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高二上数学寒假作业3--导数

高二上数学寒假作业 3--导数

高二上数学寒假作业 3--导数
一.填空题 1.已知函数 f ( x) ? 2x2 ? 1 图像上一点 P(1,3) 及点 Q(1 ? ?x,3 ? ?y) ,则

?y ? _______. ?x

2.曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为__________.

3.函数 f ( x) ?

ax2 ? 1 在 x ? 2 处的导数值为

4 ,则 a ? _______. 7

4.直线 y ? 2 x ? b 是曲线 y ? x ln x 的一条切线,则实数 b= _______.

5.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值,则 a = ________.

6.函数 y =

1- ln x 的导数为_____________。 1 + ln x

7.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足 ( x ? 1) f '( x) ? 0 ,则 f (0) ? f (2) 与 2 f (1) 的关系是 _______. 8.垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 且与曲线 y ? x3 ? 3x ? 5 相切的直线方程是 9.设 f ( x) ? x3 ? 为 。

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围 2
. ,b = 。

10.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ,在 x ? 1 时,有极值 10,则 a =

11.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? mx ? 1 是 R 是的单调函数,则实数 m 的取值范围是_______.

12.设点 P 是曲线 y ? x 3 ? 3x ? 是_______. 13.曲线 y ?

2 上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范围 3

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_______. 3 ? 3?
3

14. f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a = _______.

第1页

高二上数学寒假作业 3--导数 二.解答题 15.已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P(0, 2) ,且在点 M (?1, f ( ?1)) 处的切线方程 为 6x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调区间.

16.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (Ⅰ)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值; (Ⅱ)过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求此切线方程.

第2页

高二上数学寒假作业 3--导数 17.已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (I)求 m 与 n 的关系式; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; 范围.

(III)当 x?? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值

18.设函数 f ( x) ? tx2 ? 2t 2 x ? t ?1( x ? R,t ? 0) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值 h(t ) ; (Ⅱ)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 恒成立,求实数 m 的取值范围 2)

第3页

高二上数学寒假作业 3--导数 19.某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销 售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如 果产品的销售价提高的百分率为 x(0 ? x ? 1) ,那么月平均销售量减少的百分率为 x2 .记改进工 艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y (元). (Ⅰ)写出 y 与 x 的函数关系式; (Ⅱ)改进工艺后,试确定该纪念品的销售价,使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

20.设三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? b ? c), 在 x ? 1 处取得极值,其图象在 x ? m 处
3 2

的切线的斜率为 ?3a .

b ? 1; a (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 在区间 [ s, t ] 上单调递增,求 | s ? t | 的取值范围;
(Ⅰ)求证: 0 ? (Ⅲ)问是否存在实数 k ( k 是与 a, b, c, d 无关的常数) ,当 x ? k 时,恒有 f ( x) ? 3a ? 0 恒
'

成立?若存在,试求出 k 的最小值;若不存在,请说明理由.

第4页

高二上数学寒假作业 3--导数

高二上数学寒假作业 3--导数(参考答案)
一.填空题 1. 4 ? 2?x 5. 5 9. 13.
m?7

2. y ? ?3x ? 2 6.
y' ? ? 2 x(1 ? ln x)2

3. 2 或

2 7

4. -e 8. y ? 3x ? 5 12. [0, ] ? [

7. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) 11. (??, ?1) ? (2, ??)

10. 4 , -11 14. 4

?

2

2? ,? ) 3

1 9

二.解答题 15. (Ⅰ) f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2. (Ⅱ)单调增区间: (??,1 ? 2) , (1 ? 2 ,??) 单调减区间: (1 ? 2 ,1 ? 2 )

16. (Ⅰ) f (?1) ? 2 是极大值; f (1) ? ?2 是极小值. (Ⅱ) 9 x ? y ? 16 ? 0 17. (Ⅰ) n ? 3m ? 6

2 2? ? ,1) 单调减区间: ? ??,1 ? ? , (1, ??) m m? ? ? 4 ? (Ⅲ) m 的取值范围为 ? ? ,0 ? ? 3 ? 3 18. (Ⅰ) h(t ) ? ?t ? t ? 1 (Ⅱ) m ? 1
(Ⅱ)单调增区间: (1 ? , 19. (Ⅰ) y ? 5a(1 ? 4 x ? x 2 ? 4 x 3 )(0 ? x ? 1)

1 (Ⅱ) 销售价为 20 1 ? ) 30 元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. ( ? 2 20. (Ⅰ) (略) ;
(Ⅱ) [2, ) ; (Ⅲ)存在, k 的最小值为

8 3

7 ?1 。 3

第5页

高二上数学寒假作业 3--导数

高二上数学寒假作业 3--导数(答案)
一.填空题 1.已知函数 f ( x) ? 2x2 ? 1 图像上一点 P(1,3) 及点 Q(1 ? ?x,3 ? ?y) ,则

4 ? 2?x 2.曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为_____________. y ? ?3x ? 2
3.函数 f ( x) ?

?y ? ?x



ax2 ? 1 在 x ? 2 处的导数值为

2 4 ,则 a ? ______ . 2 或 7 7

4.直线 y ? 2 x ? b 是曲线 y ? x ln x 的一条切线,则实数 b= __________ ? e 5.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值,则 a = ________. 5 1- ln x 2 6. 函数 y = 的导数为_____________。 y ' ? ? 1 + ln x x(1 ? ln x)2 7.对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足 ( x ? 1) f '( x) ? 0 ,则 f (0) ? f (2) 与 2 f (1) 的关系是 ? ? ________。 f ( 0 ) f ( 2 ) f2 ( 1 ) 8.垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 且与曲线 y ? x3 ? 3x ? 5 相切的直线方程是 y ? 3x ? 5 9.设 f ( x) ? x3 ? 为 。

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围 2
.
m?7

10.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ,在 x ? 1 时,有极值 10,则 a =
3 2

,b =

。4

-11

11 . 若 函 数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 是 的 单 调 函 数 , 则 实 数

m 的取值范围是

(??, ?1) ? (2, ??)
12.设点 P 是曲线 y ? x 3 ? 3x ? 是 。 [0, ] ? [

?

2 1 3 1 4 13.曲线 y ? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_____________. ? ? 3 9 ? 3?
14. f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =
3

2? ,? ) 3

2 上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范围 3



.4

解析:本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值, f ? x ? ≥0 显然成立;当 x>0 即 x?? ?1,1? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ?
3

3 1 ? x 2 x3

设 g ? x? ?

3 1 3 ?1 ? 2x ? ? 1? ?1 ? ? 3 , g' ? x? ? 则 , 所以 g ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增, 在区间 ? ,1? 2 4 x x x ? 2? ?2 ?

上单调递减,因此 g ? x ?max ? g ? ? ? 4 ,从而 a ≥4;
第6页

?1? ?2?

高二上数学寒假作业 3--导数 二.解答题 15.已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P(0, 2) ,且在点 M (?1, f ( ?1)) 处的切线方程 为 6x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调区间. 解: (Ⅰ)由 f (x) 的图象经过 P(0, 2) ,知 d ? 2 ,所以

f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2, f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c. 由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,知 M (?1, f (?1)) 在切线 6 x ? y ? 7 ? 0 上
?6 ? f (?1) ? 7 ? 0

? f '(?1) ? 3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. ? f (?1) ? ?1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0, 故所求的解析式是 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2.
(Ⅱ) f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3 ,令 f '( x)=3x2 ? 6x ? 3 ? 0 ,即 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 解得 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2. 当 x ? 1 ? 2, 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0; 当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0. 故 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2在(??,1 ? 2 ) 内是增函数,在 (1 ? 2 ,1 ? 2 ) 内是减函数,在

(1 ? 2 ,??) 内是增函数. 16.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (Ⅰ)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值; (Ⅱ)过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求此切线方程. (Ⅰ)解: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意, f ?(1) ? f ?(?1) ? 0 ,即 ?3a ? 2b ? 3 ? 0, 解得 a ? 1, b ? 0 . ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0. 3 2 ∴ f ( x) ? x ? 3x, f ?( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 . 若 x ? (??, ? 1) ? (1, ? ?) ,则 f ?( x) ? 0 , 故 f (x) 在 (??, ? 1) 上是增函数, f (x) 在 (1, ? ?) 上是增函数. 若 x ? (?1, 1) ,则 f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在 (?1, 1) 上是减函数. 所以, f (?1) ? 2 是极大值; f (1) ? ?2 是极小值. 3 (Ⅱ)解:曲线方程为 y ? x ? 3x ,点 A(0, 16) 不在曲线上. 3 设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0 . 2 2 因 f ?( x0 ) ? 3( x0 ? 1) ,故切线的方程为 y ? y0 ? 3( x0 ? 1)(x ? x0 )
3 2 注意到点 A(0,16)在切线上,有 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 3 化简得 x0 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 .

所以,切点为 M (?2, ? 2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 . 17.已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R, m ? 0 , (Ⅰ)求 m 与 n 的关系式; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;
3 2

(Ⅲ)当 x?? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值 范围. 解(Ⅰ) f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? n ,
2

因为 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,所以 f ?(1) ? 0 , 即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6
第7页

高二上数学寒假作业 3--导数 (Ⅱ)由(I)知, f ?( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ? 2 ?? ? ? m ??
2

?

?

??

2 当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ? ,当 x 变化时, f ( x ) 与 m 2? ? 2 ? ??,1 ? ? x 1? m? ? m
f ?( x ) f ( x)

f ?( x ) 的变化如下表:

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?

1 0 极大值

?1,???
?0
单调递 减

?0
调调递 减

0 极小值

?0
单调递 增

故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x ) 在 ? ??,1 ? 在 (1 ?

? ?

2? ? 单调递减, m?

2 ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m (Ⅲ)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0 2 2 2 2 2 2 又 m ? 0 所以 x ? (m ? 1) x ? ? 0 即 x ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 2 设 g ( x) ? x ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m 2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 所以 ? 解之得 ?? m m ? g (1) ? 0 ??1 ? 0 ? 4 ? ? m又m ? 0 3
所以 ?

4 ?m?0 3

即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ? 18.设函数 f ( x) ? tx2 ? 2t 2 x ? t ?1( x ? R,t ? 0) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值 h(t ) ; (Ⅱ)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 恒成立,求实数 m 的取值范围 2) 解: (Ⅰ)? f ( x) ? t ( x ? t )2 ? t 3 ? t ?1( x ? R,t ? 0) ,

? 4 ? 3

? ?

? 当 x ? ?t 时, f ( x) 取最小值 f (?t ) ? ?t 3 ? t ?1, 即 h(t ) ? ?t 3 ? t ? 1.
(Ⅱ)令 g (t ) ? h(t ) ? (?2t ? m) ? ?t 3 ? 3t ? 1 ? m , 由 g ?(t ) ? ?3t 2 ? 3 ? 0 得 t ? 1 , t ? ?1 (不合题意,舍去) . 当 t 变化时 g ?(t ) , g (t ) 的变化情况如下表:

t
g ?(t )

(0, 1)

1

(1, 2)

?
递增

0
极大值

?
递减

g (t )

1? m

? g (t ) 在 (0, 内有最大值 g (1) ? 1 ? m . 2) h(t ) ? ?2t ? m 在 (0, 内恒成立等价于 g (t ) ? 0 在 (0, 内恒成立, 2) 2) 即等价于 1 ? m ? 0 , 所以 m 的取值范围为 m ? 1
第8页

高二上数学寒假作业 3--导数 19.某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销 售 a 件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如 果产品的销售价提高的百分率为 x(0 ? x ? 1) ,那么月平均销售量减少的百分率为 x2 .记改进工 艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y (元). (Ⅰ)写出 y 与 x 的函数关系式; (Ⅱ)改进工艺后,试确定该纪念品的销售价,使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 解: (Ⅰ)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1 ? x) 元 月平均销售量为 a(1 ? x 2 ) 件,则月平均利润 y ? a(1 ? x 2 ) ? [20(1 ? x) ? 15] (元)

y 与 x 的函数关系式为 y ? 5a(1 ? 4 x ? x 2 ? 4 x 3 )(0 ? x ? 1) 1 (Ⅱ) y' ? 5a(4 ? 2x ? 12x2 ) 令 y ' ? 0得x ? 2 1 1 ' ' 当 0 ? x ? 时y ? 0;当 ? x ? 1时y ? 0 2 2 1 1 即函数 y ? 5a(1 ? 4x ? x 2 ? 4x 3 ) 在 (0, )上单调递增;在 ( ,1) 上单调递减, 2 2 1 所以函数 y ? 5a(1 ? 4 x ? x 2 ? 4 x 3 )(0 ? x ? 1) 在 x ? 取得最大值. 2 1 1 ( ? 所以改进工艺后, 产品的销售价提高的百分率为 , 销售价为 20 1 ? ) 30 元时, 旅游部门销 2 2
售该纪念品的月平均利润最大. 20. 设三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? b ? c), 在 x ? 1 处取得极值,其图象在 x ? m 处 的切线的斜率为 ?3a .

b ? 1; a (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) 在区间 [ s, t ] 上单调递增,求 | s ? t | 的取值范围; ' (Ⅲ)问是否存在实数 k ( k 是与 a, b, c, d 无关的常数) ,当 x ? k 时,恒有 f ( x) ? 3a ? 0 恒 成立?若存在,试求出 k 的最小值;若不存在,请说明理由. ' 2 ' 解: (Ⅰ) f ( x) ? ax ? 2bx ? c 由题设,得 f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ①
(Ⅰ)求证: 0 ? ② f ' (m) ? 3am2 ? 2bm ? c ? ?3a ∵ a ? b ? c,? 6a ? 3a ? 2b ? c ? 6c, ? a ? 0, c ? 0 由①代入②得 3am2 ? 2bm ? 2b ? 0,? ? 4b2 ? 24ab ? 0 , ?
2 得( ) ?

b a

6b b b ? 0, ∴ ? ?6 或 ? 0 a a a



将 c ? ?3a ? 2b 代入 a ? b ? c 中,得 ?1 ? 由③、④得 0 ?

b ?1 a



b ? 1; a ' 2 2 (Ⅱ)由(1)知, f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 的判别式: 4b ?12ac ? 0,
∴方程 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 ,
' 2

又 f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0
'

c 2b ? ? ? 1, , x2 ? 0 ? x1 又? a ? 0, c ? 0 3a 3a ' ∴当 x ? x2 或 x ? x1 时, f ( x) ? 0 ,
∴ x1 ? 1, x2 ? 当 x2 ? x ? x1 时, f ( x) ? 0 ,
'

第9页

高二上数学寒假作业 3--导数 ∴函数 y ? f ( x) 的单调增区间是 [ x1 , x2 ]

2b b 8 ,由 0 ? ? 1 知 2 ?| x1 ? x2 |? 3a a 3 ∵函数 y ? f ( x) 在区间 [ s, t ] 上单调递增,∴ [s, t ] ? [ x1 , x2 ] 8 8 ∴ 2 ?| s ? t |? ,即 | s ? t | 的取值范围是 [2, ) ; 3 3 2 ' (Ⅲ)由 f ( x) ? 3a ? 0 ,即 3ax ? 2bx ? c ? 3a ? 0 ,
∴ | x1 ? x2 |? 2 ?

?3 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 2b 2b b ? ?x? ? 0 ,? 0 ? ? 1 ∴ ? 2 ∵ a ? 0,? x ? 3a 3a a ?x ? 0 ?
2

? 7 ?1 7 ?1 或x? . 3 3 ? 3 ?1 3 ?1 由题意,得 [k , ??) ? (??, ] ?[ , ??). 3 3 7 ?1 7 ?1 ∴k ? ,∴存在实数 k 满足条件,即 k 的最小值为 . 2 3
∴x?

第 10 页


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