T ?| a ? b |
f ( x ? a ) ? b ? f ( x) ? T ? 2 | a | (2)
k ?T ? 2| a| (3)f ( x ? a) ? ? f ( x)

(4)f ( x ? a ) ? b ? f 2 ( x) ? T ? 2 | a |

f ( x ? 2a) ? f ( x ? a) ? f ( x) ? T ? 6 | a | (5)
1 ? f ( x) f ( x ? a) ? ?T ? 2| a| (6) 1 ? f ( x)

1 ? f ( x) ?T ? 4| a| f ( x ? a) ? (7) 1 ? f ( x) 总结:若已知 f (式1)与f (式2) 的一个函数方

程,且“式1”与“式2”中 x 的系数相同,
一般可以推出周期;

3、对称性与周期性的关系;

(1)若 f ( x) 关于对称轴 x ? a和x ? b 对称

?T ? 2| a ?b |
(2)若 f ( x) 关于 x ? a和(b,0) 对称

?T ? 4| a ?b |
(3)若 f ( x) 关于 (a,0)和(b,0) 对称

?T ? 2| a ?b |

例题讲解:函数的综合应用;

例1、若 f ( x) 是定义在R上的奇函数,且满足

f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则下列命题正确的有____;

f ( x) 周期为4; (1)f (2) ? 0 ;(2)
(3)f ( x) 对称中心为(2, 0) ;

f ( x)对称轴为 x ? 1 ; (4)

f ( x ? 1) 是 (变式1)已知 f ( x) 是R上的偶函数,

奇函数,且 f (2) ? 2,则:

f (1) ? f (2) ? ? ? f (2014) ? _______;

(变式2)已知定义在R上的函数 f ( x) 满足:
f ( x ? 1)为奇函数, f ( x ? 3) 为偶函数,f (0) ? 1

则: f (8) = _______; f (2007) = _______;

例2、已知 f ( x) 是定义在R上的奇函数,且满
足(1)f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 2) ; (2)f ( x) 在区间 [0, 2] 上为增函数;

f ( x) ? m, (m ? 0) 有四个 (3)x ?[?8,8] 时,
不等实根 x1 , x2 , x3 , x4 ;

x1 ? x2 ? x3 ? x4 = _______; 则:

(变式)已知定义在R上的函数 f ( x )满足:

? ? x ? 2, x ? [0,1) f ( x ? 2) ? f ( x ) f ( x) ? ? 且 2 ? ?2 ? x , x ? [?1, 0)
2

2x ? 5 g ( x) ,则 f ( x) ? g ( x) 在[?8,3] 上的所 x?2
有实跟之和为_______;

例3、已知 f ( x) 是定义在R上的偶函数,且
f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ?[?2, 0] 时,

? 2? x 的方程 ;若关于 f ( x) ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0;(a ? 0, a ? 1) 在区间 (?2,6)

x

恰有3个不等的实根,则a的取值范围是____;

? a ? x 2 ? 4 x, x ? 0 (变式)已知 f ( x) ? ? ;且 ? f ( x ? 2), x ? 0
函数 y ? f ( x) ? 2 x 恰有3个不同的零点,则实

数a的取值范围是_______;

谢谢指导!


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