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2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义:第四章圆与方程4.2.1


数学 4.2.1 学习目标 直线与圆的位置关系 1.掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判 定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题. 知识点 直线 Ax+By+C=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系及判断 位置关系 公共点个数 几何法: 设圆心到直线的距离为 d= 判定方法 代数法: ?Ax+By+C=0, ? 由? 2 2 2 ? ??x-a? +?y-b? =r , 相交 2个 相切 1个 相离 0个 |Aa+Bb+C| A +B 2 2 d<r d=r d>r Δ>0 Δ=0 Δ<0 消元得到一元二次方程,可得方程的判别式 Δ 类型一 直线与圆的位置关系的判断 例 1 求实数 m 的取值范围, 使直线 x-my+3=0 与圆 x2+y2-6x+5=0 分别满足: ①相交; ②相切;③相离. 解 圆的方程化为标准形式为(x-3)2+y2=4, 故圆心(3,0)到直线 x-my+3=0 的距离为 d= 6 m2+1 ,圆的半径为 r=2. 数学 ①若相交,则 d<r,即 <2,所以 m<-2 2或 m>2 2; m2+1 =2,所以 m=± 2 2; m2+1 >2,所以-2 2<m<2 2. m2+1 6 6 6 ②若相切,则 d=r,即 ③若相离,则 d>r,即 反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断. (2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关 系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. 跟踪训练 1 对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是( A.相离 C.相交但直线不过圆心 答案 C 解析 直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),由定点(0,1)在圆 x2+y2=2 内,则直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 一定相交.又直线 y=kx+1 的斜率存在,则该直线必不过圆心(0,0),故选 C. 类型二 切线问题 命题角度1 求切线方程 例 2 过点 A(4,-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1 的切线,求此切线方程. 解 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1, 所以点 A 在圆外. ①若所求直线的斜率存在,设切线斜率为 k, 则切线方程为 y+3=k(x-4),即 kx-y-4k-3=0. 设圆心为 C, 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1, |3k-1-3-4k| 所以 =1,即|k+4|= k2+1 k2+1, B.相切 D.相交且直线过圆心 ) 数学 15 所以 k2+8k+16=k2+1,解得 k=- . 8 15 15 所以切线方程为- x-y+ -3=0, 8 2 即 15x+8y-36=0. ②若直线斜率不存在, 圆心 C(3,1)到直线 x=4 的距离为 1, 这时直线 x=4 与圆相切,所以另一条切线方程为 x=4. 综上,所求切线方程为 15x+8y-36=0 或 x=4. 引申探究 若本例的条件不变,求其切线长. 解 因为圆心 C 的坐标为(3,1), 设切点为 B,则△ABC 为直角三角形, |AC|= ?3-4?2+?1+3?2= 17, 又|BC|=r=1, 则|AB|= |AC|2-|BC|2= ? 17?2-12=4, 所以切

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