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数学:第二章《圆锥曲线与方程》课件(新人教A版选修1-1)_图文

圆锥曲线期末复习

复习目标
1)掌握椭圆的定义,标准方程和椭圆的 几何性质

2)掌握双曲线的定义,标准方程和双曲 线的几何性质 3)掌握抛物线的定义,标准方程和抛物 线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的 图形,并了解圆锥曲线的初步应用。

课前热身

(1) 求长轴与短轴之和为20,焦距为4 5 的 椭圆的标准方程_________________
x2 y2 (1) ? ? 1 36 16
x2 y2 ? ?1 9 16

x2 y2 ? ?1 和 16 36

(2)求与双曲线 有共同渐近线,且过 2 )的双曲线方程; 点(-3, 3
4 x2 y2 (2) ? ?1 9 4

(3)一动圆M和直线l:x=-2相切,并且经过点 2 F(2,0),则圆心M的轨迹方程是 y ? 8 x .

一、知识回顾
圆 锥 曲 线

? ? ? ? ?

椭圆

标准方程

几何性质 第二定义

综合应用
双曲线 标准方程 几何性质 第二定义 统一定义 抛物线 标准方程 几何性质

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 几何条件 标准方程 双曲线 抛物线
与一个定点和 一条定直线的距 离相等 与两个定点 与两个定点的 的距离的和等于 距离的差的绝对 常数 值等于常数
x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b a b

y 2 ? 2 px( p ? 0)

图 形

顶点坐标

(±a,0),(0,±b)

(±a,0)

(0,0)

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质
椭圆 对称性
X轴,长轴长2a, Y轴,短轴长2b

双曲线
X轴,实轴长2a, Y轴,虚轴长2b

抛物线
X轴

焦点坐标
离心率 e= c/a 准线方程 渐近线方程

(±c,0)

(±c,0)

(p/2,0)

c2=a2-b2

c2=a2+b2

0<e<1 x=±a2/c

e>1 x=±a2/c
y=±(b/a)x

e=1 x=-p/2

二、应用举例
例1.求双曲线9y – 16x =144的实半轴与虚 半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
2 2

解:把方程化成标准方程: -- -=1 16 25

y2

x2

∴ c=√16+9 =5.

故 实半轴长a=4,虚半轴长b=3 ________

∴ e=-
3

5

4

故 渐进线方程为:y=±-x 4

例2.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证:OA⊥OB。 证法1:将y=x-2代入y2=2x中,得 化简得 解得: x2-6x+4=0 (x-2)2=2x

x ? 3? 5

则:y ? 1 ? 5

? A(3 ? 5,1 ? 5); B(3 ? 5,1 ? 5) 1? 5 1? 5 ? kOB ? , kOA ? , 3? 5 3? 5 1? 5 1? 5 1? 5 ? kOB ? kOA ? ? ? ? ?1 3? 5 3? 5 9 ?5
∴OA⊥OB

证法2:同证法1得方程

x2-6x+4=0

由一元二次方程根与系数的关系,可知 x1+x2=6, x1·2=4 x
∵y1=x1-2 , y2=x2-2; ∴y1·2=(x1-2)(x2-2)=x1·2-2(x1+x2)+4 y x =4-12+4=-4

? kOA ? kOB
∴OA⊥OB

y1 y2 y1 y2 ? 4 ? ? ? ? ? ?1 x1 x2 x1 x2 4

例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0
内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线
Y

解法1:如图:设动圆圆心为P(x,y), 半径为R,两已知圆圆心为O1、O2。 分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 配方,得(x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100

P

X

O1

O2

当⊙P与⊙O1: (x+3)2+y2=4外切时,有 |O1P|=R+2



当⊙P与⊙O2: (x-3)2+y2=100内切时,有 |O2P|=10-R ②
①、②式两边分别相加,得 |O1P|+|O2P|=12 即

( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12

化简并整理,得 即可得

x2 y2 ? ?1 36 27

3x2+4y2-108=0

所以,动圆圆心的轨迹是椭圆,它的长轴、短轴分别 为 12、 3. 6 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12 解法2:同解法1得方程 即,动圆圆心P(x,y)到点O1(-3,0)和点O2(3,0)距离的和 是常数12,所以点P的轨迹是焦点为(-3,0)、(3,0), 长轴长等于12的椭圆。于是可求出它的标准方程。
∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 于是得动圆圆心的轨迹方程为 ∴b2=36-9=27
x2 y2 ? ?1 36 27

这个动圆圆心的轨迹是椭圆,它的长轴、短轴分别为 12、 3. 6

三、课堂练习
1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M(2,0)的距 离之差等于2,则点P 的轨迹是 ( D) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

2.P是双曲线 x2/4-y2=1 上任意一点,O为原点,则OP 线段中点Q的轨迹方程是( B ) y2 y2 2 2 2 2 2 2 A. x ? ? 1 B. x ? 4 y ? 1 C . ? x ? 1 D.4 y ? x ? 1 4 4
3.和圆x2+y2=1外切,且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹 x2=2|y|+1 。 方程是

做练习
3.过点P( 0 , 4 )与抛物线y2=2x只有一个公共点的 直线有 3 条。 4、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有

公共点,则m的取值范围是

[1,5)



5、过点M(-2,0)的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2

两点,线段P1P2的中点为P,设直线 l 的斜率为k1(k1≠0), 1
直线OP的斜率为k2,则 k1k2 的值________

?

2

思考题
x y2 已知椭圆 ? ? 1中,F1、F2 分 4 2 ? 1? 别为其 左、右焦点和点A ? 1, ?,试在 ? 2? 椭圆上找一点 P,使 y
2

PA (1) ? PF2 取得最小值;

P

A

P x

(2)PA ? 2 PF 取得最小值. 1

F1 o F2

四、小结:
1、本节课的重点是掌握圆锥曲线的定义及性质在解 题中的应用,要注意两个定义的区别和联系。

2、利用圆锥曲线的定义和性质解题时,要注意曲线 之间的共性和个性。
3、利用圆锥曲线的定义和性质解题时,要加强数形 结合、化归思想的训练,以得到解题的最佳途径。

五、布置作业:
P80 A组 B组 1 10 2 5

补充:在△ABC中,BC固定,顶点A移动.设 |BC|=m,当三个角A,B,C有满足条件 |sinC-sinB|=sinA时,求顶点A的轨迹方 程.


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