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浙江省丽水市2012年高考第一次模拟测试数学(文科)试题卷


丽水市 2012 年高考第一次模拟测试
数学(文科)试题卷
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷上填写学校、班 级、考号、姓名; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满分 150 分,考 试时间 120 分钟. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) . 球的表面积公式 S ? 4?R 2 ,其中 R 表示球的半径. 球的体积公式 V ?

4 3 ?R ,其中 R 表示球的半径. 3

柱体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 锥体的体积公式 V ? 台体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3
1 h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) , 3

其中 S1 , S 2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高.

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) (1)已知集合 A ? {x x ? 1 , B ? {x ? 1 ? x ? 2} ,则 A ? B = } (A) {x x ? ?1 } (B) {x ? 1 ? x ? 1 } } (C) {x ? 1 ? x ? 2} (D) {x 1 ? x ? 2}

(2)已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则错误!不能通过编辑域代码创建对象。 (A) (C)

?1 ? 2i 1 ? 2i

(B) (D)

?1 ? 2i 1 ? 2i

开始 S=0 i =1 是 i > 100 否 输出 S S=S+2

(3)某程序框图如右图所示,该程序运行后输出 S 的值是 (A) 10 (B) 12

(C) 100

(D) 102

? 2 x ? y ? 0, ? (4)已知实数 x,y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 0, 则 2 x ? y 的最大值是 ?3 x ? y ? 5 ? 0, ?
(A) 0
a b

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(5) 2 ? 2 ”是 “ log 2 a ? log 2 b ”的 “ (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 (B) m ? n 且 m ? ? ,则 n // ? (D) m // n 且 m ? ? ,则 n ? ?

(6)设 m, n 为两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列结论成立的是 (A)

m // n 且 m // ? ,则 n // ?

(C) m ? n 且 m // ? ,则 n ? ?

(7)在某次大型活动期间,随机分派甲、乙、丙、丁四名志愿者分别担任 A、B、C、D 四项不同的 工作,则甲担任 D 项工作且乙不担任 A 项工作的概率是

1 1 7 (B) (C) 12 6 4 (8)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若
(A)

(D)

2 3

3b cos A ? c cos A ? a cos C ,则 tan A 的值是
(A) ? 2 2 (B) ?

2

(C)

2 2

(D)

2

(9)若双曲线的右焦点 F 到一条渐近线的距离是点 F 到右顶点的距离与点 F 到中心的距 离的等差中项,则离心率 e ? (A)

5 4

(B)

4 3

(C)

2

(D)

3

(10)如图,已知圆 M: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 ,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形,E,F 分别为边 AB, AD 的中点, 当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, ME ? OF 的取值范 围是 (A) [?6 2 ,6 2 ] (C) [?3 2 ,3 2 ] (B) (D)
y C D F A M B E x

[?6,6] [?4,4]

O

(第 10 题)

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) (11)在正项等比数列 {an } 中,若 a4 ? a8 ? 9 , 则 a6 ? .
2 2 2 1.5 3

(12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为 .
正视图

1.5
侧视图

(13)若非零向量 a, b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | , 则向量 a 与 a ? b 的夹角是 .

2
2 2

(14)若函数 f ( x) ? ? 则a ?

? x 2 ? ax, x ? 0, ? 是奇函数, 2 ?? x ? x, x ? 0, ?
.

俯视图

(第 12 题)

(15)为了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名高三男生的体重(kg) ,得到频率分 布直方图如下:

体重(kg) (第 15 题) 根据上图可得这 100 名学生中体重在 [56.5,64.5) 内的学生人数是
2 2 2

.

(16)若圆 M: ( x ? 3) ? y ? r (r ? 0) 上有且只有三个点到直线 3x ? y ? 3 ? 0 的 距离为 2,则 r ? .
2 2

(17)已知正数 a, b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a ? b ? ab 的最大值为

.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

? ? (18) (本题满分 14 分)设向量 a = (cos?x ? sin ?x, 1) , b = (2 sin ?x, 1) ,其中 ? ? 0 , x ? R ,
已知函数 f (x) ? a · b 的最小正周期为 4? . (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)若 sin x0 是关于 t 的方程 2t ? t ? 1 ? 0 的根,且 x0 ? ( ?
2

? ?

, ) ,求 f ( x0 ) 的值. 2 2

(19) (本题满分 14 分)已知公差不为零的等差数列 {an } 的前 10 项和 S10 ? 55 ,且 a2,a4,a8 成等 比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? (?1)n an ? 2n ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn .

(20) (本题满分 14 分)已知直三棱柱 ABC? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 是等腰三角形, ?BAC ? 120 ,
°

AB ?

1 AA1 ? 4 , CN ? 3 AN , 点 M ,P,Q 分别是 AA1,1 1 , AB 2

BC 的中点.
(Ⅰ)求证:直线 PQ // 平面 BMN ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 BMC 所成角的正弦值.

(21) (本题满分 15 分)若函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 在 R 上有三个零点,且同时满足: ① f (1) ? 0 ;② f (x) 在 x ? 0 处取得极大值; ③ f (x) 在区间 (0,1) 上是减函数. (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 g ( x) ? 1 ? x ,且关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集为 [1,??) ,求实数 a 的取值范围.

(22) (本题满分 15 分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点(2,1) , (Ⅰ)求抛物线的标准方程;
2 2 (Ⅱ)与圆 x ? ( y ? 1) ? 1相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M , N ,若抛物线

上一点 C 满足 OC ? ?(OM ? ON) (? ? 0) ,求 ? 的取值范围.

丽水市 2012 年高考第一次模拟测试
数学(文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1-5: DABCB 6-10: DACAB 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) (11)3 (15) 40 (12) 108 ? 3? (16) 2 ? 3 (13)

? 3 17 (17) 16

(14) 1

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.) (18)解(Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? (cos?x ? sin ?x , ? 1) ? (2 sin ?x , ? 1)

? 2 sin ?x cos?x ? 2 sin 2 ?x ? 1 ? sin 2?x ? cos2?x

? 2 sin( 2?x ?
因为 T ? 4? 所以

?
4

)

2? ? 4? 2?

??
1 2

1 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分 4

2 (Ⅱ) 方程 2t ? t ? 1 ? 0 的两根为 t1 ? ? , t 2 ? 1

因为 x0 ? ( ? 即 x0 ? ?

?
2

,

?
2

) 所以 sin x0 ? (?1, 1) ,所以 sin x0 ? ?

?
6

1 2

又由已知 f ( x0 ) ? 所以 f (?

1 ? 2 sin( x0 ? ) 2 4

?
6

) ? 2 sin(?

?
12

?

?
4

) ? 2 sin

?
6

?

2 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14 分 2

(19)解(Ⅰ) 由已知得:

10 ? 9d ? ? 55 ?2a1 ? 9d ? 11 ?10a1 ? ?? 2 2 ? ?d ? a1 d ? 0 ?(a ? 3d ) 2 ? (a ? d )(a ? 7d ) 1 1 ? 1
因为

d ? 0 所以 d ? a1

所以 2a1 ? 9a1 ? 11,所以 a1 ? 1, d ? 1 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n (Ⅱ) bn ? ? ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

?? n ? 2n (n为奇数) ? ?n ? 2 n (n为偶数) ?

(ⅰ) 当 n 为奇数时

Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ? (?1 ? 2) ? (?3 ? 4) ? ? ? n ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) 2 ? (1 ? 2 n ) n ?1 ?n? 2 1? 2 n 5 ? 2 n ?1 ? ? 2 2 ?
(ⅱ) 当 n 为偶数时

Tn ? ?1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ? (?1 ? 2) ? (?3 ? 4) ? ? ? (?n ? 1 ? n) ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) n 2 ? (1 ? 2 n ) ? 2 1? 2 n ? 2 n ?1 ? ? 2 2 ?
? n ?1 n 5 ?2 ? 2 ? 2 ? 所以 Tn ? ? ?2 n ?1 ? n ? 2 ? 2 ? (n为奇数)
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分

(n为偶数)

(20)解(Ⅰ) 取 AB 中点 G ,连结 PG, QG 分别交 BM , BN 于点 E , F ,则 E , F 分别 为 BM , BN 的中点,连结 EF ,则有 EF // MN , 而 GE //

1 1 AM , GF // AN 2 2

所以

GE 1 GF AN 1 ? , ? ? , EP 3 FQ NC 3 GE GF 1 ? ? EP FQ 3

所以

所以 EF // PQ ,又 EF ? 平面 BMN , PQ ? 平面 BMN

所以 PQ // 平面 BMN

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

(Ⅱ) 过 A 作 AD ? BC 于 D,连接 MD,作 AO ? MD 于 O,连接 BO,

? MA ? 平面 ABC, ? MA ? BC 又 AD ? BC ? BC ? 平面ADM
? BC ? AO ? AO ? MD

? AO ? 平面BCM
? ?ABO 就是 AB 与平面 ABC 所成在角.
在 Rt?ADC 中,? ?DAC ? 60o ,? AD=2. 在 ?RtADM 中,? MD ? 2

5 , AO ?

4 5 , 5

sin?ABO ?

AO 5 .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 14 分 ? AB 5

(21)解:由 f (1) ? 0 得: 1 ? a ? b ? c ? 0
2 f ?( x)? 3x ? 2a x b ?

因为 f ?(0) ? 0

所以 b ? 0

因为 f ?(1) ? 0 ,所以 3 ? 2a ? 0 ,所以 a ? ?

3 2

2 (Ⅰ) 当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 3x ? 4x ,所以 f ?(2) ? 4

因为 a ? ?2 , b ? 0 , 1 ? a ? b ? c ? 0 ,所以 c ? 1 所以 f ( x) ? x ? 2 x ? 1,点 (2 ,
3 2

f (2)) 为 ( 2 , 1) ,
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

所以切线方程为: y ? 4 x ? 7
3 2

(Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? x ? ax ? 1 ? a ? 1 ? x

? x 3 ? ax2 ? x ? a ? 2

f (1) ? g (1) ? 1 ? a ? 1 ? a ? 2 ? 0

x 3 ? ax2 ? x ? a ? 2 ? ( x ? 1)(x 2 ? x ? 2) ? a( x ? 1)(x ? 1) ? ( x ? 1)[x 2 ? (1 ? a) x ? (a ? 2)]
要使 f ( x) ? g ( x) 的解集为 [1,

? ?) ,必须

x 2 ? (1 ? a) x ? (a ? 2) ? 0 恒成立

所以, ? ? (1 ? a) 2 ? 4(a ? 2) ? 0 或 解得: 1 ? 2 2 ? a ? 1 ? 2 2 又? a ? ?

? ? ?0 ? ? a ?1?1 ? 2

3 2 3 2
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 15 分

?1? 2 2 ? a ? ?

(22)解(Ⅰ) 设抛物线方程为 x 2 ? 2 py , 由已知得: 2 2 ? 2 p 所以 p ? 2 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5 分

所以抛物线的标准方程为 x 2 ? 4 y (Ⅱ) 因为直线与圆相切, 所以

t ?1 1? k
2

? 1 ? k 2 ? t 2 ? 2t

把直线方程代入抛物线方程并整理得:

x 2 ? 4kx ? 4t ? 0
由 ? ? 16k 2 ? 16t ? 16(t 2 ? 2t ) ? 16t ? 0 得 t ? 0 或 t ? ?3 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? 4k

y1 ? y2 ? (kx1 ? t ) ? (kx2 ? t ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ? 4k 2 ? 2t
由 OC ? ? ( OM ? ON) ? ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? (4k? , (4k 2 ? 2t )? ) 得 C(4k? , (4k 2 ? 2t ) ? ) 因为点 C 在抛物线 x ? 4 y 上,
2

所以, 16k

2

?2 ? 4(4k 2 ? 2t ) ?

?? ? 1?

t t 1 ? 1? 2 ? 1? 2 2t ? 4 2k 2t ? 4t

因为 t ? 0 或 t ? ?3 , 所以 2t ? 4 ? 4 或 2t ? 4 ? ?2 所以 ? 的取值范围为 ( , 1) ? (1,

1 2

5 ) 4

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 15 分

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