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数学竞赛中的三角函数问题


2004 年第 14 ,16 期                数学通讯

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课外园地
数学竞赛中的三角函数问题
王 合 义           赵 小 云
( 萧县寿楼中学 , 安徽   235200)      ( 杭州师院数学系 , 浙江   310036)

   三角函数是高中数学的基本内容 , 是一类重要 的基本初等函数 . 它所涉及的知识面十分广阔 , 内容 丰富多彩并具有一系列美妙的性质 , 这些性质在数 学及物理 、 工程等领域都有广泛的应用 . 本文将讨论 数学竞赛中的三角函数及其恒等变形问题 .
1  三角函数的性质及其应用

( D) cos (α+ β ) < sinα+ sinβ .

例 2  设 a > 1 , a ,θ 均为实数 , 试求当 θ 变化 时 , 函数
) = f (θ ( a + sinθ ) ( 4 + sin θ )

1 + sinθ
2

的最小值 .

π 内 , 且满足 cosα 2 β ) = β, cos ( sinγ ) = γ, 试比较 α,β,γ 的 = α, sin ( cos 例1  设 α,β,γ在区间 0 , 大小 . α, 由余弦函数在 0 , 解  若 β≥ 可知 π β≤ α= α< 0 < cos cos , 2 β= sin ( cos β ) < cos β≤ α= α. cos 这与假设矛盾 , 故有 β< α. α, 再由余弦函数在 0 , 若 γ≤ 不等式 α< 0 < sinγ < γ ≤ π , 2 π 的单调性及 2 π 的单调性 2

θ+ ( 4 + a) sinθ+ 4 a 1 + sinθ 3 ( a - 1) ) + = ( 1 + sinθ + a + 2. 1 + sinθ    令 1 + sinθ= x , 由于 - 1 ≤ sinθ≤ 1 , 1 + sinθ≠ 0,
sin ) = 解  f (θ

故0< x ≤ 2 . 再令 y = 1 + sinθ+
y= x+

3 ( a - 1) ,则 1 + sinθ >0,
( 1)

3 ( a - 1)
x

变形得  x 2 - yx + 3 ( a - 1) = 0
2

记  g ( x ) = x - yx + 3 ( a - 1 ) , 则 g ( x ) 是开 口向上的抛物线 , 其对称轴为 x =
y , 且有 f ( 0 ) = 2 3 ( a - 1) > 0 ( 注意 a > 1) . 因此 , 当且仅当

0<

y

2

≤ 2,

Δ = y 2 - 12 ( a - 1) ≥ 0
y

) > cosγ ≥ α= α, 可得 γ    = cos ( sinγ cos



2

>2,

α矛盾 , 因而 γ > α. 这与假设 γ ≤ β< α< γ. 综上 , 我们有   π 例 1 中 , 我们充分利用了余弦函数在 0 , 的 2 单调性 , 三角函数都不是其定义域上的单调函数 , 但 可以将其定义域分为一系列的单调区间 , 利用三角 函数在各个单调区间上的变化规律可以解决许多 问题 . 思考题 1   若 α,β∈ 0 , π , 则必有 2 ( A) cos (α+ β ) > cos α+ cos β.
(B) cos (α+ β ) < cos α+ cos β . ( C) cos (α+ β ) > sinα+ sinβ .
(    )

g ( 2) = - 2 y + 3 a + 1 ≤ 0 时 , 方程 ( 1) 在 ( 0 , 2 ]内至少有一实根 .

由  解得 2 由  解得   再由 2

0<

y

2

≤ 2,

Δ = y2 - 12 ( a - 1) ≥ 0.
4. 3 ( a - 1) ≤y ≤
y

2

>2,

g ( 2) = - 2 y + 3 a + 1 ≤ 0, y >4且 y ≥

1 +3a . 2 7 . 而当 a > 3

3 ( a - 1) ≤4 得 1 < a ≤

7 1 +3a 7 时, > 4 , 故当 1 < a ≤ 时 , y 有最小值 3 2 3

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2 3 ( a - 1) ; 当 a >

数 学 通 讯                2004 年第 14 ,16 期 β+ cosα )2 = ( sinα cos sinβ
). = sin2 (α+ β

7 1 +3a 时 , y 有最小值 . 3 2 7 综上 , 当 1 < a ≤ 时 , f ( θ) 有 最 小 值 3 7 2 3 ( a - 1) + a + 2 ; 当 a > 时 , f (θ) 有 最 小 值 3 1 +3a 5 +5a + a+2= . 2 2

思考题 4   化简

3 - 4cos2α+ cos4α . 3 + 4cos2α+ cos4α

例4  求 sin2 10° + cos2 40° + sin10° cos40° 的值 . 分析 1 我们侧重于角来考虑 , 设法化成同角或 者特殊角 . 由于 40° = 30° + 10° , 故可化为 30° 和 10° 的三角函数 . 解法 1   sin2 10° + cos2 40° + sin10° cos40°
) + sin10° ) = sin2 10° + cos2 ( 30° + 10° cos ( 30° + 10°

这里 , 我们利用正弦函数的有界性将求最小值 的问题化归为讨论二次函数的有关问题来解决 . 利用三角函数的有界性 , 可以用来解决某些三 角函数的最值和证明某些三角不等式的问题 . 思考题 2   已知函数 y = cos2 x + 2 p sin x + q 的 值域为 [ 7 , 10 ] , 试求 p , q 之值 . 思考题 3   对所有的实数 x , y , 有不等式
cos x 2 + cos y2 - cos xy < 3 成立 . 2  三角式的化简和求值

= sin2 10° +

3 1 3 cos2 10° + sin2 10° cos10° sin10° + 4 4 2

3 1 sin10° cos10° sin2 10° 2 2 = 3 3 ( sin2 10° ) = + cos2 10° . 4 4 分析 2   我们再从侧重运算形式来考虑 . 该式
a - b , 即原式 = a- b
3 3

三角式的化简和求值是三角变换的基础 . 一般 说来 , 角变换是三角变换的主线 , 侧重于函数的有 “化杂为弦” “ , 化为互为倒数的函数” “ , 化异名为同 名” 等等 , 侧重于运算的有 “弦函数升降幂” “ , 和积互 化” 以及纯代数运算的各种变换 .
). 例3  化简 sin2α+ sin2β+ 2sinα sinβ cos (α+ β

可 看 作 a2 + ab + b2 =

sin3 10° - cos3 40° 3 3 , 而 sin 10° , cos 10° 可利用公式: sin10° - cos40°

α 来降 sin3α= 3sinα - 4sin3α, cos3α = 4cos3α - 3cos 幂. 即   sin3α=
) . 于是 + cos3α

1 ( 1 ( ) , cos3α = α 3sinα - sin3α 3cos 4 4

分析 1   注意到式中有三种角 :α,β,α + β, 我 β, 后一项中的 们可考虑将前两项降幂并化积成 α± β, 以尽量造成同角 , sinα sinβ可由积化和差造出α± 于是便有下面的解法 1 :
1 1 ( 1 - cos2α ) + ( 1 - cos2β ) 2 2 ) - cos (α- β ) ]cos (α+ β ) - [ cos (α+ β

解法 2  
1 (3sin10° ) - sin30° - 3cos40° - cos120° 4 sin10° - cos40° 3 = . 4    思考题 5  ( 1991 年全国高中数学联赛试题 ) 求

   原式 =

解法 1   原式 =

) cos (α - β ) - cos2 (α + β ) + cos (α + = 1 - cos (α+ β

cos2 10° + cos2 50° - sin40° sin80° 的值 . 3  三角等式和不等式的证明

β )? ) cos (α- β
). = sin (α+ β
2

三角等式的证明分恒等式与条件等式的证明两 大类型 . 证明过程一般是将等式较繁的一边通过化 简后等于另一边 . 如果等式左右两边都很繁杂时 , 则 将左右两边分别化简为同一式子 .
sin2α 例 5  证 明 : ( α α- 1) ( sinα- cosα+ 1) sin + cos α 1 + cos = . sinα sin2α 证明   左边 = 2 α- 1 sin α- cos2α+ 2cos α 2sinα cos = α- 1 1 - 2cos2α+ 2cos

分析 2  也可以考虑将角都化为 α,β, 这只须
) 展开 ( 化复角为单角) , 然后再进一步化 将 cos (α+ β

简 , 于是又有 解 法 2   原 式 = sin2α + sin2β + 2sinα sinβ
( cos α β- sinα ) cos sinβ

α β- 2sin2α = sin2α+ sin2β+ 2sinα sinβ cos cos sin2β
= sin2α ( 1 - sin2β) + sin2β ( 1 sin2α) +

α β 2sinα cos sinβ cos α β+ sin2α = sin2α cos2β+ 2sinα cos sinβ cos cos2α

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= 5 + tan2α+ 4cot 2α
) 2 + 4tan? = 5 + ( tanα- 2cotα cotα

α 2sinα cos sinα = α( 1 - cosα ) 1 - cos α 2cos α 1 + cos = = 右边 . sinα tanα sinα tanα+ sinα 思考题 6   证明 α = . tan - sinα tanα sinα ) = 5sinβ 例6  已知 sin ( 2α+ β .
=
). 求证 :3tanα= 2tan (α+ β

≥ 5+4=9 若 ( 1) 等号成立 , 则 sin2β= 1 , 即 β=

( 2)

π . 4 若 ( 2) 等号成立 , 则 tanα= 2cotα, 即 tan2α= 2 , 故 α= arctan 2 . 所以 , 当 β= 成立 . 由例 7 的证明可以看到 , 在三角不等式的证明 过程中 , 一般要对已知或求证的不等式作各种巧妙 的三角变换和代数变形 , 具有很大的灵活性和技巧 性.
) ( cos2α + sec2α ) 思考题 8   证明 : ( sin2α + csc2α

思路分析 :容易发现 , 结论中的角度 α,α + β与
) - α, 条件中的角度β, 2α + β 有关系式β = (α + β ) + β, 因此对条件变形时应考虑先将 2α+ β= (α+ β

π ,α= arctan 2 时 , 原不等式等号 4

条件中的角度变换为结论中所要的角度 .
) = 5sinβ, 得 证明   由已知 sin ( 2α+ β ) + α] = 5sin [ (α+ β ) - α] , 于是 sin [ (α+ β ) cos α+ cos (α+ β ) sinα sin (α+ β ) cos α- 5cos (α+ β ) sinα, = 5sin (α+ β ) sinα= 2sin (α+ β ) cos α. 整理得   3cos (α+ β

25 ≥ , 并指出等号成立的条件 . 4

α+ β与α均不等于 k π+ 再由题设可知  
) 与 cos α均不为零 , 所以有 ∈Z) , 故 cos (α+ β ) sinα 2sin (α+ β ) cos α 3cos (α+ β ) cos α = cos (α+ β ) cos α, cos (α+ β ). 即  3tanα= 2tan (α+ β

π (k 2

例8  在 △A B C 中 , 证明 : a2 + b2 + c2 ≥ 4 3S, 其中 S 为 △A B C 的面积 . 证明  a2 + b2 + c2 - 4 3 S
1 = ( b2 + c2 - 2 bccos A ) + b2 + c2 - 4 3 ? 2 bcsin A = 2 ( b2 + c2 ) - 2 bc ( 3sin A + cos A )
) = 2 ( b2 + c2 ) - 4 bcsin ( A + 30°

注  三角条件等式的证明 , 关键在于分析条件 , 结论的组成元素与解析式的特征 , 争取综合 、 分析同 时并用的思维方法 , 一方面将条件进行变换 , 发掘条 件所提供的信息 ; 另一方面从结论进行分析 , 以探索 条件与结论的内在联系 , 从而寻得证明的途径 . π) , 且 思考题 7   设 α,β,α+ β∈( 0 , α cos β cos + sinβ sinα

≥ 2 ( b2 + c2 ) - 4 bc = 2 ( b - c) 2 ≥ 0. 注  例 8 就是著名的魏森伯克不等式 . 思考题 9   在 △A B C 中 , 证明 : ab + bc + ca ≥
4 3 S , 其中 S 为 △A B C 之面积 .

π = 2 , 证明 :α+ β= . 2 三角不等式是一类富有特色的不等式 . 例7  设 0 < α< π π , 0 < β< , 证明 : 2 2 1 1 + ≥ 9, cos2α sin2α sin2β cos2β

思考题答案和提示
1 . (B) .   2. p = 1 - 3 , q = 5 + 2 3或 p = - 1 + 3 . 提示 :利用余弦函数的有界性 . 3 , q = 5 + 2 3.   3 .   6. 略   7. 略.   8. 略.   9. 提 4 ab + bc + ca 1 1 1 示: = 2 ≥2 ×3 + + S sin A sin B sin C

  4 . tan4α.   5.

并指出等号成立的条件 . 证明   左边 =
1 4 + cos2α sin2α sin2 2β 1 4 ≥ 2 + 2 cos α sin α
) = 1 + tan2α+ 4 ( 1 + cot 2α

3

1 ≥ 4 3. sin A sin B sin C

( 1) ( 收稿日期 :2004 - 05 - 01)

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