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2013届致远中学高三第十五周综合模拟试题


2013 届致远中学高三第十五周综合模拟试题 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

i5 (1 ? i) ? 1? i (A) ?1 ? i (B) 1 ? i (C) ?1 1 1 2.幂函数 y ? f ( x) 图象过点 ( , ) ,则 f [ f (9)] ? 4 2 1 (A) 3 (B)3 (C) 3
1.设 i 是虚数单位,复数

(D)1

(D)

3.已知 a, b 为非零向量,则“函数 f ( x) ? ( ax ? b) 2 为偶函数”是“ a ? b ”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ?

?

?

?

?

3 3
)

4.若连掷两次骰子,得到的点数分别为 m 、 n ,记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1, 1) 的夹 ? 角为 ? ,则 ? ? ? 0, ? 的概率是 A.

?

?

? ?

?? ??

( C.

) D.

7 12

B.

1 2

5 12

5 6

5. 某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件 和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲 每天的租 赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产 品 50 件,B 类 产品 140 件,所需租赁费最少为 A. .2400 元 B. 2300 元 ( ) D. .2000 元

C. 2200 元

6. 已知在函数 y ?| x | ( x ? [?1,1] )的图象上有一点 P (t ,| t |) ,该函数的图象与 x 轴、直线

x ? ?1 及 x ? t 围成图形(如图阴影部分)的面积为 s ,则 s 与 t 的函数关系图可表示为

7. 从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入选的 不同选法的种数为 A.85 B.56 ( C.49 ) D.28

8. 若函数 实数 b 的取值范围为 A. [O, 4]

在区间(O, 1)上单调递增, 且方程

的根都在区间[-2, 2]上, 则

B.

C. [2, 4]

D. [3, 4]

9、设偶函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ,( A > 0, ? > 0,0 < ? < ? ) 的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形, ∠KML=90,KL=1, y 则 f ( ) 的值为(

1 6

)
x

A. ?

3 4

B. ?

1 4

C. ?

1 2

D.

3 4

O

K M

L

1 1 10.给出定义:若 m ? ? x ? m ? (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2
记作{x},即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个论断:

1 1 ; 2 2 1 1 ③ f (? ) ? f ( ) 4 4
① f (? ) ?

) ② f ( 3 . 4? ?

0.4
1 1 , ]. 2 2

④ y ? f ( x) 的定义域为 R,值域是[一

则其中论断正确的序号是(B) (A)①② (B)①③

(C)②④

(D)③④

二、填空题 (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 设 A,B,C∈( 0,

? ),且 sin A ? sin C ? sin B , cos A ? cos C ? cos B ,则 B ? A 等于 2
,则 展开式中的常数项等于

12. 若实数仏 B 均不为零,且 _____.-672 13.若等比数列 ?an ? 的首项为

4 2 ,且 a4 ? ? (1 ? 2 x)dx ,则公比等于_____________;3 1 3 14.运行右图示的程序框图,当输入 m ? ?4 时的输出结果为 n ,若变

?x ? y ? 3 ? 量 x, y 满足 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?y ? n ?

;5

15.已知△ABC 中, A(0,1), B(2, 4)C (6,1) ,P 为平面上任意一点,M、N

???? 1 ??? ??? ? ? ? ???? 1 ??? ??? ??? ? ? ? 分别使 PM ? ( PA ? PB) ,PN ? ( PA ? PB ? PC ) ,给出下列相关命题: 2 3
① MN // BC ;②直线 MN 的方程为 3 x ? 10 y ? 28 ? 0 ;
???? ??? ? ?

③直线 MN 必过△ABC 的外心;④向量 ? ( AB ? AC)(? ? 0) 所在射线必过 N 点,上述四个命题 中正确的是 _________.(将正确的选项全填上) .②

??? ???? ?

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. ) 16.设函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x( x ? R ) 的最大值为 M ,最小正周期为 T . (Ⅰ)求 M 、 T ; (Ⅱ)若有 10 个互不相等的正数 xi 满足 f ( xi ) ? M , 且xi ? 10? (i ? 1,2, ? ,10), 求 x1 ? x2 ? ? ? x10 的值.

140 ? 3

17.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 3 ? 2n ? 4, n ? 1,2,3,? . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn 为数列 {S n ? 4} 的前 n 项和,求 Tn ? 20.解:(1) ∴ an ? 2n bn ? 2n ?1 (3n ? 1) (2)

18. 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分 布直方图如图所示,成绩分组区间是: ?40,50?、?50,60?、?60,70?、?70,80?、 ?80,90?、?90,100?. (Ⅰ )求图中 x 的值;
x 频率 组距 0.054

(Ⅱ )从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩 在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望.

0.01 0.006 0 40 50 60 70 80 90 100 成绩

19. 已知函数

的图像过原点, ,函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像交于不同的两点 A、B,



(I) y= F(x)在 X = -1 处取得极大值 2,求函数 y=F(x)的单调区间; (II) 若使 g(x)= O 的 x 值满足 21.解:(Ⅰ) F ( x) ? x ? 3x
3

,求线段在 x 轴上的射影长的取值范围.

???(3 分)

F ?( x) ? f ( x) ? 3x2 ? 3

x ? (?1,1)

F ?( x) ? 0 F ( x) 单增 F ?( x) ? 0
F ( x) 单减

???(4 分) ???(5 分)

x ? (??, ?1) 和 x ? (1, ??)
(Ⅱ)∴

b 1 ?? a 2 b 1 ? 时 a 2




lmax ? 13

??(10 分)

lmin ? 5

??(11 分) ??(12 分)

5 ? l ? 13

20.设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) ?

3 2 ? x 图象上任意两点,且 x1 ? x2 ? 1 . 2 2 ? 2

(Ⅰ )求 y1 ? y2 的值; 1 2 n (Ⅱ )若 Tn ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) (其中 n ? N * ) ,求 Tn ; n n n 2 (Ⅲ )在(Ⅱ )的条件下,设 an ? ( n ? N * ) ,若不等式 an ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? a2 n ?1 > Tn

1 log a (1 ? 2a) 对任意的正整数 n 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 3 2 3 2 2 2 ? ? x ? 3?( x ? x ) 21.解析: ) y1 ? y2 ? ? x (Ⅰ 2 21 ? 2 2 22 ? 2 21 ? 2 22 ? 2
? 3? 4 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 x1 ? x2 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? 2
? 3? 4 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) 2 ? 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? 2

············· ············· ? 2 . ············· 4 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )可知,当 x1 ? x2 ? 1 时, y1 ? y2 ? 2 ,

1 2 n n 2 1 由 Tn ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) 得, Tn ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) ? f (0) , n n n n n n

n 1 n ?1 n ∴ 2Tn ? [ f (0) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( ) ? f (0)] ? 2(n ? 1) , n n n n
∴ Tn ? n ? 1 . ········································· 分 ········································ 8 ········································ (Ⅲ )由(Ⅱ )得, an ? 为
2 2 1 ? ,不等式 an ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? a2n ?1 ? loga (1 ? 2a) 即 Tn n ? 1 2

2 2 2 2 2 2 1 , ? ??? ? loga (1 ? 2a) ,设 H n ? ? ? ?? n ?1 n ? 2 2n 2 n ?1 n ? 2 2n
则 H n ?1 ?

2 2 2 2 2 , ? ??? ? ? n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2
2 2 2 2 2 ? ? ? ? ?0, 2n ? 1 2(n ? 1) n ? 1 2n ? 1 2n ? 2

∴ H n ?1 ? H n ?

∴数列 {H n } 是单调递增数列,∴ ( H n )min ? T1 ? 1 , ··················· ·················· 10 ·················· 分

1 要使不等式恒成立,只需 loga (1 ? 2a) ? 1 ,即 loga (1 ? 2a) ? log a a2 , 2

?0 ? a ? 1, ?a ? 1, ? ? ∴ ?1 ? 2a ? 0, 或 ?1 ? 2a ? 0, 解得 0 ? a ? 2 ? 1 . ? ? 2 2 ?1 ? 2a ? a ?1 ? 2a ? a ,
故使不等式对于任意正整数 n 恒成立的 a 的取值范围是 (0, 2 ? 1) .·········12 ········· ········ 分

21. 己知函数

在;c=2 处的切线斜率为

.

(I)求实数 a 的值及函数 f(x)的单调区间; (II) 设 , 立,求正实数的取值范围; (III) 证明: ? ,对 使得 成

22.解: (Ⅰ)即 f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). 5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ? x1∈(0,+∞),f (x1) ≤f (1)=0,即 f (x1)的最大值为 0, 由题知:对 ? x1∈(0,+∞), ? x2∈(-∞,0)使得 f (x1)≤g(x2)成立, 只须 f (x)max≤g(x)max. ∵ g ( x) ?

x 2 ? 2kx ? k k ? k ? ? 2k ≤ ?2 k ? 2k , ? x ? ? 2k ? ? ? ? x ? x ?x ? x ? ?

∴ 只须 ? 2 k ? 2k ≥0,解得 k≥1.???????????????10 分

(Ⅲ)要证明

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 (n∈N*,n≥2). ? 2 ??? 2 ? 22 3 n 4(n ? 1)

只须证

2ln 2 2ln 3 2ln n 2n 2 ? n ? 1 ? 2 ??? 2 ? , 22 3 n 2(n ? 1) ln 22 ln 32 ln n2 2n2 ? n ? 1 . ? 2 ??? 2 ? 22 3 n 2(n ? 1)

只须证

由(Ⅰ)当 x? ?1, ?? 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为减函数, ? f (x)=lnx-x+1≤0,即 lnx≤x-1, ∴ 当 n≥2 时, ln n2 ? n2 ? 1 ,

ln n 2 n 2 ? 1 1 1 1 1 ? 2 ?1? 2 ?1? ?1? ? , 2 n n n n(n ? 1) n n ?1
ln 22 ln 32 ln n 2 ? 1 1 ? ? 2 ? ? ? 2 < ?1 ? ? ?? 2 2 3 n ? 2 2 ?1 ?

1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ?1 ? 3 ? 3 ? 1 ? ? ??? ? ?1 ? n ? n ? 1 ? ? ? ? ?

? n ?1?

1 1 2n 2 ? n ? 1 ? ? , 2 n ?1 2( n ? 1)



ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ? 2 ??? 2 ? .???????????????14 分 22 3 n 4(n ? 1)


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