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【人教a版】高中数学:第二章2127.1-2.1.2求曲线的方程

第二章 圆锥曲线与方程 2.1 2.1.2 曲线与方程 求曲线的方程 A级 基础巩固 一、选择题 → → 1.平面内有两定点 A,B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA+PB|=4,则点 P 的轨迹是( A.线段 ) B.半圆 C.圆 D.直线 解析:以 AB 的中点为原点,以 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系,则 → → → A(-2,0)、B(2,0).设 P(x,y),则PA+PB=2PO=2(-x,-y).所以 x2+ y2=4. 答案:C 2.若点 M 到两坐标轴的距离的积为 2 015,则点 M 的轨迹方程是( A.xy=2 015 C.xy=± 2 015 B.xy=-2 015 D.xy=± 2 015(x>0) ) 解析:设 M(x,y),则由题意知:|x|· |y|=2 015, 所以 xy=± 2 015. 答案:C 3.与点 A(-1,0)和点 B(1,0)的连线的斜率之积为-1 的动点 P 的轨迹方 程是( ) B.y2+y2=1(x≠± 1) D.x2+y2=9(x≠0) A.x2+y2=1 C.y= 答案:B 1-x2 4.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是( A.x2+y2=2 C.x2+y2=2(x≠± 2) ) B.x2+y2=4 D.x2+y2=4(x≠± 2) 解析:设 P(x,y),因为△MPN 为直角三角形, 所以|MP|2+|NP|2=|MN|2, 所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16, 整理得,x2+y2=4. 因为 M,N,P 不共线,所以 x≠± 2, 所以轨迹方程为 x2+y2=4(x≠± 2). 答案:D 5.已知 A(-1,0),B(2,4),△ABC 的面积为 10,则动点 C 的轨迹方程 是( ) A.4x-3y-16=0 或 4x-3y+16=0 B.4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0 C.4x-3y+16=0 或 4x-3y+24=0 D.4x-3y+16=0 或 4x-3y-24=0 y-0 x+1 解析:由两点式,得直线 AB 的方程是 = ,即 4x-3y+4=0,线 4-0 2+1 段 AB 的长度|AB|= |4x-3y+4| =10, 5 即 4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0. 答案:B 二、填空题 6. 由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B, ∠APB =60°,则动点 P 的轨迹方程为________. 答案:x2+y2=4 7.动点 P 与平面上两定点 A(- 2,0),B( 2,0)连线的斜率的积为定值 1 (2+1)2+42=5.设 C 点的坐标为(x,y),则 ×5× 2 1 - ,则动点 P 的轨迹方程为________. 2 答案:x2+2y2-2=0(x≠± 2) 8.已知为 A(0,-1),当 B 在曲线 y=2x2+1 上运动时,线段 AB 的中点 M 的轨迹方程是__________________________________. 解析:设点 B(x0,y0),则 y0=2x2 0+1.① x0 y0-1 设线段 AB 中点为 M(x,y),则 x= ,y= ,从而得 x0=2x,y0=2y 2 2 +1.代入①式,得 2y+1=2×(2x)2+1 即 y=4x2. 答案:y=4x2 三、解答题 9.一个动点 P 到直线 x=8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍,求动点 P 的轨迹方程. 解:设动点 P 坐标为(x,y),则动点 P 到直线 x=8 的距离 d=|x-8|,到点 A 的距离|PA|= (x-2)2+y2, 由已知 d=2|PA|得: |x-8|=2 (x-2)2+y2,化简得: 3x2+4y2=48. 故动点的轨迹方程为 3x2+4y2=48. 10.若动点 P 在 y=2x2+1 上移动,求点 P 与点 Q(0,-1)连线的中点的 轨迹方程. 解:设 PQ 的中点为 M(x,y),P(x0,y0), x0+0 ? x= ? 2 , ? ?x0=2x, 则? 所以? ? y0-1 ?y0=2y+1. y = , ? ? 2 又因为点 P 在 y=2x2+1 上, 所以 y0=2x20+1, 所以 2y+1=8x2+1, 所以 y=4x2 即为所求的轨迹方程. B级 能力提升 ) 1.曲线 f(x,y)=0 关于直线 x-y-3=0 对称的曲线方程为( A.f(x-3,y)=0 B.f(y+3,x)=0 C.f(y-3,x+3)=0 D.f(y+3,x-3)=0 解析:设 P′(x,y)为对称曲线上任意一点,它关于直线 x-y-3=0 对称点 的坐标为(x′,y′), y-y′ ? ? ?x-x′=-1, ?x′=y+3, 依据题意有? ?? ? x+x′ y+y′ ?y′=x-3. - -3=0 ? ? 2 2 又(x′,y′)适合方程 f(x,y)=0, 故所求对称曲线方程为 f(y+3,x-3)=0. 答案:D x y 2.直线 + =1 与 x,y 轴交点的中点的轨迹方程是_______. a 2 -a x y 解析:(参数法)直线 + =1 与 x、y 轴交点为 A(a,0),B(0,2-a), a 2-a a a 设 AB 中点为 M(x,y),则 x= ,y=1- ,消去 a,得 x+y=1.因为 a≠0,a 2 2 ≠2,所以 x≠0,x≠1. 答案:x+y=1(x≠0,x≠1) 3.已知 B(-3,0)、C(3,0),△ABC 中 BC 边上的高的长为 3,求△ABC 的垂心 H 的轨迹方程. 解:设 H 的坐标为(x,y),则 A 点的坐标为(x,3)或(x,-3), 当 A 的坐标为(x,3)时, 因为 AB⊥CH, 所以 kAB·kCH=-1, 即 3-0 x

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