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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(一)集合与简易逻辑


单元评估检测(一)
第一章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设 A= 是( A.a< ) B.a≤ C.a≤1 D.a<1 ,B={x|x>a}.若 A? B,则实数 a 的取值范围

【解析】选 D.A={1,2,3,4},由 A?B 得 a<1. 【误区警示】本题易误选 A 或 B,出现错误的原因是忽视了集合 A 中“x ∈Z”这一条件及对端点值的验证. 2.已知命题 p:存在 x>1,x2-1>0,那么 p 是( A.任意 x>1,x2-1>0 C.存在 x>1,x2-1≤0 )

B.任意 x>1,x2-1≤0 D.存在 x≤1,x2-1≤0

【解析】选 B.“存在 x>1,x2-1>0”的否定为“任意 x>1,x2-1≤0”. 3.(2015·景德镇模拟)在△ABC 中,“A=B”是“tanA=tanB”的( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 )

【解析】 选 C.由 A=B?tanA=tanB,在△ABC 中,tanA=tanB?A=B,故在△ ABC 中,“A=B”是“tanA=tanB”的充分必要条件. 4.已知 ab>0,若 a>b,则 < 的否命题是( A.已知 ab≤0,若 a≤b,则 ≥ )

-1-

B.已知 ab≤0,若 a>b,则 ≥ C.已知 ab>0,若 a≤b,则 ≥ D.已知 ab>0,若 a>b,则 ≥ 【解析】选 C.条件 ab>0 是大前提,所以其否命题是:已知 ab>0,若 a≤ b,则 ≥ . 【误区警示】解答本题易误选 A,出错的原因是忽视了大前提与条件的 关系. 5.(2015·延安模拟)设 x∈R,则“x=1”是“x3=x”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

【解析】选 A.若 x=1,则 x3=x,反之若 x3=x,则 x=1 不一定成立,故 x=1 是 x3=x 的充分不必要条件. 【加固训练】 “10a>10b”是“lga>lgb”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选 B.由 10a>10b 得 a>b.由 lga>lgb 得 a>b>0,所以“10a>10b” 是“lga>lgb”的必要不充分条件,选 B. 6.(2015·天津模拟)下列命题中错误的是( )

A.命题“若 p,则 q”与命题“若 q,则 p”互为逆否命题 B.命题 p:任意 x∈[0,1],ex≥1,命题 q:存在 x∈R,x2+x+1<0,p 或 q 为真 C.若 p 或 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真命题

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【解析】 选 D.对于 D,逆命题为 “若 a<b,则 am2<bm2” ,当 m=0 时,am2=bm2, 故逆命题是假命题. 7.已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集 A 具有性质 P:当 a∈A 时,必有 6-a ∈A.则具有性质 P 的集合 A 的个数是( A.8 B.7 C.6 ) D.5

【解析】 选 B.由题意,知 3∈A 可以,若 1∈A,则 5∈A,若 2∈A,则 4∈A, 所 以 具 有 性 质 P 的 集 合 A 有

{3},{1,5},{1,3,5},{2,4},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共 7 个. 8.(2015· 合肥模拟)已知命题 p:任意 x∈R,2x>0;命题 q:在曲线 y=cosx 上存在斜率为 A.p 是假命题 C.p 且 q 是真命题 的切线,则下列判断正确的是( B.q 是真命题 D. p 且 q 是真命题 )

【解析】选 C.易知,命题 p 是真命题;对于命题 q:y'=-sinx∈[-1,1]; 而 题. 【加固训练】 (2015· 宁德模拟)已知命题 p: “x>2 是 x2>4 的充要条件” , 命题 q:“若 > ,则 a>b”,那么( A.“p 或 q”为真 C.p 真 q 假 ) ?[-1,1],故命题 q 为假命题,所以 q 为真命题,所以 p 且 q 是真命

B.“p 且 q”为真 D.p,q 均为假

【解析】选 A.命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,从而“p 或 q”为真. 9.已知命题α :如果 x<3,那么 x<5;命题β :如果 x≥3,那么 x≥5;命题 γ :如果 x≥5,那么 x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正

-3-

确的是(

)

①命题α 是命题β 的否命题,且命题γ 是命题β 的逆命题; ②命题α 是命题β 的逆命题,且命题γ 是命题β 的否命题; ③命题β 是命题α 的否命题,且命题γ 是命题α 的逆否命题. A.①③ B.② C.②③ D.①②③

【解析】选 A.命题α的逆命题是“如果 x<5,那么 x<3”,命题α的否命 题是“如果 x≥3,那么 x≥5”,命题α的逆否命题是“如果 x≥5,那么 x≥3”.因此①正确,②错误,③正确,故选 A. 10.对任意的实数 x,若[x]表示不超过 x 的最大整数,则“|x-y|<1”是 “[x]=[y]”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选 B.当 x=0.9,y=1 时,满足|x-y|<1,但[x]=0≠[y]=1,所以 |x-y|<1 ? [x]=[y], 反 之 , 若 [x]=[y]=n, 则 n ≤ x<n+1,n ≤ y<n+1 ? -1<x-y<1 ? |x-y|<1, 所以 [x]=[y] ? |x-y|<1, 综上知 , “ |x-y|<1 ”是 “[x]=[y]”的必要不充分条件. 二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在 题中横线上) 11.(2015·九江模拟)对于集合 M,N,定义 M-N={x|x∈M 且 x?N},M⊕ N=(M-N)∪(N-M),设 A={y|y=3x,x∈R},B={y|y=-x2+2x+1,x∈R},则 A⊕B 等于________. 【解析】 因为 A={y|y=3x,x∈R}={y|y>0},B={y|y=-(x-1)2+2}={y|y≤2},

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所以 A-B={y|y>2},B-A={y|y≤0},故 A⊕B=(A-B)∪(B-A)={y|y≤0 或 y>2}. 答案:{y|y≤0 或 y>2} 12.已知 p(x):x2+2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数 m 的取值范围是____________. 【解析】因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0,解得 m≥3,又因为 p(2)是 真命题,所以 4+4-m>0,解得 m<8,所以实数 m 的取值范围是 3≤m<8. 答案:3≤m<8 13. 已 知 A= ,B={x|log2(x-2)<1}, 则 A ∪

B=____________. 【 A= 解 析 】 因 为

={x|2-3<2-x<2-1}={x|1<x<3},B={x|log2(x-2)<1}=

{x|0<x-2<2}={x|2<x<4},所以 A∪B={x|1<x<4}. 答案:{x|1<x<4} 14.(2014·抚州模拟)已知命题 p:函数 f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1) 内恰有一个零点;命题 q:函数 y=x2-a 在(0,+∞)上是减函数.若 p 且 q 为 真命题,则实数 a 的取值范围是____________. 【解题提示】先分别按 p,q 为真确定 a 的取值范围,再由题意确定 a 的 取值范围. 【解析】若 p 为真,则 f(0)·f(1)=-1·(2a-2)<0,即 a>1,若 q 为真,则 2-a<0,即 a>2,所以 q 为真时,a≤2,故 p 且 q 为真时,1<a≤2. 答案:(1,2]

-5-

15.(2015·北京模拟)设集合 A={x|x2+2x-3>0},集合 B={x|x2-2ax-1≤ 0,a>0}. 若 A ∩ B 中 恰 含 有 一 个 整 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ____________. 【解析】 A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3},因为函数 y=f(x)=x2-2ax-1 的对称轴为 x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使 A∩B 中恰含有一 个整数,则这个整数为 2,所以有 f(2)≤0 且 f(3)>0,即 所以 答案: 三、 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 16.(12 分)(2015· 孝感模拟)已知集合 A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx+1=0}, 且 A∪B=A,求实数 m 的值组成的集合. 【解析】A={x|x2-5x+6=0}={2,3}, 因为 A∪B=A,所以 B? A. ①当 m=0 时,B=?,B? A,故 m=0; ②当 m≠0 时,由 mx+1=0,得 x=- . 因为 B? A,所以- =2 或- =3, 得 m=- 或 m=- . 所以实数 m 的值组成的集合为 . 即 ≤a< .

17.(12 分)(2015·西安模拟)记函数 f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为集合 A,函数 g(x)= 的定义域为集合 B.

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(1)求 A∩B. (2)若 C={x|x2+4x+4-p2<0,p>0},且 C? (A∩B),求实数 p 的取值范围. 【解析】(1)依题意,得 A={x|x2-x-2>0}={x|x<-1 或 x>2},B={x|3-|x| ≥0}={x|-3≤x≤3},所以 A∩B={x|-3≤x<-1 或 2<x≤3}. (2) 因 为 p>0, 所 以 C={x|-2-p<x<-2+p}, 又 C ? (A ∩ B), 所 以 所以 0<p≤1. 18.(12 分 )(2015 · 南 昌 模 拟 ) 已 知 集 合 A={x ∈ R|0<ax+1 ≤ 5}, B= (a≠0).

(1)A,B 能否相等?若能,求出实数 a 的值;若不能,试说明理由. (2)若命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)若 A=B,显然 a=0 时不满足题意; 当 a>0 时,A= 所以 当 a<0 时,A= 故 A=B 时,a=2. (2)p? q 得 A? B 且 A≠B,0<ax+1≤5? -1<ax≤4, 当 a=0 时,A=R 不满足; 当 a>0 时,A= 则 或 , 解得 a>2; 所以 a=2; ,显然 A≠B, ,

-7-

当 a<0 时,A= 则 得 a<-8.

,

综上 p 是 q 的充分不必要条件,实数 a 的取值范围是 a>2 或 a<-8. 19.(12 分)设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a≠0,q:实数 x 满足

(1)若 a=1,且 p 且 q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)由 得 q:2<x≤3.

当 a=1 时,由 x2-4x+3<0,得 p:1<x<3, 因为 p 且 q 为真,所以 p 真,q 真. 由 得 2<x<3,

所以实数 x 的取值范围是(2,3). (2)由 x2-4ax+3a2<0, 得(x-a)(x-3a)<0. ①当 a>0 时,p:a<x<3a, 由题意,得(2,3] 所以 (a,3a),

即 1<a≤2;

②当 a<0 时,p:3a<x<a, 由题意,得(2,3] 所以 无解. (3a,a),

-8-

综上,可得 a∈(1,2]. 20.(13 分)已知 p:-x2+8x+20≥0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0). (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. (2)若“ p”是“ q”的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 【解析】p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m, (1)因为 p 是 q 的充分不必要条件, 所以 所以 m≥9.

所以实数 m 的取值范围为 m≥9. (2)因为“ p”是“ q”的充分不必要条件, 所以 q 是 p 的充分不必要条件. 所以 所以 0<m≤3.

所以实数 m 的取值范围为 0<m≤3. 21.(14 分)求证:方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条件为 a ≤0 或 a=1. 【解题提示】 充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0 或 a=1 作为条 件→必要性:ax2+2x+1=0 有且只有一个负数根作为条件. 【证明】充分性:当 a=0 时,方程为 2x+1=0, 其根为 x=- ,方程只有一负根. 当 a=1 时,方程为 x2+2x+1=0,其根为 x=-1,方程只有一负根. 当 a<0 时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根, 且 <0,方程有一正一负两个根.

-9-

必要性:若方程 ax2+2x+1=0 有且只有一负根. 当 a=0 时,符合条件. 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 有实根, 则Δ=4-4a≥0,所以 a≤1, 当 a=1 时,方程有一负根 x=-1. 当 a<1 时,若方程有且只有一负根, 则 所以 a<0.

综上,方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个负根的充要条件为 a≤0 或 a=1.

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